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A Matemática Analítica e o Cálculo Variacional

M. Le Blanc, pseudônimo de Marie-Sophie Germain (1776-1831), deixou grandes contribuições para a teoria dos números com seu trabalho sobre o Último Teorema de Fermat e seus estudos sobre as superfícies elásticas. Inspirada pelo formalismo da Mecânica Analítica de Lagrange, ela estabeleceu um método para descobrir a equação da curva mais adequada dadas determinadas restrições.

d/dt[∂ℒ/∂qo] – ∂ℒ/∂q = 0

Figura 1 – Lagrangeano ℒ(t,q,qo) – energia – domínio da física

(d/dx)[∂f/∂yo] – ∂f/∂y = 0

Figura 2 – Mleblancano f(x,y,yo) – forma – domínio da matemática

O cálculo variacional estabelece que, entre todas as funções admissíveis, aquela que maximiza ou minimiza o funcional é a solução do problema em determinado espaço regido pelo funcional. O método variacional fornece uma maneira relativamente fácil de se construir as equações que governam um sistema, uma vez que uma formulação variacional considera grandezas escalares ao invés de vetoriais [2]. Esse método é uma generalização do cálculo de máximos e mínimos de funções reais de uma variável. O cálculo ordinário lida com funções e o cálculo das variações lida com os funcionais – mais especificamente, com o núcleo desses funcionais.

Um conceito fundamental do cálculo variacional é o funcional, que é uma grandeza escalar; função de funções, que assume um valor particular dependente da função nele utilizada [1]; é um operador que mapeia as funções admissíveis no espaço dos números reais:

n → ℜ*

No caso de funções com mais de uma variável surgem as derivadas parciais, que são derivadas direcionais particulares. O conceito de derivada funcional (ou variacional) desempenha para funcionais o mesmo papel que o conceito de derivada direcional desempenha para funções de n variáveis [3].

Funcionais podem, por exemplo, ser formados por integrais envolvendo uma função incógnita e suas derivadas. O interesse está em funções extremas – aquelas que fazem o funcional atingir um valor máximo ou mínimo – ou de funções fixas – aquelas onde a taxa de variação do funcional é zero.

A imagem abaixo resume o objetivo do cálculo variacional. Note que entre os pontos A e B há várias curvas candidatas à otimizadoras da Integral I, mas elas têm variações (δy≠0). Nos pontos A e B não há variações (δy|A=0 e δy|B=0). Queremos encontrar a curva que liga esses dois pontos e que não apresenta variações.

Figura 3 – Curvas candidatas

Terapêutica Variacional

O método de M. Le Blanc visa encontrar a curva que maximiza ou minimiza um funcional através de uma dentre quatro “terapêuticas” utilizadas para classificar e tratar o problema. Na medicina, terapêutica é um meio usado para tratar determinada doença ou estado patológico. Em cálculo variacional, terapêutica é uma forma de classificar um problema e tratá-lo com o funcional mais adequado, observando certas condições em seu núcleo, para encontrar a melhor equação de curva para aquele caso. O núcleo do funcional deve ser escrito em termos de x (espaço), y (função) e y0 (primeira derivada da função y).

Terapêutica Variacional de Caso I

Caso: se o funcional estiver escrito em termos de x, y, yo:

Terapêutica: deve-se aplicar a seguinte terapêutica:

(d/dx)[∂f/∂yo] – ∂f/∂y = 0

Terapêutica Variacional de Caso II

Caso: se o funcional estiver escrito em termos yo:

(d/dx)[∂f/∂yo] – ∂f/∂y = 0
(d/dx)[∂f/∂yo] – 0 = 0
(d/dx)[∂f/∂yo] = 0

Terapêutica: deve-se aplicar a seguinte terapêutica:

∂f/∂yo = constante

Terapêutica Variacional de Caso III

Caso: se o funcional estiver escrito em termos de y e yo:

Terapêutica: deve-se aplicar a seguinte terapêutica:

(d/dx)[∂f/∂yo] – ∂f/∂y = 0

Terapêutica Variacional do Caso IV

Caso: se o funcional estiver escrito em termos de x e yo:

Terapêutica: deve-se aplicar a seguinte terapêutica:

(d/dx)[∂f/∂yo] – ∂f/∂y = 0
(d/dx)[∂f/∂yo] – 0 = 0
∂f/∂yo = constante

Funcionais Matematizados

Para identificarmos a terapêutica variacional mais indicada para tratar cada caso, primeiro é necessário reescrevermos os funcionais mais comuns (comprimento, volume, superfície, área e tempo) em termos de x e yo.

Não vamos mostrar a dedução de cada funcional, pois foge a proposta desse artigo. Porém, o funcional da área, ou integral da área sob uma curva, foi muito bem deduzido em outro artigo.

Funcional do Comprimento da Curva

Funcional do Volume do Sólido

Funcional da Superfície (Área Lateral do Sólido)

Funcional da Área Abaixo da Curva

Funcional do Tempo

Exemplo

Vamos utilizar o formalismo de M. Le Blanc, que foi fortemente inspirada em Lagrange, para encontrar a curva y(x) que liga o ponto A ao ponto B através de uma superfície plana (euclidiana) com a menor distância possível. Como não há restrições, a solução é obviamente uma linha reta, mas vamos provar matematicamente. Em princípio, supomos que o objeto segue uma rota qualquer:

Figura 3 – Rota de A para B

Funcional

Núcleo do Funcional

f=[1 + y0 2]1/2

Terapêutica Variacional

Como o funcional do comprimento está escrito em termos de yo:

Recomenda-se a terapêutica variacional de caso II:

∂f/∂yo = c

Equação Diferencial

∂/∂yo [1 + y0 2]1/2 = c

Curva Solução

∂/∂yo [1 + y0 2]1/2 = c
1/2[1 + y0 2]-1/22y0 = c
y0/√(1 + y0 2) = c
y0 2/(1 + y0 2) = c2
y0 2 = c2 + c2y0 2
y0 2 – c2y0 2 = c2
y0 2[1 -c2] = c2
y0 2 = c2/[1 -c2]
√y0 2 = √(c2/[1 -c2])
y0=a

dy/dx = a
dy = adx
∫1dy = ∫adx

y = ax + b

Conclusão

A curva que minimiza a distância entre os pontos A e B – geodésica – em uma superfície plana é a reta ax + b.

Referências

1. [http://aquarius.ime.eb.br/~moniz/pdf/calc02.pdf]
2. [https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/17370/17370_4.PDF]
3. [http://www.df.ufcg.edu.br/~romulo/seminarios/wilson_hugo/calcvariac.pdf]
4. [https://repositorio.ufsc.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/96389/Antonio_Joao.pdf?sequence=1&isAllowed=y]
5. [http://200.145.6.238/bitstream/handle/11449/94375/flores_apx_me_rcla.pdf?sequence=1&isAllowed=y]
6. [http://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/MA211/Aula6.pdf]
7. [Material do Curso Prandiano – P2]

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Utilizando o Lagrangeano para Provar Matematicamente que um Objeto Livre no Espaço Cairá

Você poderia dizer que é óbvio que se uma caneta for solta ela vai cair, ou melhor, vai cair até que encontre um obstáculo que a impeça de chegar ao centro da Terra. Sendo ainda mais preciso (e chato), a caneta não “cai”, mas sim “viaja” no espaço-tempo curvado pela massa da Terra segundo a Teoria da Relatividade de Einstein. Para Einstein, a gravidade é uma força que empurra e não uma força diferente de todas as outras e que “puxa” como Newton a entendia – ou não entendia. Como complemento, para uma simples medição feita por uma balança, a força que empurra é a normal, que é cancelada pelo peso.

Você sabe que a caneta vai cair porque já viu muitas canetas e objetos similares se comportando da mesma forma quando soltos a uma determinada altura. A caneta que cai é a caneta ideal tal como definido no mundo das idéias de Platão. O que de fato determina se um corpo vai cair – independente de gostarmos mais de Newton ou de Einstein – é o que convencionamos como aceleração da gravidade (g).

A atração gravitacional e a quantidade de massa de um objeto é o que determina a intensidade da força peso. A gravidade não é idêntica em todos os pontos da Terra embora na escola convenciona-se que ela vale 10m/s2, o que se lê como: “para se deslocar 10 metros, um corpo demorará o quadrado do tempo em segundos”. Na verdade, a gravidade depende da composição do solo (tipos de materiais, presença de aquedutos, distância para o centro da Terra, etc). Se você não está precisando lançar um foguete, um bom valor médio para a aceleração da gravidade é 9,7/s2.

Mecânica Clássica

De acordo com a Segunda Lei de Newton:

A mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida, e é produzida na direção de linha reta na qual aquela força é aplicada

Figura 1 – Isaac Newton

Ou seja:

F=m*a

Podemos utilizar a Segunda Lei de Newton conforme previsto pela mecânica clássica para estudar a aceleração da caneta. Como a força que está atuando em um corpo em queda livre é o peso (P=m*g), podemos afirmar que:

P=F
m*g = m*a

g = a

Conclusão

Sendo assim, de acordo com a mecânica clássica e conforme previsto pela Segunda Lei de Newton, o corpo cai porque sua aceleração é igual à aceleração da gravidade – o vetor aceleração está orientado para baixo.

Mecânica Analítica

Todo símbolo, toda notação, revela algumas coisas e esconde várias outras. Esse é o resultado do processo epistêmico. As setas (→) acima dos símbolos de aceleração e força foram introduzidas séculos depois de Newton para indicar que são grandezas vetoriais, ou seja, têm direção, orientação e intensidade. Isso aumentou a noésis da marca, mas não revelou o principal: ela trata das forças que atuam em um sistema, mas esconde as energias que se transformam nessas forças para dar movimento ao sistema – a força é derivada da energia. Podemos provar que a caneta cai estudando as energias que estão atuando no sistema por meio da lagrangeana.

A Mecânica Analítica de Lagrange é a mecânica de Newton escrita com a matemática de Leibnitz. O formalismo lagrangeano permite obter as equações de movimento de um sistema de um modo elegante de acordo com sua natureza geométrica – uma coordenada para cada dimensão. Contrariamente aos métodos baseados nas leis de Newton, este formalismo não exige a identificação das forças envolvidas, o que torna a análise mais abstrata. Dessa forma, é possível simplificar o tratamento de sistemas de maior complexidade, especialmente quando não é relevante ou não é diretamente possível a determinação das forças associadas às restrições ao movimento das suas partículas.

Figura 2 – Joseph Louis Lagrange

Para definir completamente a posição de um sistema com n graus de liberdade são necessárias n variáveis independentes. Essas variáveis são designadas coordenadas generalizadas (q) e a forma como são selecionadas (parametrizadas) permite a simplificação do tratamento matemático do problema.

Na formulação da mecânica lagrangeana, cada sistema mecânico é caracterizado por uma determinada função. No caso geral, esta função depende das coordenadas generalizadas (q), das suas derivadas temporais (q0) e também do tempo (t). Esta função designa-se lagrangeana do sistema, sendo representada habitualmente por ℒ(q,q0,t).

Isso posto, vamos analisar as energias que atuam no momento em que a caneta é liberada.

Coordenadas generalizadas

Nosso sistema só tem um grau de liberdade, pois a caneta só pode se deslocar na vertical. Vamos chamar essa coordenada vertical de x.

q = x
qo = xo

Energia cinética

A energia cinética, conforme notação adaptada por Gaspard-Gustave de Coriolis, é expressa assim:

T = 1/2 mV2

Você poderia substituir o T da equação por Ec. Agora, atenção para uma conexão importante entre a equação do espaço e fórmula da energia cinética. Vamos derivar a equação do espaço em função da velocidade (V).

S = S0 + Vt
So = V

A primeira derivada do espaço (So) é a velocidade (V) e a velocidade influencia diretamente o valor da energia cinética. Como estamos trabalhando com a coordenada x (espaço) e sua primeira derivada, que é velocidade (V) como acabamos de deduzir, podemos afirmar que:

V = xo

Sendo assim, nossa equação da energia cinética será adaptada para trabalhar com a primeira derivada do espaço na coordenada x, o que será importante para substituição no lagrangeano:

T = 1/2 mxo2

Energia potencial

Daniel Bernoulli, em seu trabalho sobre hidrodinâmica, descobriu que a força é derivada da energia potencial em uma coordenada qualquer:

F = – [∂V/∂qo]

Modernamente, expressamos energia potencial como:

V = mgx

Por que a energia potencial é importante para nosso estudo? Porque um corpo que tem energia potencial é capaz de converter essa energia em energia cinética – cada energia atuante nos interessa. Como assumimos que nosso referencial está na parte superior do sistema, a equação fica negativa:

V = – mgx

Se você preferir, pode substituir o V por Ep, mas vamos respeitar os originais.

Lagrangeana

A langrangeana pode ser escrita na forma ℒ = T − U onde T é a soma das energias cinéticas das partículas do sistema e U é a sua energia potencial, onde se incluem os efeitos de todas as forças conservativas.

ℒ = T – V
ℒ = 1/2 mxo2 – (-mgx)

Lagrangeano

O lagrangeano, conforme a mecânica analítica de Lagrange, é expresso como:

d/dt[∂ℒ/∂qo] – ∂ℒ/∂q = 0

Como estamos trabalhando em função da coordenada espacial x:

d/dt[∂ℒ/∂xo] – ∂ℒ/∂x = 0
d/dt[mxo] – mg = 0
mxoo = mg

xoo = g

Conclusão

Como o sistema está sob a ação da gravidade “g”, a caneta “cai”.

Referências

1. [http://paginas.fe.up.pt/~mines/publicacoes_pedagogicas/apontamentos/IMC_Lagrange.pdf]