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A Matemática Analítica e o Cálculo Variacional

M. Le Blanc, pseudônimo de Marie-Sophie Germain (1776-1831), deixou grandes contribuições para a teoria dos números com seu trabalho sobre o Último Teorema de Fermat e seus estudos sobre as superfícies elásticas. Inspirada pelo formalismo da Mecânica Analítica de Lagrange, ela estabeleceu um método para descobrir a equação da curva mais adequada dadas determinadas restrições.

d/dt[∂ℒ/∂qo] – ∂ℒ/∂q = 0

Figura 1 – Lagrangeano ℒ(t,q,qo) – energia – domínio da física

(d/dx)[∂f/∂yo] – ∂f/∂y = 0

Figura 2 – Mleblancano f(x,y,yo) – forma – domínio da matemática

O cálculo variacional estabelece que, entre todas as funções admissíveis, aquela que maximiza ou minimiza o funcional é a solução do problema em determinado espaço regido pelo funcional. O método variacional fornece uma maneira relativamente fácil de se construir as equações que governam um sistema, uma vez que uma formulação variacional considera grandezas escalares ao invés de vetoriais [2]. Esse método é uma generalização do cálculo de máximos e mínimos de funções reais de uma variável. O cálculo ordinário lida com funções e o cálculo das variações lida com os funcionais – mais especificamente, com o núcleo desses funcionais.

Um conceito fundamental do cálculo variacional é o funcional, que é uma grandeza escalar; função de funções, que assume um valor particular dependente da função nele utilizada [1]; é um operador que mapeia as funções admissíveis no espaço dos números reais:

n → ℜ*

No caso de funções com mais de uma variável surgem as derivadas parciais, que são derivadas direcionais particulares. O conceito de derivada funcional (ou variacional) desempenha para funcionais o mesmo papel que o conceito de derivada direcional desempenha para funções de n variáveis [3].

Funcionais podem, por exemplo, ser formados por integrais envolvendo uma função incógnita e suas derivadas. O interesse está em funções extremas – aquelas que fazem o funcional atingir um valor máximo ou mínimo – ou de funções fixas – aquelas onde a taxa de variação do funcional é zero.

A imagem abaixo resume o objetivo do cálculo variacional. Note que entre os pontos A e B há várias curvas candidatas à otimizadoras da Integral I, mas elas têm variações (δy≠0). Nos pontos A e B não há variações (δy|A=0 e δy|B=0). Queremos encontrar a curva que liga esses dois pontos e que não apresenta variações.

Figura 3 – Curvas candidatas

Terapêutica Variacional

O método de M. Le Blanc visa encontrar a curva que maximiza ou minimiza um funcional através de uma dentre quatro “terapêuticas” utilizadas para classificar e tratar o problema. Na medicina, terapêutica é um meio usado para tratar determinada doença ou estado patológico. Em cálculo variacional, terapêutica é uma forma de classificar um problema e tratá-lo com o funcional mais adequado, observando certas condições em seu núcleo, para encontrar a melhor equação de curva para aquele caso. O núcleo do funcional deve ser escrito em termos de x (espaço), y (função) e y0 (primeira derivada da função y).

Terapêutica Variacional de Caso I

Caso: se o funcional estiver escrito em termos de x, y, yo:

Terapêutica: deve-se aplicar a seguinte terapêutica:

(d/dx)[∂f/∂yo] – ∂f/∂y = 0

Terapêutica Variacional de Caso II

Caso: se o funcional estiver escrito em termos yo:

(d/dx)[∂f/∂yo] – ∂f/∂y = 0
(d/dx)[∂f/∂yo] – 0 = 0
(d/dx)[∂f/∂yo] = 0

Terapêutica: deve-se aplicar a seguinte terapêutica:

∂f/∂yo = constante

Terapêutica Variacional de Caso III

Caso: se o funcional estiver escrito em termos de y e yo:

Terapêutica: deve-se aplicar a seguinte terapêutica:

(d/dx)[∂f/∂yo] – ∂f/∂y = 0

Terapêutica Variacional do Caso IV

Caso: se o funcional estiver escrito em termos de x e yo:

Terapêutica: deve-se aplicar a seguinte terapêutica:

(d/dx)[∂f/∂yo] – ∂f/∂y = 0
(d/dx)[∂f/∂yo] – 0 = 0
∂f/∂yo = constante

Funcionais Matematizados

Para identificarmos a terapêutica variacional mais indicada para tratar cada caso, primeiro é necessário reescrevermos os funcionais mais comuns (comprimento, volume, superfície, área e tempo) em termos de x e yo.

Não vamos mostrar a dedução de cada funcional, pois foge a proposta desse artigo. Porém, o funcional da área, ou integral da área sob uma curva, foi muito bem deduzido em outro artigo.

Funcional do Comprimento da Curva

Funcional do Volume do Sólido

Funcional da Superfície (Área Lateral do Sólido)

Funcional da Área Abaixo da Curva

Funcional do Tempo

Exemplo

Vamos utilizar o formalismo de M. Le Blanc, que foi fortemente inspirada em Lagrange, para encontrar a curva y(x) que liga o ponto A ao ponto B através de uma superfície plana (euclidiana) com a menor distância possível. Como não há restrições, a solução é obviamente uma linha reta, mas vamos provar matematicamente. Em princípio, supomos que o objeto segue uma rota qualquer:

Figura 3 – Rota de A para B

Funcional

Núcleo do Funcional

f=[1 + y0 2]1/2

Terapêutica Variacional

Como o funcional do comprimento está escrito em termos de yo:

Recomenda-se a terapêutica variacional de caso II:

∂f/∂yo = c

Equação Diferencial

∂/∂yo [1 + y0 2]1/2 = c

Curva Solução

∂/∂yo [1 + y0 2]1/2 = c
1/2[1 + y0 2]-1/22y0 = c
y0/√(1 + y0 2) = c
y0 2/(1 + y0 2) = c2
y0 2 = c2 + c2y0 2
y0 2 – c2y0 2 = c2
y0 2[1 -c2] = c2
y0 2 = c2/[1 -c2]
√y0 2 = √(c2/[1 -c2])
y0=a

dy/dx = a
dy = adx
∫1dy = ∫adx

y = ax + b

Conclusão

A curva que minimiza a distância entre os pontos A e B – geodésica – em uma superfície plana é a reta ax + b.

Referências

1. [http://aquarius.ime.eb.br/~moniz/pdf/calc02.pdf]
2. [https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/17370/17370_4.PDF]
3. [http://www.df.ufcg.edu.br/~romulo/seminarios/wilson_hugo/calcvariac.pdf]
4. [https://repositorio.ufsc.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/96389/Antonio_Joao.pdf?sequence=1&isAllowed=y]
5. [http://200.145.6.238/bitstream/handle/11449/94375/flores_apx_me_rcla.pdf?sequence=1&isAllowed=y]
6. [http://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/MA211/Aula6.pdf]
7. [Material do Curso Prandiano – P2]

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O Cálculo Integral

O cálculo integral, assim como as noções de limite, derivada e infinito, foi inspirado no método da exaustão, que era utilizado pelos antigos matemáticos gregos para aproximação de valores de áreas. Integrais são úteis em vários campos [3]: na geometria, elas possibilitam o cálculo das áreas entre curvas e a determinação do volume dos sólidos de revolução; na física, utilizam-se integrais para calcular o trabalho realizado por uma força, o momento, centros de massa, inércia, etc.

Integral Definida é uma generalização do processo de cálculo de área. Nos intervalos em que a função que será integrada é positiva, a integral definida dessa função coincide com o valor da área sob a curva f(x) no intervalo considerado [a,b] como mostrado na figura abaixo:

slide2

Figura 1 – A área sob uma curva

Assim como na dedução da derivada através do limite e no método da exaustão, a dedução da integral parte de uma figura geométrica básica: o retângulo. Poderia ser um triângulo ou qualquer outra figura plana básica, mas pelas imagens que seguem você perceberá que o retângulo é a melhor escolha – observe a área ocupada pelo retângulo.

A ideia de encontrar a área de uma determinada forma considerando-a como a soma de um grande número de formas pequenas originou-se entre os gregos, mas foi Fermat quem a utilizou com sucesso desenhando retângulos para calcular a área sob uma curva. Infelizmente, Fermat é mais lembrado por ter legado ao mundo um problema que demorou trezentos anos para ser resolvido e que foi chamado de O Último Teorema de Fermat.

A área sob um gráfico é obtida discretizando a área em n retângulos. Tomando-se como base a abcissa de um plano cartesiano, deve-se inscrever retângulos com alturas que toquem a curva determinada por f(x):

integral7

Figura 2 – A área do retângulo

A área de um retângulo é o produto da base pela altura. Na figura, a base é representada pela variação dos valores de x no intervalo definido para o retângulo e expressa por Δx e a altura é a própria função f(x), que é a coordenada do plano cartesiano. Note que, ao discretizar, os retângulos não preenchem integralmente a área desejada. Por isso, é necessário que esses retângulos sejam infinitamente pequenos:

slide5

Figura 3 – Figura discretizada

Em seguida, somam-se as áreas desses n retângulos em um intervalo definido de [a, b] para obtermos a integral definida:

A=f(x1)Δx + f(x2)Δx + … + f(xn)Δx

Ou seja,

soma

Quando a quantidade de retângulos discretizados tende ao infinito (n→∞), dizemos que a soma é infinita:

integral6

Figura 4 – Soma infinita

A soma infinita é denotada por:

soma_infinita

O Teorema Fundamental do Cálculo

O conceito de integral está relacionado ao cálculo da área de uma figura. Para calcular a área, inserimos n retângulos na região compreendida entre o gráfico da função f(x) e o intervalo [a,b] conforme a Figura 1. Porém, foi o Teorema Fundamental do Cálculo – a relação inversa entre diferenciação e integração – que transformou o novo cálculo em uma ferramenta tão poderosa.

O teorema fundamental do cálculo torna o cálculo de integrais mais simples e estabelece a importante conexão entre o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O primeiro surgiu à partir do problema de se determinar a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu à partir do problema de se encontrar a área de uma figura plana.

O teorema permite calcular a integral de uma função utilizando uma primitiva daquela função – essa é a chave para calcular integrais. De forma simples, F(x) é a integral de f(x) e f(x) é a derivada de F(x). Formalmente, se a função f(x) é integrável no intervalo fechado [a,b] e se F(x) é a primitiva de f(x) neste intervalo, então:

integral_regua_3

Ou:

integral_regua_4

Para facilitar a descoberta da função primitiva F(x), podemos utilizar a régua de integração. Note que é dessa régua que vem a barra vertical com os intervalos de integração utilizada no teorema fundamental. A região destacada em azul no gráfico de F(x) é numericamente igual a área ou integral do gráfico de f(x).

integral_regua_1

Figura 5 – Régua de integração para uma função polinomial

Note que xn+1/n+1 é o formato pelo qual descobrimos a primitiva de uma função polinomial, pois basta “inverter” o que foi feito para derivar. No caso, a derivada de um polinômio tem o formato n*xn-1 conforme explicado aqui.

Exemplo

Vamos ver um exemplo de resolução descritiva e gráfica utilizando a integral do polinômio abaixo:

integral_regua_5

Vamos organizar o problema para deixar claro que a integral pedida será o resultado da diferença da função primitiva F(x) no intervalo [2,4] conforme o teorema fundamental do cálculo:

integral_regua_6

O mais importante é descobrir a função primitiva para f(x) = x. Para descobrir a integral de um polinômio, basta adicionar uma unidade ao expoente e uma unidade ao denominador. Sendo assim, F(x) = x2/2. A resolução descritiva fica assim:

integral_regua_7

A resolução gráfica utilizando a régua de integração fica assim:

integral_regua_2

Figura 6 – Resolução gráfica com régua de integração

Referências

1. [https://jhcruz.mat.ufg.br/up/39/o/Cap%C3%ADtulo_7.pdf]
2. [https://jhcruz.mat.ufg.br/up/39/o/Cap%C3%ADtulo_8.pdf]
3. [https://jhcruz.mat.ufg.br/up/39/o/Cap%C3%ADtulo_11.pdf]
4. [http://cead.ufpi.br/conteudo/material_online/disciplinas/matematica/download/unidade6.pdf]
5. [http://www.eeweb.com/toolbox/math-help]