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Epistemologia da Integração de Funções Compostas

Em outro artigo, demonstrei como se chega na fórmula das derivadas compostas utilizando logaritmo:

f'(x) = u'(x).v(x) + v'(x).u(x)

Podemos generalizar essa fórmula assim:

[uv]’ = u’v + uv’

Nesse artigo, vou apresentar a epistemologia da integração por partes. Vou utilizar a versão genérica, mas você pode fazer um intervalo definido de a até b:

[uv]’ = u’v + uv’

[uv]’ = u’v + uv’

uv = u’v + uv’

u’v = uv – uv’

Vamos demonstrar com um exemplo:

ln x dx

1 . ln x dx

Trabalhando as variáveis da integração por partes:

u = x ∴ u’ = 1
v = ln x ∴ v’ = 1/x

Substituindo na integral:

lnx dx = xlnx – x1/xdx
lnx dx = xlnx – dx

E simplificando:

lnx dx = xlnx – x + c
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Categorias:Matemática Tags:

O Cálculo Diferencial e a Guerra do Cálculo

É difícil dizer quem foi o pai do cálculo [2]. Os franceses jurariam que foi Pierre de Fermat (1601-1665), os ingleses diriam que foi Isaac Newton (1643-1727) e os alemães afirmariam, é claro, que foi Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Quem está com a razão? Descartes. Bem, não acho que caiba uma resposta simples e direta nessa pergunta. Também não acho que essa seja uma pergunta justa uma vez que esses matemáticos e outros menos famoso contribuíram de alguma forma para o desenvolvimento do cálculo. Se uma gestão pública inicia uma obra e a próxima gestão a entrega, quem realizou a obra? Quem iniciou, quem cortou a fita ou os dois? Particularmente, acho que devemos analisar qual foi a maior contribuição que cada um dos matemáticos envolvidos nessa saga deu e se seu legado permitiu que a matemática evoluísse sob a ótica notacional, o que implicaria preocupação semiótica do autor. Pensando dessa forma, o cálculo em si passaria para o segundo plano.

Figura 1 – Pierre de Fermat

Embora Fermat seja mais lembrado por aquilo que ele não fez (o Último Teorema de Fermat), ainda assim sua contribuição para o desenvolvimento do cálculo foi relativamente menor que a de seus “rivais” europeus. Preocupado com as questões relacionadas à máximos e mínimos de funções, ele desenvolveu um método para calcular tangentes e outro método para calcular a área sob uma curva utilizando exaustão, mas ele não desenvolveu uma forma de conectar uma derivée a uma integral. Além disso, ele ainda estava muito limitado pela geometria. Cronologicamente, ele foi o primeiro que conseguiu produzir algum resultado prático utilizando a Geometria Analítica de René Descartes (1596-1650) em 1629, mas Newton e Leibniz, percebendo a Natureza inversa das derivadas e das integrais, criaram métodos para se chegar de uma em outra. Tendo esses dois últimos legado as maiores contribuições, vamos colocá-los para “brigar”.

Figura 2 – Isaac Newton

Figura 3 – Gottfried Wilhelm Leibniz

No início do século XVIII, Newton e Leibniz estavam a ponto de entrar em guerra no que ficou conhecido como a Guerra do Cálculo, uma batalha pública com trocas de acusações e artigos difamatórios travada entre as duas personagens pela autoria do Cálculo Diferencial ou Infinitesimal e o Cálculo Integral. Os dois, seguindo caminhos diferentes, conseguiram conectar as derivadas às integrais: agora, era possível passar de um problema ao outro de forma prática. Newton criou o “Método de Fluxos e Fluentes” entre 1665 e 1666, mas ele não contou para ninguém exceto para seus amigos mais próximos. Em 1672, Leibniz, em sua estadia na França, debruçou-se sobre o trabalho de Newton e em 1675 desenvolveu seu próprio método, que mais tarde foi publicado na revista Acta Eruditorum com o título:

Novo Método para Máximos e Mínimos e Também para Tangentes o qual não é Atrapalhado por Quantidades Fracionárias e Irracionais, e um Admirável Cálculo para Eles

Percebe-se nessas poucas palavras que o cálculo diferencial proposto por Leibniz se aplicava também à funções compostas e àquelas que lidam com expoentes irracionais. Em outras palavras, esse método não tinha as limitações dos fluxos de Newton – derivava qualquer coisa. O blog Baricentro da Mente publicou recentemente um artigo sobre as notações utilizadas em derivadas. Como não utilizei aquela referência para escrever meu artigo, se houver alguma similaridade é mera coincidência.

Recomendo que você assista ao documentário A História do Cálculo [2], que explica com mais detalhes a contribuição dos três matemáticos citados para o cálculo, mas nesse artigo me preocupo com o aspecto semiótico das notações desenvolvidas por Newton e Leibniz. A abordagem de Leibniz, que veremos à seguir, é muito superior à de Newton: a simbologia dos fluxos traz pouca noese (sterillis abreviatio) se comparada às possibilidades mereológicas da mirabilis abreviatio criada por Leibniz.

Leibniz e Newton foram grandes matemáticos, mas nesse campo, mesmo inacreditavelmente pouco conhecido, Leibniz é superior à Newton, da mesma forma como no campo de Newton (física), Newton é indiscutivelmente superior à Leibniz e a todos os outros cientistas de seu tempo e dos séculos posteriores. Lembre-se: em um período de dois anos, Newton fez importantes descobertas no campo da ótica, da mecânica dos fluidos e das famosas leis do movimento e da teoria da gravitação universal. Lembre-se também: apenas no começo do século XX foi proposta uma teoria melhor do que a Lei da Gravitação Universal de Newton para explicar o movimento dos corpos celestes. Para entender a grande contribuição de Leibniz para a matemática, vamos dar uma olhada nas notações utilizadas por eles:

1. Notação Fluxional de Newton: fo

2. Notação Diferencial de Leibniz: d/dx

fo indica o ponto de uma curva em que o fluxômetro (nível de bolha) fica estável, o que indica um ponto de máximo ou de mínimo, mas o que você faz com essa notação? Nada! Essa notação é fraca. Ela não permite que a matemática avance em nenhuma direção que ajude na resolução e sequer contribui para um maior entendimento do objeto matemático analisado. Embora a contribuição de Newton para o desenvolvimento do cálculo seja indiscutível, ele e Fermat antes dele, tais como os gregos dois mil anos antes, estavam muito presos às representações geométricas, ou seja, precisavam de um desenho para guiar seus estudos. Por outro lado, a notação d/dx é tão poderosa que permite exogenizar o percepto matemático. Essa notação foi utilizada séculos depois como traço (etapa semiótica da produção de signos) para o desenvolvimento das derivadas fracionárias, mas essa é uma outra história. Leibniz perseguia uma linguagem matemática formalizada e elegante que se apresentasse como uma combinação de símbolos onde apenas o encadeamento das idéias tinha importância [1]. Em outras palavras, ele se livrou das amarras geométricas e trabalhou em outro nível de abstração.

Vamos analisar essa noção de percepto aplicada a um objeto matemático para entender a proposta de Leibniz. Percepto é uma unidade de sentido – trata-se de como o objeto afeta seus sentidos; de como você o percebe. A percepção é endógena, ou seja, nesse momento ela habita sua mente e é algo muito pessoal que depende de uma série de fatores associados à suas capacidades cognitivas e conhecimentos acumulados. Exogenizar um percepto significa lidar com ele fora da sua mente, ou seja, materializar sua percepção de forma estruturada. Pense, por exemplo, na fração 5/6. Existe outra forma de representá-la? Poderíamos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo valor e trocar os numeradores ou os denominadores entre si e ainda manter a mesma proporção:

1) 5/6 = (5/6)*(8/8) = (5/8)*(8/6)

2) 5/6 = (5/6)*(x/x) = (5/x)*(x/6)

3) 5/6 = (5/6)*(√a/√a) = (5/a1/2)*(a1/2/6)

É precisamente essa a proposta da notação diferencial de Leibniz: ela permite uma mudança de variável que facilita a abordagem do problema devido ao encadeamento estruturado dos símbolos. Vamos a um exemplo. Dada a função f=[3x-1]2, pede-se df/dx – essa diferença d nos eixos f e x é um valor infinitamente pequeno.

Tem-se:

f = 2t2
df/dt = t1

t = 3x-1
dt/dx = 3

Porém:

df/dx = (df/dt)*(dt/dx)

df/dx = 2t1*3

Resulta:

df/dx = 2[3x-1]1*3

Utilizando esse método para derivar outros polinômios, deduzimos que:

d[f(x)]n/dx = n*[f(x)]n-1fo(x)

Em palavras menos polidas, “a derivada do de fora multiplicada pela derivada do de dentro”. Pelo método dos fluxos de Newton, teríamos que calcular o limite dessa função para encontrar o ponto de máximo ou de mínimo de forma icástica e utilizar um fluxômetro para poder explicar para alguém onde é o máximo e onde é o mínimo. Imagine a dificuldade de realizar esses procedimentos com equações transcendentais que misturam polinômios, exponenciais, logarítmos, senos e cossenos. Sim, é melhor utilizar um software.

Conclusão

Leibniz e Newton passaram para a história como co-autores do cálculo e são vistos como os matemáticos que deram as maiores contribuições para a matemática depois dos gregos. Newton tinha uma visão romântica: achava tudo belo e harmonioso e se opunha ao caráter mecânico da álgebra [1]. Leibniz era atraído pela linguagem simbólica da álgebra, que combinava com seu raciocínio categórico [1]. A disputa de egos que travaram durante a Guerra do Cálculo mostra que embora fossem duas das maiores inteligências que passaram pela Terra, ainda assim eram demasiado humanos, tais como os deuses do Olimpo, que embora poderosos e imortais sofriam das mesmas paixões e tinham os mesmos defeitos dos simples mortais.

Referências

1. PRANDINI, Aguinaldo P. Matemático e Louco, Todos somos um pouco, 1ª ed., São Paulo: Prandiano Edições, 1989
2. Solução Matemática. A História do Cálculo. Disponível em: [https://www.youtube.com/watch?v=6HI47rcOiAE]. Acesso em: 11 fev. 2018.

A Matemática Analítica e o Cálculo Variacional

M. Le Blanc, pseudônimo de Marie-Sophie Germain (1776-1831), deixou grandes contribuições para a teoria dos números com seu trabalho sobre o Último Teorema de Fermat e seus estudos sobre as superfícies elásticas. Inspirada pelo formalismo da Mecânica Analítica de Lagrange, ela estabeleceu um método para descobrir a equação da curva mais adequada dadas determinadas restrições.

d/dt[∂ℒ/∂q’] – ∂ℒ/∂q = 0

Figura 1 – Lagrangeano ℒ(t,q,q’) – energia – domínio da física

(d/dx)[∂f/∂y’] – ∂f/∂y = 0

Figura 2 – Mleblancano f(x,y,y’) – forma – domínio da matemática

O cálculo variacional estabelece que, entre todas as funções admissíveis, aquela que maximiza ou minimiza o funcional é a solução do problema em determinado espaço regido pelo funcional. O método variacional fornece uma maneira relativamente fácil de se construir as equações que governam um sistema, uma vez que uma formulação variacional considera grandezas escalares ao invés de vetoriais [2]. Esse método é uma generalização do cálculo de máximos e mínimos de funções reais de uma variável. O cálculo ordinário lida com funções e o cálculo das variações lida com os funcionais – mais especificamente, com o núcleo desses funcionais.

Um conceito fundamental do cálculo variacional é o funcional, que é uma grandeza escalar; função de funções, que assume um valor particular dependente da função nele utilizada [1]; é um operador que mapeia as funções admissíveis no espaço dos números reais:

n → ℜ*

No caso de funções com mais de uma variável surgem as derivadas parciais, que são derivadas direcionais particulares. O conceito de derivada funcional (ou variacional) desempenha para funcionais o mesmo papel que o conceito de derivada direcional desempenha para funções de n variáveis [3].

Funcionais podem, por exemplo, ser formados por integrais envolvendo uma função incógnita e suas derivadas. O interesse está em funções extremas – aquelas que fazem o funcional atingir um valor máximo ou mínimo – ou de funções fixas – aquelas onde a taxa de variação do funcional é zero.

A imagem abaixo resume o objetivo do cálculo variacional. Note que entre os pontos A e B há várias curvas candidatas à otimizadoras da Integral I, mas elas têm variações (δy≠0). Nos pontos A e B não há variações (δy|A=0 e δy|B=0). Queremos encontrar a curva que liga esses dois pontos e que não apresenta variações.

Figura 3 – Curvas candidatas

Terapêutica Variacional

O método de M. Le Blanc visa encontrar a curva que maximiza ou minimiza um funcional através de uma dentre quatro “terapêuticas” utilizadas para classificar e tratar o problema. Na medicina, terapêutica é um meio usado para tratar determinada doença ou estado patológico. Em cálculo variacional, terapêutica é uma forma de classificar um problema e tratá-lo com o funcional mais adequado, observando certas condições em seu núcleo, para encontrar a melhor equação de curva para aquele caso. O núcleo do funcional deve ser escrito em termos de x (espaço), y (função) e y’ (primeira derivada da função y).

Terapêutica Variacional de Caso I

Caso: se o funcional estiver escrito em termos de x, y, y’:

Terapêutica: deve-se aplicar a seguinte terapêutica:

(d/dx)[∂f/∂y’] – ∂f/∂y = 0

Terapêutica Variacional de Caso II

Caso: se o funcional estiver escrito em termos de y’:

(d/dx)[∂f/∂y’] – ∂f/∂y = 0
(d/dx)[∂f/∂y’] – 0 = 0
(d/dx)[∂f/∂y’] = 0

Terapêutica: deve-se aplicar a seguinte terapêutica:

∂f/∂y’ = constante

Terapêutica Variacional de Caso III

Caso: se o funcional estiver escrito em termos de y e y’:

Terapêutica: deve-se aplicar a seguinte terapêutica:

(d/dx)[∂f/∂y’] – ∂f/∂y = 0

Terapêutica Variacional do Caso IV

Caso: se o funcional estiver escrito em termos de x e y’:

Terapêutica: deve-se aplicar a seguinte terapêutica:

(d/dx)[∂f/∂y’] – ∂f/∂y = 0
(d/dx)[∂f/∂y’] – 0 = 0
∂f/∂y’ = constante

Funcionais Matematizados

Para identificarmos a terapêutica variacional mais indicada para tratar cada caso, primeiro é necessário reescrevermos os funcionais mais comuns (comprimento, volume, superfície, área e tempo) em termos de x e y’.

Não vamos mostrar a dedução de cada funcional, pois foge a proposta desse artigo. Porém, o funcional da área, ou integral da área sob uma curva, foi muito bem deduzido em outro artigo.

Funcional do Comprimento da Curva

Funcional do Volume do Sólido

Funcional da Superfície (Área Lateral do Sólido)

Funcional da Área Abaixo da Curva

Funcional do Tempo

Exemplo

Vamos utilizar o formalismo de M. Le Blanc, que foi fortemente inspirada em Lagrange, para encontrar a curva y(x) que liga o ponto A ao ponto B através de uma superfície plana (euclidiana) com a menor distância possível. Como não há restrições, a solução é obviamente uma linha reta, mas vamos provar matematicamente. Em princípio, supomos que o objeto segue uma rota qualquer:

Figura 3 – Rota de A para B

Funcional

Núcleo do Funcional

f=[1 + y’2]1/2

Terapêutica Variacional

Como o funcional do comprimento está escrito em termos de y’:

Recomenda-se a terapêutica variacional de caso II:

∂f/∂y’ = c

Equação Diferencial

∂/∂y’ [1 + y’2]1/2 = c

Curva Solução

∂/∂y’ [1 + y’2]1/2 = c
1/2[1 + y’2]-1/22y’ = c
y’/√(1 + y’2) = c
y’2/(1 + y’2) = c2
y’2 = c2 + c2y’2
y’2 – c2y’2 = c2
y’2[1 -c2] = c2
y’2 = c2/[1 -c2]
√y’2 = √(c2/[1 -c2])
y’=a

dy/dx = a
dy = adx
∫1dy = ∫adx

y = ax + b

Conclusão

A curva que minimiza a distância entre os pontos A e B – geodésica – em uma superfície plana é a reta ax + b.

Referências

1. [http://aquarius.ime.eb.br/~moniz/pdf/calc02.pdf]
2. [https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/17370/17370_4.PDF]
3. [http://www.df.ufcg.edu.br/~romulo/seminarios/wilson_hugo/calcvariac.pdf]
4. [https://repositorio.ufsc.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/96389/Antonio_Joao.pdf?sequence=1&isAllowed=y]
5. [http://200.145.6.238/bitstream/handle/11449/94375/flores_apx_me_rcla.pdf?sequence=1&isAllowed=y]
6. [http://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/MA211/Aula6.pdf]
7. [Material do Curso Prandiano – P2]

O Cálculo Integral

O cálculo integral, assim como as noções de limite, derivada e infinito, foi inspirado no método da exaustão, que era utilizado pelos antigos matemáticos gregos para aproximação de valores de áreas. Integrais são úteis em vários campos [3]: na geometria, elas possibilitam o cálculo das áreas entre curvas e a determinação do volume dos sólidos de revolução; na física, utilizam-se integrais para calcular o trabalho realizado por uma força, o momento, centros de massa, inércia, etc.

Integral Definida é uma generalização do processo de cálculo de área. Nos intervalos em que a função que será integrada é positiva, a integral definida dessa função coincide com o valor da área sob a curva f(x) no intervalo considerado [a,b] como mostrado na figura abaixo:

slide2

Figura 1 – A área sob uma curva

Assim como na dedução da derivada através do limite e no método da exaustão, a dedução da integral parte de uma figura geométrica básica: o retângulo. Poderia ser um triângulo ou qualquer outra figura plana básica, mas pelas imagens que seguem você perceberá que o retângulo é a melhor escolha – observe a área ocupada pelo retângulo.

A ideia de encontrar a área de uma determinada forma considerando-a como a soma de um grande número de formas pequenas originou-se entre os gregos, mas foi Fermat quem a utilizou com sucesso desenhando retângulos para calcular a área sob uma curva. Infelizmente, Fermat é mais lembrado por ter legado ao mundo um problema que demorou trezentos anos para ser resolvido e que foi chamado de O Último Teorema de Fermat.

A área sob um gráfico é obtida discretizando a área em n retângulos. Tomando-se como base a abcissa de um plano cartesiano, deve-se inscrever retângulos com alturas que toquem a curva determinada por f(x):

integral7

Figura 2 – A área do retângulo

A área de um retângulo é o produto da base pela altura. Na figura, a base é representada pela variação dos valores de x no intervalo definido para o retângulo e expressa por Δx e a altura é a própria função f(x), que é a coordenada do plano cartesiano. Note que, ao discretizar, os retângulos não preenchem integralmente a área desejada. Por isso, é necessário que esses retângulos sejam infinitamente pequenos:

slide5

Figura 3 – Figura discretizada

Em seguida, somam-se as áreas desses n retângulos em um intervalo definido de [a, b] para obtermos a integral definida:

A=f(x1)Δx + f(x2)Δx + … + f(xn)Δx

Ou seja,

soma

Quando a quantidade de retângulos discretizados tende ao infinito (n→∞), dizemos que a soma é infinita:

integral6

Figura 4 – Soma infinita

A soma infinita é denotada por:

soma_infinita

O Teorema Fundamental do Cálculo

O conceito de integral está relacionado ao cálculo da área de uma figura. Para calcular a área, inserimos n retângulos na região compreendida entre o gráfico da função f(x) e o intervalo [a,b] conforme a Figura 1. Porém, foi o Teorema Fundamental do Cálculo – a relação inversa entre diferenciação e integração – que transformou o novo cálculo em uma ferramenta tão poderosa.

O teorema fundamental do cálculo torna o cálculo de integrais mais simples e estabelece a importante conexão entre o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O primeiro surgiu à partir do problema de se determinar a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu à partir do problema de se encontrar a área de uma figura plana.

O teorema permite calcular a integral de uma função utilizando uma primitiva daquela função – essa é a chave para calcular integrais. De forma simples, F(x) é a integral de f(x) e f(x) é a derivada de F(x). Formalmente, se a função f(x) é integrável no intervalo fechado [a,b] e se F(x) é a primitiva de f(x) neste intervalo, então:

integral_regua_3

Ou:

integral_regua_4

Para facilitar a descoberta da função primitiva F(x), podemos utilizar a régua de integração. Note que é dessa régua que vem a barra vertical com os intervalos de integração utilizada no teorema fundamental. A região destacada em azul no gráfico de F(x) é numericamente igual a área ou integral do gráfico de f(x).

integral_regua_1

Figura 5 – Régua de integração para uma função polinomial

Note que xn+1/n+1 é o formato pelo qual descobrimos a primitiva de uma função polinomial, pois basta “inverter” o que foi feito para derivar. No caso, a derivada de um polinômio tem o formato n*xn-1 conforme explicado aqui.

Exemplo

Vamos ver um exemplo de resolução descritiva e gráfica utilizando a integral do polinômio abaixo:

integral_regua_5

Vamos organizar o problema para deixar claro que a integral pedida será o resultado da diferença da função primitiva F(x) no intervalo [2,4] conforme o teorema fundamental do cálculo:

integral_regua_6

O mais importante é descobrir a função primitiva para f(x) = x. Para descobrir a integral de um polinômio, basta adicionar uma unidade ao expoente e uma unidade ao denominador. Sendo assim, F(x) = x2/2. A resolução descritiva fica assim:

integral_regua_7

A resolução gráfica utilizando a régua de integração fica assim:

integral_regua_2

Figura 6 – Resolução gráfica com régua de integração

Referências

1. [https://jhcruz.mat.ufg.br/up/39/o/Cap%C3%ADtulo_7.pdf]
2. [https://jhcruz.mat.ufg.br/up/39/o/Cap%C3%ADtulo_8.pdf]
3. [https://jhcruz.mat.ufg.br/up/39/o/Cap%C3%ADtulo_11.pdf]
4. [http://cead.ufpi.br/conteudo/material_online/disciplinas/matematica/download/unidade6.pdf]
5. [http://www.eeweb.com/toolbox/math-help]