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O Cálculo Diferencial e a Guerra do Cálculo

É difícil dizer quem foi o pai do cálculo [2]. Os franceses jurariam que foi Pierre de Fermat (1601-1665), os ingleses diriam que foi Isaac Newton (1643-1727) e os alemães afirmariam, é claro, que foi Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Quem está com a razão? Descartes. Bem, não acho que caiba uma resposta simples e direta nessa pergunta. Também não acho que essa seja uma pergunta justa uma vez que esses matemáticos e outros menos famoso contribuíram de alguma forma para o desenvolvimento do cálculo. Se uma gestão pública inicia uma obra e a próxima gestão a entrega, quem realizou a obra? Quem iniciou, quem cortou a fita ou os dois? Particularmente, acho que devemos analisar qual foi a maior contribuição que cada um dos matemáticos envolvidos nessa saga deu e se seu legado permitiu que a matemática evoluísse sob a ótica notacional, o que implicaria preocupação semiótica do autor. Pensando dessa forma, o cálculo em si passaria para o segundo plano.

Figura 1 – Pierre de Fermat

Embora Fermat seja mais lembrado por aquilo que ele não fez (o Último Teorema de Fermat), ainda assim sua contribuição para o desenvolvimento do cálculo foi relativamente menor que a de seus “rivais” europeus. Preocupado com as questões relacionadas à máximos e mínimos de funções, ele desenvolveu um método para calcular tangentes e outro método para calcular a área sob uma curva utilizando exaustão, mas ele não desenvolveu uma forma de conectar uma derivée a uma integral. Além disso, ele ainda estava muito limitado pela geometria. Cronologicamente, ele foi o primeiro que conseguiu produzir algum resultado prático utilizando a Geometria Analítica de René Descartes (1596-1650) em 1629, mas Newton e Leibniz, percebendo a Natureza inversa das derivadas e das integrais, criaram métodos para se chegar de uma em outra. Tendo esses dois últimos legado as maiores contribuições, vamos colocá-los para “brigar”.

Figura 2 – Isaac Newton

Figura 3 – Gottfried Wilhelm Leibniz

No início do século XVIII, Newton e Leibniz estavam a ponto de entrar em guerra no que ficou conhecido como a Guerra do Cálculo, uma batalha pública com trocas de acusações e artigos difamatórios travada entre as duas personagens pela autoria do Cálculo Diferencial ou Infinitesimal e o Cálculo Integral. Os dois, seguindo caminhos diferentes, conseguiram conectar as derivadas às integrais: agora, era possível passar de um problema ao outro de forma prática. Newton criou o “Método de Fluxos e Fluentes” entre 1665 e 1666, mas ele não contou para ninguém exceto para seus amigos mais próximos. Em 1672, Leibniz, em sua estadia na França, debruçou-se sobre o trabalho de Newton e em 1675 desenvolveu seu próprio método, que mais tarde foi publicado na revista Acta Eruditorum com o título:

Novo Método para Máximos e Mínimos e Também para Tangentes o qual não é Atrapalhado por Quantidades Fracionárias e Irracionais, e um Admirável Cálculo para Eles

Percebe-se nessas poucas palavras que o cálculo diferencial proposto por Leibniz se aplicava também à funções compostas e àquelas que lidam com expoentes irracionais. Em outras palavras, esse método não tinha as limitações dos fluxos de Newton – derivava qualquer coisa. O blog Baricentro da Mente publicou recentemente um artigo sobre as notações utilizadas em derivadas. Como não utilizei aquela referência para escrever meu artigo, se houver alguma similaridade é mera coincidência.

Recomendo que você assista ao documentário A História do Cálculo [2], que explica com mais detalhes a contribuição dos três matemáticos citados para o cálculo, mas nesse artigo me preocupo com o aspecto semiótico das notações desenvolvidas por Newton e Leibniz. A abordagem de Leibniz, que veremos à seguir, é muito superior à de Newton: a simbologia dos fluxos traz pouca noese (sterillis abreviatio) se comparada às possibilidades mereológicas da mirabilis abreviatio criada por Leibniz.

Leibniz e Newton foram grandes matemáticos, mas nesse campo, mesmo inacreditavelmente pouco conhecido, Leibniz é superior à Newton, da mesma forma como no campo de Newton (física), Newton é indiscutivelmente superior à Leibniz e a todos os outros cientistas de seu tempo e dos séculos posteriores. Lembre-se: em um período de dois anos, Newton fez importantes descobertas no campo da ótica, da mecânica dos fluidos e das famosas leis do movimento e da teoria da gravitação universal. Lembre-se também: apenas no começo do século XX foi proposta uma teoria melhor do que a Lei da Gravitação Universal de Newton para explicar o movimento dos corpos celestes. Para entender a grande contribuição de Leibniz para a matemática, vamos dar uma olhada nas notações utilizadas por eles:

1. Notação Fluxional de Newton: fo

2. Notação Diferencial de Leibniz: d/dx

fo indica o ponto de uma curva em que o fluxômetro (nível de bolha) fica estável, o que indica um ponto de máximo ou de mínimo, mas o que você faz com essa notação? Nada! Essa notação é fraca. Ela não permite que a matemática avance em nenhuma direção que ajude na resolução e sequer contribui para um maior entendimento do objeto matemático analisado. Embora a contribuição de Newton para o desenvolvimento do cálculo seja indiscutível, ele e Fermat antes dele, tais como os gregos dois mil anos antes, estavam muito presos às representações geométricas, ou seja, precisavam de um desenho para guiar seus estudos. Por outro lado, a notação d/dx é tão poderosa que permite exogenizar o percepto matemático. Essa notação foi utilizada séculos depois como traço (etapa semiótica da produção de signos) para o desenvolvimento das derivadas fracionárias, mas essa é uma outra história. Leibniz perseguia uma linguagem matemática formalizada e elegante que se apresentasse como uma combinação de símbolos onde apenas o encadeamento das idéias tinha importância [1]. Em outras palavras, ele se livrou das amarras geométricas e trabalhou em outro nível de abstração.

Vamos analisar essa noção de percepto aplicada a um objeto matemático para entender a proposta de Leibniz. Percepto é uma unidade de sentido – trata-se de como o objeto afeta seus sentidos; de como você o percebe. A percepção é endógena, ou seja, nesse momento ela habita sua mente e é algo muito pessoal que depende de uma série de fatores associados à suas capacidades cognitivas e conhecimentos acumulados. Exogenizar um percepto significa lidar com ele fora da sua mente, ou seja, materializar sua percepção de forma estruturada. Pense, por exemplo, na fração 5/6. Existe outra forma de representá-la? Poderíamos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo valor e trocar os numeradores ou os denominadores entre si e ainda manter a mesma proporção:

1) 5/6 = (5/6)*(8/8) = (5/8)*(8/6)

2) 5/6 = (5/6)*(x/x) = (5/x)*(x/6)

3) 5/6 = (5/6)*(√a/√a) = (5/a1/2)*(a1/2/6)

É precisamente essa a proposta da notação diferencial de Leibniz: ela permite uma mudança de variável que facilita a abordagem do problema devido ao encadeamento estruturado dos símbolos. Vamos a um exemplo. Dada a função f=[3x-1]2, pede-se df/dx – essa diferença d nos eixos f e x é um valor infinitamente pequeno.

Tem-se:

f = 2t2
df/dt = t1

t = 3x-1
dt/dx = 3

Porém:

df/dx = (df/dt)*(dt/dx)

df/dx = 2t1*3

Resulta:

df/dx = 2[3x-1]1*3

Utilizando esse método para derivar outros polinômios, deduzimos que:

d[f(x)]n/dx = n*[f(x)]n-1fo(x)

Em palavras menos polidas, “a derivada do de fora multiplicada pela derivada do de dentro”. Pelo método dos fluxos de Newton, teríamos que calcular o limite dessa função para encontrar o ponto de máximo ou de mínimo de forma icástica e utilizar um fluxômetro para poder explicar para alguém onde é o máximo e onde é o mínimo. Imagine a dificuldade de realizar esses procedimentos com equações transcendentais que misturam polinômios, exponenciais, logarítmos, senos e cossenos. Sim, é melhor utilizar um software.

Conclusão

Leibniz e Newton passaram para a história como co-autores do cálculo e são vistos como os matemáticos que deram as maiores contribuições para a matemática depois dos gregos. Newton tinha uma visão romântica: achava tudo belo e harmonioso e se opunha ao caráter mecânico da álgebra [1]. Leibniz era atraído pela linguagem simbólica da álgebra, que combinava com seu raciocínio categórico [1]. A disputa de egos que travaram durante a Guerra do Cálculo mostra que embora fossem duas das maiores inteligências que passaram pela Terra, ainda assim eram demasiado humanos, tais como os deuses do Olimpo, que embora poderosos e imortais sofriam das mesmas paixões e tinham os mesmos defeitos dos simples mortais.

Referências

1. PRANDINI, Aguinaldo P. Matemático e Louco, Todos somos um pouco, 1ª ed., São Paulo: Prandiano Edições, 1989
2. Solução Matemática. A História do Cálculo. Disponível em: [https://www.youtube.com/watch?v=6HI47rcOiAE]. Acesso em: 11 fev. 2018.

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Utilizando o Lagrangeano para Provar Matematicamente que um Objeto Livre no Espaço Cairá

Você poderia dizer que é óbvio que se uma caneta for solta ela vai cair, ou melhor, vai cair até que encontre um obstáculo que a impeça de chegar ao centro da Terra. Sendo ainda mais preciso (e chato), a caneta não “cai”, mas sim “viaja” no espaço-tempo curvado pela massa da Terra segundo a Teoria da Relatividade de Einstein. Para Einstein, a gravidade é uma força que empurra e não uma força diferente de todas as outras e que “puxa” como Newton a entendia – ou não entendia. Como complemento, para uma simples medição feita por uma balança, a força que empurra é a normal, que é cancelada pelo peso.

Você sabe que a caneta vai cair porque já viu muitas canetas e objetos similares se comportando da mesma forma quando soltos a uma determinada altura. A caneta que cai é a caneta ideal tal como definido no mundo das idéias de Platão. O que de fato determina se um corpo vai cair – independente de gostarmos mais de Newton ou de Einstein – é o que convencionamos como aceleração da gravidade (g).

A atração gravitacional e a quantidade de massa de um objeto é o que determina a intensidade da força peso. A gravidade não é idêntica em todos os pontos da Terra embora na escola convenciona-se que ela vale 10m/s2, o que se lê como: “para se deslocar 10 metros, um corpo demorará o quadrado do tempo em segundos”. Na verdade, a gravidade depende da composição do solo (tipos de materiais, presença de aquedutos, distância para o centro da Terra, etc). Se você não está precisando lançar um foguete, um bom valor médio para a aceleração da gravidade é 9,7/s2.

Mecânica Clássica

De acordo com a Segunda Lei de Newton:

A mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida, e é produzida na direção de linha reta na qual aquela força é aplicada

Figura 1 – Isaac Newton

Ou seja:

F=m*a

Podemos utilizar a Segunda Lei de Newton conforme previsto pela mecânica clássica para estudar a aceleração da caneta. Como a força que está atuando em um corpo em queda livre é o peso (P=m*g), podemos afirmar que:

P=F
m*g = m*a

g = a

Conclusão

Sendo assim, de acordo com a mecânica clássica e conforme previsto pela Segunda Lei de Newton, o corpo cai porque sua aceleração é igual à aceleração da gravidade – o vetor aceleração está orientado para baixo.

Mecânica Analítica

Todo símbolo, toda notação, revela algumas coisas e esconde várias outras. Esse é o resultado do processo epistêmico. As setas (→) acima dos símbolos de aceleração e força foram introduzidas séculos depois de Newton para indicar que são grandezas vetoriais, ou seja, têm direção, orientação e intensidade. Isso aumentou a noésis da marca, mas não revelou o principal: ela trata das forças que atuam em um sistema, mas esconde as energias que se transformam nessas forças para dar movimento ao sistema – a força é derivada da energia. Podemos provar que a caneta cai estudando as energias que estão atuando no sistema por meio da lagrangeana.

A Mecânica Analítica de Lagrange é a mecânica de Newton escrita com a matemática de Leibnitz. O formalismo lagrangeano permite obter as equações de movimento de um sistema de um modo elegante de acordo com sua natureza geométrica – uma coordenada para cada dimensão. Contrariamente aos métodos baseados nas leis de Newton, este formalismo não exige a identificação das forças envolvidas, o que torna a análise mais abstrata. Dessa forma, é possível simplificar o tratamento de sistemas de maior complexidade, especialmente quando não é relevante ou não é diretamente possível a determinação das forças associadas às restrições ao movimento das suas partículas.

Figura 2 – Joseph Louis Lagrange

Para definir completamente a posição de um sistema com n graus de liberdade são necessárias n variáveis independentes. Essas variáveis são designadas coordenadas generalizadas (q) e a forma como são selecionadas (parametrizadas) permite a simplificação do tratamento matemático do problema.

Na formulação da mecânica lagrangeana, cada sistema mecânico é caracterizado por uma determinada função. No caso geral, esta função depende das coordenadas generalizadas (q), das suas derivadas temporais (q0) e também do tempo (t). Esta função designa-se lagrangeana do sistema, sendo representada habitualmente por ℒ(q,q0,t).

Isso posto, vamos analisar as energias que atuam no momento em que a caneta é liberada.

Coordenadas generalizadas

Nosso sistema só tem um grau de liberdade, pois a caneta só pode se deslocar na vertical. Vamos chamar essa coordenada vertical de x.

q = x
qo = xo

Energia cinética

A energia cinética, conforme notação adaptada por Gaspard-Gustave de Coriolis, é expressa assim:

T = 1/2 mV2

Você poderia substituir o T da equação por Ec. Agora, atenção para uma conexão importante entre a equação do espaço e a fórmula da energia cinética. Vamos derivar a equação do espaço em função da velocidade (V).

S = S0 + Vt
So = V

A primeira derivada do espaço (So) é a velocidade (V) e a velocidade influencia diretamente o valor da energia cinética. Como estamos trabalhando com a coordenada x (espaço) e sua primeira derivada, que é velocidade (V) como acabamos de deduzir, podemos afirmar que:

V = xo

Sendo assim, nossa equação da energia cinética será adaptada para trabalhar com a primeira derivada do espaço na coordenada x, o que será importante para substituição no lagrangeano:

T = 1/2 mxo2

Energia potencial

Daniel Bernoulli, em seu trabalho sobre hidrodinâmica, descobriu que a força é derivada da energia potencial em uma coordenada qualquer:

F = – [∂V/∂qo]

Modernamente, expressamos energia potencial como:

V = mgx

Por que a energia potencial é importante para nosso estudo? Porque um corpo que tem energia potencial é capaz de converter essa energia em energia cinética – cada energia atuante nos interessa. Como assumimos que nosso referencial está na parte superior do sistema, a equação fica negativa:

V = – mgx

Se você preferir, pode substituir o V por Ep, mas vamos respeitar os originais.

Lagrangeana

A langrangeana pode ser escrita na forma ℒ = T − U onde T é a soma das energias cinéticas das partículas do sistema e U é a sua energia potencial, onde se incluem os efeitos de todas as forças conservativas.

ℒ = T – V
ℒ = 1/2 mxo2 – (-mgx)

Lagrangeano

O lagrangeano, conforme a mecânica analítica de Lagrange, é expresso como:

d/dt[∂ℒ/∂qo] – ∂ℒ/∂q = 0

Como estamos trabalhando em função da coordenada espacial x:

d/dt[∂ℒ/∂xo] – ∂ℒ/∂x = 0
d/dt[mxo] – mg = 0
mxoo = mg

xoo = g

Conclusão

Como o sistema está sob a ação da gravidade “g”, a caneta “cai”.

Referências

1. [http://paginas.fe.up.pt/~mines/publicacoes_pedagogicas/apontamentos/IMC_Lagrange.pdf]

Deduzindo Derivadas Através do Limite da Função

O limite é um conceito que nos ajuda a entender como uma função se comporta à medida que seu argumento se aproxima de certo valor. Esse conceito também pode ser interpretado como o limite de nossa compreensão sobre determinada função.

A matemática tem cenários que são verdadeiros “buracos negros” (divisão por zero, infinito). Um limite é a nossa melhor predição de um ponto observando a sua vizinhança próxima quando não podemos calcular esse ponto diretamente.

Limites nos permitem perguntar “e se…?”. Se nós pudéssemos observar uma função em um dado valor (como x=0 ou crescendo até o infinito), nós não precisaríamos de uma predição. Quando nossa predição é consistente e melhora à medida que nos aproximamos de um valor, nós nos sentimos confiantes.

limite1

Figura 1 – Limite de uma função

Mesmo se não soubéssemos que função gerou esse gráfico, poderíamos utilizar algum artifício para estudá-la. Poderíamos assumir a hipótese de que há uma reta tangente a essa função em um ponto P e a partir daí analisar o comportamento daquela função naquele ponto, mas ainda assim não teríamos informações suficientes para extrair algum princípio dessa relação. Guarde essa idéia por enquanto, pois ela será a meta que atingiremos por outro caminho.

limite2

Figura 2 – Tangente

Dois pontos P1 e P2 e uma secante nesses dois pontos é um bom começo, pois é possível medir a distância em linha reta entre esses dois pontos:

limite3

Figura 3 – Secante

Dependendo da distância entre esses dois pontos, nosso erro pode ser maior ou menor. Para minimizarmos o erro da medição da distância, os pontos P1 e P2 devem ser muito…muito…muito…muito…está me acompanhando?…muito…muito…mas muito próximos um do outro até que a distância seja tão desprezível que a secante possa ser interpretada como a tangente de um dos pontos, o que nos remete à nossa primeira hipótese e possibilita atingirmos a meta.

Como estamos trabalhando com distâncias infinitamente pequenas, podemos utilizar uma figura geométrica simples e bem conhecida que nos permita inferir relações fundamentais entre os dois pontos observados. A figura mais interessante que podemos utilizar é o triângulo retângulo, pois Pitágoras já nos contou como os lados se relacionam: já conhecemos dois pontos cuja distância chamamos de tangente e, observando o plano cartesiano, sabemos o suficiente sobre os catetos:

limite4

Figura 4 – Relações Trigonométricas

A derivada da função é a tangente desse triângulo, mas agora que mudamos o nosso foco também mudaremos a nomenclatura: chamaremos a tangente de um ângulo α em P1 de Δf/Δx. Foi Leibnitz quem propôs essa simbologia, pois ela é mais poderosa (tem mais semiose) que aquelas propostas por Newton (fofluxion ou fluxo), Lagrange (f’ – de-rivus, dérivés ou derivada) ou Arbogast (F). Descartes, se ainda fosse vivo naquela época, interpretaria essa notação como “a diferença daquilo que falo – f( ) – dividida pela diferença daquilo que ouço – ( )”. Sendo assim:

tg α = Δf/Δx

Finalmente, à partir das relações trigonométricas, abstraímos o limite genérico de uma função qualquer para Δx tendendo a zero:

limΔx→0 [f(x + Δx) – f(x)] ÷ Δx

Embora a derivada sirva para medir a taxa de variação de uma função em um ponto, seu grande poder está na possibilidade de maximizar ou minimizar a função. Para encontrar o ponto de máximo ou mínimo de uma função, basta igualá-la a zero (zephirum). Esse zero é o ponto em que um nível (fluxômetro) se estabiliza. No caso dos níveis de bolha, é o ponto e que a bolha está bem no centro da marcação:

nivel

Figura 5 – Nível de Bolha

É por esse motivo que igualávamos as equações a zero lá no ensino fundamental e no ensino médio, mas nossos professores nunca nos contaram. É provável que eles não soubessem, mas eles estavam nos ensinando a achar mínimos e máximos de funções sem que soubéssemo o que era uma derivada.

Derivadas das Funções

Podemos reduzir todas as derivadas possíveis a cinco grupos básicos: polinômio, seno, cosseno, logarítmo e exponencial. Com nosso limite genérico de uma função, podemos deduzir a derivada de cada um daqueles grupos.

limΔx→0 [f(x + Δx) – f(x)] ÷ Δx

Essas deduções visam satisfazer a curiosidade de quem não aceita fórmulas prontas para resolver os problemas – no caso, as derivadas. É claro que na prática você utilizará apenas o resultado de cada uma dessas deduções para aplicar na resolução de derivadas e integrais mais complexas.

Dedução da Derivada de Polinômio (xn)

Para um polinômio de grau dois:

f'(x) = limΔx→0 [f(x + Δx) – f(x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [(x + Δx)2 – x2] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [x2 + 2xΔx + Δx2 – x2] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 Δx[2x1 + Δx] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 2x1 + Δx

f'(x) = 2x + 0 = 2x

Para um polinômio de grau três:

f'(x) = limΔx→0 [f(x + Δx) – f(x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [(x + Δx)3 – x3] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [x3 + 3x2Δx + 3xΔx2 + Δx3 – x3] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 Δx[3x2 + 3xΔx + Δx2] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 3x2 + 3xΔx + Δx2

f'(x) = 3x2 + 3×0 + 02 = 3x2

Comentários:

  1. Para o polinômio de grau dois, desenvolvemos o quadrado da soma. Para o polinômio de grau três, desenvolvemos o cubo da soma.
  2. Se continuássemos a demonstração para polinômios de grau mais alto, deduziríamos uma regra geral para derivar qualquer polinômio:
nXn-1

Dedução da Derivada do Seno (sen)

f'(x) = limΔx→0 [f(x + Δx) – f(x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [sen(x + Δx) – sen(x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [(sen(x).cos(Δx) + sen(Δx).cos(x)) – sen(x)] ÷ Δx

f'(x) = [(sen(x).cos(0) + sen(0).cos(x)) – sen(x)] ÷ 0
f'(x) = [sen(0).cos(x)] ÷ 0
f'(x) = cos(x)

Comentários:

  1. Utilizamos o seno do arco duplo para remover a indefinição do Δx.
  2. “[sen (0)] / 0” é um limite fundamental que resulta 1. Para chegar a essa conclusão você deve observar o círculo trigonométrico em direção ao 0. Para um valor tendendo a 0, o seno, que é o cateto oposto de um triângulo retângulo centrado nesse círculo, é muito pequeno, mas não é zero – apenas tende a 0 e o comprimento do trecho do arco que encosta nesse cateto é numericamente equivalente a ele. Dois números iguais, sejam eles quais forem, divididos um pelo outro, resulta 1.
  3. O interessante dessa dedução é que do seno chegamos no cosseno.

Dedução da Derivada do Cosseno (cos)

f'(x) = limΔx→0 [f(x + Δx) – f(x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [cos(x + Δx) – cos(x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [(cos(x).cos(Δx) – sen(x).sen(Δx)) – cos(x)] ÷ Δx

f'(x) = [(cos(x).cos(Δx) – sen(x).sen(Δx)) – cos(x)] ÷ Δx
f'(x) = [(cos(x).cos(0) – sen(x).sen(0)) – cos(x)] ÷ 0
f'(x) = [(cos(x).1 – sen(x)) – cos(x)]
f'(x) = – sen(x)

Comentários:

  1. Utilizamos o cosseno do arco duplo para remover a indefinição do Δx.
  2. “[sen (0)] / 0” é um limite fundamental que resulta 1. Para chegar a essa conclusão você deve observar o círculo trigonométrico em direção ao 0. Para um valor tendendo a 0, o seno, que é o cateto oposto de um triângulo retângulo centrado nesse círculo, é muito pequeno, mas não é zero – apenas tende a 0 e o comprimento do trecho do arco que encosta nesse cateto é numericamente equivalente a ele. Dois números iguais, sejam eles quais forem, divididos um pelo outro, resulta 1.
  3. O interessante dessa dedução é que do cosseno chegamos no seno.

Dedução da Derivada de Logarítmo Natural (ln)

Essa dedução é atribuída a Euler. As passagens nos levam a pensar que ele não está chegando a lugar algum, mas a medida em que um limite fundamental vai se apresentando, nós entendemos tratar-se de um mestre em ação.

f'(x) = limΔx→0 [f(x + Δx) – f(x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [ln(x + Δx) – ln(x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 ln[(x + Δx) ÷ x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 (1 ÷ Δx) * ln[(x + Δx) ÷ x)]
f'(x) = limΔx→0 (1 ÷ Δx) * ln[1 + Δx ÷ x]
f'(x) = limΔx→0 (1 ÷ Δx) * ln[1 + (1 ÷ x) ÷ Δx)]
f'(x) = limΔx→0 (1 ÷ x)(x ÷ Δx) * ln[1 + (1 ÷ x) ÷ Δx]
f'(x) = limΔx→0 (1 ÷ x) * ln[1 + (1 ÷ x) ÷ Δx)]x ÷ Δx

f'(x) = limΔx→0 (1 ÷ x) * ln(1 + 1 ÷ ∞)
f'(x) = limΔx→0 (1 ÷ x) * ln(e)
f'(x) = 1 ÷ x

Comentários:

  1. Essa dedução nos lembra que para resolver um problema matemático é necessário ter uma meta bem clara: deve-se saber onde se quer chegar.
  2. limn→∞ (1 + 1÷n)n é um limite fundamental que resulta “e”. Mostrei em outro artigo como chegar nesse número.
  3. A derivada de “ln x” é “1/x”. A derivada de “sen (x)” é “1/sen(x)”. A derivada de “ln abacaxi” é “1/abacaxi”. A derivada de “ln pamonha” é “1/pamonha”. De forma geral, a derivada da coisa resulta no inverso da própria coisa.

Dedução da Derivada de Exponencial (ex)

A dedução da derivada da exponencial é um caso a parte. Vamos mostrar duas formas de deduzí-la: uma partindo do limite fundamental e utilizando um artifício para eliminar a indeterminação do Δx e outra com o uso de logarítimo.

Primeira Dedução: Limite Fundamental

f'(x) = limΔx→0 [f(x + Δx) – f(x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [ex + Δx – ex] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [ex.eΔx – ex] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [ex(eΔx – 1)] ÷ Δx
f'(x) = ex(e0 – 1) ÷ 0

f'(x) = ex

Segunda Dedução: Logarítimo Natural

Não por acaso, essa dedução da derivada da exponencial foi feita com logarítimos naturais, que nos remetem a noção de infinito determinado pela letra “e”, ou seja, essa classe de logarítimos está intimamente relacionada com as funções exponenciais. Essa relação fica mais clara se você observar o gráfico das duas funções:

exp_log_plot

Figura 6 – Relação entre exponencial e logarítmo

Note a simetria das duas funções. É como se uma das funcões fosse o reflexo da outra em um espelho. Sabendo dessa relação e levando em conta que “logarítimos são do bem”, vamos utilizar logarítimos naturais para que possamos usufruir das suas propriedades fundamentais em nossa dedução da exponencial:

f(x) = ex
ln f(x) = ln ex
ln f(x) = xln e
ln f(x) = x1
[1 ÷ f(x)] f'(x) = 1
f'(x) = f(x)

f'(x) = ex

Comentários:

  1. Veja que curioso: a derivada da exponencial é a própria exponencial.
  2. Na primeira demonstração, utilizamos o limite fundamental (ex -1) ÷ x que resulta 1, mas perceba que, naquele caso, se Δx tende a 0, não estamos lidando com o 0, mas sim um número infinitamente pequeno.

Referências

1. [http://www.eeweb.com/toolbox/math-help]