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A Matemática Analítica e o Cálculo Variacional

M. Le Blanc, pseudônimo de Marie-Sophie Germain (1776-1831), deixou grandes contribuições para a teoria dos números com seu trabalho sobre o Último Teorema de Fermat e seus estudos sobre as superfícies elásticas. Inspirada pelo formalismo da Mecânica Analítica de Lagrange, ela estabeleceu um método para descobrir a equação da curva mais adequada dadas determinadas restrições.

d/dt[∂ℒ/∂qo] – ∂ℒ/∂q = 0

Figura 1 – Lagrangeano ℒ(t,q,qo) – energia – domínio da física

(d/dx)[∂f/∂yo] – ∂f/∂y = 0

Figura 2 – Mleblancano f(x,y,yo) – forma – domínio da matemática

O cálculo variacional estabelece que, entre todas as funções admissíveis, aquela que maximiza ou minimiza o funcional é a solução do problema em determinado espaço regido pelo funcional. O método variacional fornece uma maneira relativamente fácil de se construir as equações que governam um sistema, uma vez que uma formulação variacional considera grandezas escalares ao invés de vetoriais [2]. Esse método é uma generalização do cálculo de máximos e mínimos de funções reais de uma variável. O cálculo ordinário lida com funções e o cálculo das variações lida com os funcionais – mais especificamente, com o núcleo desses funcionais.

Um conceito fundamental do cálculo variacional é o funcional, que é uma grandeza escalar; função de funções, que assume um valor particular dependente da função nele utilizada [1]; é um operador que mapeia as funções admissíveis no espaço dos números reais:

n → ℜ*

No caso de funções com mais de uma variável surgem as derivadas parciais, que são derivadas direcionais particulares. O conceito de derivada funcional (ou variacional) desempenha para funcionais o mesmo papel que o conceito de derivada direcional desempenha para funções de n variáveis [3].

Funcionais podem, por exemplo, ser formados por integrais envolvendo uma função incógnita e suas derivadas. O interesse está em funções extremas – aquelas que fazem o funcional atingir um valor máximo ou mínimo – ou de funções fixas – aquelas onde a taxa de variação do funcional é zero.

A imagem abaixo resume o objetivo do cálculo variacional. Note que entre os pontos A e B há várias curvas candidatas à otimizadoras da Integral I, mas elas têm variações (δy≠0). Nos pontos A e B não há variações (δy|A=0 e δy|B=0). Queremos encontrar a curva que liga esses dois pontos e que não apresenta variações.

Figura 3 – Curvas candidatas

Terapêutica Variacional

O método de M. Le Blanc visa encontrar a curva que maximiza ou minimiza um funcional através de uma dentre quatro “terapêuticas” utilizadas para classificar e tratar o problema. Na medicina, terapêutica é um meio usado para tratar determinada doença ou estado patológico. Em cálculo variacional, terapêutica é uma forma de classificar um problema e tratá-lo com o funcional mais adequado, observando certas condições em seu núcleo, para encontrar a melhor equação de curva para aquele caso. O núcleo do funcional deve ser escrito em termos de x (espaço), y (função) e y0 (primeira derivada da função y).

Terapêutica Variacional de Caso I

Caso: se o funcional estiver escrito em termos de x, y, yo:

Terapêutica: deve-se aplicar a seguinte terapêutica:

(d/dx)[∂f/∂yo] – ∂f/∂y = 0

Terapêutica Variacional de Caso II

Caso: se o funcional estiver escrito em termos yo:

(d/dx)[∂f/∂yo] – ∂f/∂y = 0
(d/dx)[∂f/∂yo] – 0 = 0
(d/dx)[∂f/∂yo] = 0

Terapêutica: deve-se aplicar a seguinte terapêutica:

∂f/∂yo = constante

Terapêutica Variacional de Caso III

Caso: se o funcional estiver escrito em termos de y e yo:

Terapêutica: deve-se aplicar a seguinte terapêutica:

(d/dx)[∂f/∂yo] – ∂f/∂y = 0

Terapêutica Variacional do Caso IV

Caso: se o funcional estiver escrito em termos de x e yo:

Terapêutica: deve-se aplicar a seguinte terapêutica:

(d/dx)[∂f/∂yo] – ∂f/∂y = 0
(d/dx)[∂f/∂yo] – 0 = 0
∂f/∂yo = constante

Funcionais Matematizados

Para identificarmos a terapêutica variacional mais indicada para tratar cada caso, primeiro é necessário reescrevermos os funcionais mais comuns (comprimento, volume, superfície, área e tempo) em termos de x e yo.

Não vamos mostrar a dedução de cada funcional, pois foge a proposta desse artigo. Porém, o funcional da área, ou integral da área sob uma curva, foi muito bem deduzido em outro artigo.

Funcional do Comprimento da Curva

Funcional do Volume do Sólido

Funcional da Superfície (Área Lateral do Sólido)

Funcional da Área Abaixo da Curva

Funcional do Tempo

Exemplo

Vamos utilizar o formalismo de M. Le Blanc, que foi fortemente inspirada em Lagrange, para encontrar a curva y(x) que liga o ponto A ao ponto B através de uma superfície plana (euclidiana) com a menor distância possível. Como não há restrições, a solução é obviamente uma linha reta, mas vamos provar matematicamente. Em princípio, supomos que o objeto segue uma rota qualquer:

Figura 3 – Rota de A para B

Funcional

Núcleo do Funcional

f=[1 + y0 2]1/2

Terapêutica Variacional

Como o funcional do comprimento está escrito em termos de yo:

Recomenda-se a terapêutica variacional de caso II:

∂f/∂yo = c

Equação Diferencial

∂/∂yo [1 + y0 2]1/2 = c

Curva Solução

∂/∂yo [1 + y0 2]1/2 = c
1/2[1 + y0 2]-1/22y0 = c
y0/√(1 + y0 2) = c
y0 2/(1 + y0 2) = c2
y0 2 = c2 + c2y0 2
y0 2 – c2y0 2 = c2
y0 2[1 -c2] = c2
y0 2 = c2/[1 -c2]
√y0 2 = √(c2/[1 -c2])
y0=a

dy/dx = a
dy = adx
∫1dy = ∫adx

y = ax + b

Conclusão

A curva que minimiza a distância entre os pontos A e B – geodésica – em uma superfície plana é a reta ax + b.

Referências

1. [http://aquarius.ime.eb.br/~moniz/pdf/calc02.pdf]
2. [https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/17370/17370_4.PDF]
3. [http://www.df.ufcg.edu.br/~romulo/seminarios/wilson_hugo/calcvariac.pdf]
4. [https://repositorio.ufsc.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/96389/Antonio_Joao.pdf?sequence=1&isAllowed=y]
5. [http://200.145.6.238/bitstream/handle/11449/94375/flores_apx_me_rcla.pdf?sequence=1&isAllowed=y]
6. [http://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/MA211/Aula6.pdf]
7. [Material do Curso Prandiano – P2]