Arquivo

Posts Tagged ‘lógica’

As Cores dos Olhos das Escravas

No capítulo XXXIII de O Homem que Calculava [1], o califa desafiou Beremiz Samir, o Homem que Calculava, a encontrar a solução para um curioso problema, que é mais complexo que o Problema das Três Caixas. O califa tinha 5 escravas: 2 tinham olhos negros e 3 tinham olhos azuis. As escravas que tinham olhos negros sempre diziam a verdade, mas as escravas que tinham olhos azuis nunca diziam a verdade e todas tinham os rostos cobertos por véu. Fazendo apenas 3 perguntas, uma para cada uma das 3 garotas escolhidas pelo próprio calculista, deveria-se descobrir, com apenas 3 respostas, as cores dos olhos das 5 escravas.

Figura 1 – As 5 escravas: 2 têm olhos negros e 3 têm olhos azuis

As garotas foram posicionadas lado a lado e o calculista fez a primeira pergunta para garota que estava na extrema esquerda dele: “de que cor são os teus olhos?” A resposta foi dada em chinês, língua inacessível para o calculista. Algumas escravas não eram de origem Árabe. Atendendo ao protesto contido do calculista, todas as respostas seguintes deveriam ser dadas em árabe. Porém, só lhe restavam duas perguntas. Como ele conseguiria descobrir as cores dos olhos de todas as escravas com apenas duas perguntas e duas respostas? A primeira resposta teve algum proveito?

Sem esboçar desânimo, o calculista interpelou a segunda garota na ordem em que estavam postas nesses termos: “qual foi a resposta que a sua companheira acabou de proferir?” A garota respondeu com clareza: “as palavras dela foram “os meus olhos são azuis”. Essa resposta aparentemente ainda não esclarecia o que quer que fosse. O quê Beremiz pretendia com essas perguntas tão vagas? Fique atento à capacidade de uma mente puramente lógica. Sigamos para a terceira pergunta.

A terceira pergunta foi feita para a escrava que estava no centro: “de que cor são os olhos dessas duas jovens à dua direita que acabo de interrogar?” A resposta foi: “a primeira tem os olhos negros e a segunda tem os olhos azuis!”. Após alguns minutos de reflexão, Beremiz respondeu:

“- A primeira escrava (à direita) tem olhos negros; a segunda tem os olhos azuis; a terceira tem os olhos negros e as duas últimas têm olhos azuis!”

Após erguerem-se os véus, verificou-se, para espanto de todos os presentes, que as escravas tinham os olhos das cores informadas e na ordem indicada pelo calculista. Mas como ele fez tanto com tão pouco? Ele fez três perguntas, mas apenas as duas últimas respostas foram inteligíveis – a primeira resposta veio em chinês. A explicação foi dada na sequência do livro, mas vou resumir a abordagem do personagem.

Para a primeira pergunta só havia uma resposta – “os meus olhos são negros” -, pois independente da índole da escrava, sendo sincera ou mentirosa, ela responderia a mesma coisa. Sendo assim, não importaria se a primeira escrava respondesse em chinês ou mesmo se fosse muda. O protesto do calculista foi um simples blefe para fazer parecer que o problema tornara-se mais complexo. Como a primeira resposta era fixa, “meus olhos são negros”, a segunda resposta, “os olhos dela são azuis”, era certamente uma mentira. Nesse momento, o calculista já sabia que a primeira escrava tinha olhos negros (sincera) e a segunda tinha olhos azuis (mentirosa). A terceira resposta, “a primeira tem os olhos negros e a segunda tem os olhos azuis!”, provou que a terceira escrava falara a verdade, ou seja, tinha olhos negros. Por indução, as duas últimas escravas tinham olhos azuis:

| negros | azuis | negros | azuis | azuis |

Crítica

Perceba que o calculista teve sorte ao encontrar a segunda escrava com olhos negros depois de ouvir a terceira resposta. Se a terceira escrava tivesse mentido (olhos azuis), como ele saberia qual das duas últimas escravas tinha olhos azuis e qual tinha olhos negros? Não saberia. Nesse cenário, ele precisaria fazer uma quarta pergunta para ter certeza ou utilizar algum outro artifício que me espaca:

| negros | azuis | azuis | ? | ? |

Há outras combinações fortuitas que dariam a vitória ao calculista, como três mentirosas seguidas ou duas sinceras seguidas, mas o fato é que ele teve sorte ao escolher as três escravas que deveriam responder suas perguntas. Beremiz deveria ter feito a terceira pergunta para a última escrava da esquerda: “quais as cores todos olhos das quatro moças à sua direita?”. Se fosse mentirosa, ele saberia qual era a cor dos olhos dela (azuis) e onde estava a segunda escrava de olhos negros (terceira posição), pois ela responderia assim:

| azuis | negros | azuis | negros | ? |

Referências

1. TAHAN, Malba, O Homem que Calculava, 63ª ed., Rio de Janeiro: Record, 2003
2. [http://josenorberto.com.br/o_homem_que_calculava.pdf]

Anúncios

Os Números Ocultos no Teste de Lógica

Esse é um dos problemas de um teste de raciocínio lógico com mais ou menos 60 perguntas simples que consistia em encontrar padrões entre desenhos, números ou as duas coisas juntas. Nessa questão perguntava-se quais eram os dois números que completavam a sequência abaixo:

1233?6?89

Parecia simples, mas a pessoa que o criou, propositalmente ou não, embutiu um número que atrapalhava qualquer tipo de combinação que se tentasse fazer: o 1!. A sequência correta deveria começar por 0 e não por 1 ou simplesmente não deveria ter nada antes do 2 – vou explicar o porquê mais adiante:

0233?6?89

Foi por causa desse número 1 que não consegui entender na primeira vez que vi o problema. Tentei aplicar as operações elementares e até potenciações e radiciações, mas nada dava certo. Pensei até em logaritmo! É curiosa a forma como nosso subconsciente trabalha: acordei no dia seguinte com a solução:

123356689

Ou melhor:

023356689

Os números que chutei eram apenas hipóteses que precisei provar, mas para isso era necessário encontrar um padrão naquele sequência numérica. Percebi que a sequência tendia ao crescimento, mas além de números sequenciais existiam números que se repetiam. Primeiro, olhei para as duas sequências:

|123| e |89|

E depois me interessei pelo número que se repetia:

|33|

Trabalhando com a hipótese de que as incógnitas eram partes de sequências ou repetições, testei com 5 e 7:

|1|2|33|5|6|7|8|9|

Não era muito promissor. Então testei com 5 e 6:

|1|2|33|5|66|8|9|

Quando dividi a sequência no “sonho” em blocos que agrupavam o mesmo número, aparentemente deu certo para a segunda combinação (5 e 6), mas esse |1| parecia deslocado, pois antes do |2| era esperada a repetição |00| para que a regra de formação do conjunto S (solução) valesse:

S = [número 1][sequência de dois números][repete o último número da sequência][pula um número]

Nesse momento, realoquei as barras e vi uma formação diferente que poderia ser generalizada desde que o número fosse descartado:

|233|566|89|

Podemos escrever uma sequência que materializa essa ideia:

…,[si,1 + si],[1 + si],[3 + si],…

O que permite escrever a representação matemática do conjunto S para generalizar a solução ao infinito (-∞…+∞):

S = [2 + 3n],[3(n+1)],[3(n+1)] ∀ n ∈ Z | S ⊂ Z

Dessa forma, é possível construir toda a sequência indo de n=-∞ até +∞:

…,-4,-3,-3,-1,0,0,2,3,3,5,6,6,8,9,9,11,12,12,14,15,…

O que permite afirmar que nossa hipótese inicial (5 e 6) está provada e podemos devolver o |1| que foi omitido para que pudéssemos construir nossa prova:

123356689
Categorias:Matemática Tags: