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A Matemática Analítica e o Cálculo Variacional

M. Le Blanc, pseudônimo de Marie-Sophie Germain (1776-1831), deixou grandes contribuições para a teoria dos números com seu trabalho sobre o Último Teorema de Fermat e seus estudos sobre as superfícies elásticas. Inspirada pelo formalismo da Mecânica Analítica de Lagrange, ela estabeleceu um método para descobrir a equação da curva mais adequada dadas determinadas restrições.

d/dt[∂ℒ/∂qo] – ∂ℒ/∂q = 0

Figura 1 – Lagrangeano ℒ(t,q,qo) – energia – domínio da física

(d/dx)[∂f/∂yo] – ∂f/∂y = 0

Figura 2 – Mleblancano f(x,y,yo) – forma – domínio da matemática

O cálculo variacional estabelece que, entre todas as funções admissíveis, aquela que maximiza ou minimiza o funcional é a solução do problema em determinado espaço regido pelo funcional. O método variacional fornece uma maneira relativamente fácil de se construir as equações que governam um sistema, uma vez que uma formulação variacional considera grandezas escalares ao invés de vetoriais [2]. Esse método é uma generalização do cálculo de máximos e mínimos de funções reais de uma variável. O cálculo ordinário lida com funções e o cálculo das variações lida com os funcionais – mais especificamente, com o núcleo desses funcionais.

Um conceito fundamental do cálculo variacional é o funcional, que é uma grandeza escalar; função de funções, que assume um valor particular dependente da função nele utilizada [1]; é um operador que mapeia as funções admissíveis no espaço dos números reais:

n → ℜ*

No caso de funções com mais de uma variável surgem as derivadas parciais, que são derivadas direcionais particulares. O conceito de derivada funcional (ou variacional) desempenha para funcionais o mesmo papel que o conceito de derivada direcional desempenha para funções de n variáveis [3].

Funcionais podem, por exemplo, ser formados por integrais envolvendo uma função incógnita e suas derivadas. O interesse está em funções extremas – aquelas que fazem o funcional atingir um valor máximo ou mínimo – ou de funções fixas – aquelas onde a taxa de variação do funcional é zero.

A imagem abaixo resume o objetivo do cálculo variacional. Note que entre os pontos A e B há várias curvas candidatas à otimizadoras da Integral I, mas elas têm variações (δy≠0). Nos pontos A e B não há variações (δy|A=0 e δy|B=0). Queremos encontrar a curva que liga esses dois pontos e que não apresenta variações.

Figura 3 – Curvas candidatas

Terapêutica Variacional

O método de M. Le Blanc visa encontrar a curva que maximiza ou minimiza um funcional através de uma dentre quatro “terapêuticas” utilizadas para classificar e tratar o problema. Na medicina, terapêutica é um meio usado para tratar determinada doença ou estado patológico. Em cálculo variacional, terapêutica é uma forma de classificar um problema e tratá-lo com o funcional mais adequado, observando certas condições em seu núcleo, para encontrar a melhor equação de curva para aquele caso. O núcleo do funcional deve ser escrito em termos de x (espaço), y (função) e y0 (primeira derivada da função y).

Terapêutica Variacional de Caso I

Caso: se o funcional estiver escrito em termos de x, y, yo:

Terapêutica: deve-se aplicar a seguinte terapêutica:

(d/dx)[∂f/∂yo] – ∂f/∂y = 0

Terapêutica Variacional de Caso II

Caso: se o funcional estiver escrito em termos yo:

(d/dx)[∂f/∂yo] – ∂f/∂y = 0
(d/dx)[∂f/∂yo] – 0 = 0
(d/dx)[∂f/∂yo] = 0

Terapêutica: deve-se aplicar a seguinte terapêutica:

∂f/∂yo = constante

Terapêutica Variacional de Caso III

Caso: se o funcional estiver escrito em termos de y e yo:

Terapêutica: deve-se aplicar a seguinte terapêutica:

(d/dx)[∂f/∂yo] – ∂f/∂y = 0

Terapêutica Variacional do Caso IV

Caso: se o funcional estiver escrito em termos de x e yo:

Terapêutica: deve-se aplicar a seguinte terapêutica:

(d/dx)[∂f/∂yo] – ∂f/∂y = 0
(d/dx)[∂f/∂yo] – 0 = 0
∂f/∂yo = constante

Funcionais Matematizados

Para identificarmos a terapêutica variacional mais indicada para tratar cada caso, primeiro é necessário reescrevermos os funcionais mais comuns (comprimento, volume, superfície, área e tempo) em termos de x e yo.

Não vamos mostrar a dedução de cada funcional, pois foge a proposta desse artigo. Porém, o funcional da área, ou integral da área sob uma curva, foi muito bem deduzido em outro artigo.

Funcional do Comprimento da Curva

Funcional do Volume do Sólido

Funcional da Superfície (Área Lateral do Sólido)

Funcional da Área Abaixo da Curva

Funcional do Tempo

Exemplo

Vamos utilizar o formalismo de M. Le Blanc, que foi fortemente inspirada em Lagrange, para encontrar a curva y(x) que liga o ponto A ao ponto B através de uma superfície plana (euclidiana) com a menor distância possível. Como não há restrições, a solução é obviamente uma linha reta, mas vamos provar matematicamente. Em princípio, supomos que o objeto segue uma rota qualquer:

Figura 3 – Rota de A para B

Funcional

Núcleo do Funcional

f=[1 + y0 2]1/2

Terapêutica Variacional

Como o funcional do comprimento está escrito em termos de yo:

Recomenda-se a terapêutica variacional de caso II:

∂f/∂yo = c

Equação Diferencial

∂/∂yo [1 + y0 2]1/2 = c

Curva Solução

∂/∂yo [1 + y0 2]1/2 = c
1/2[1 + y0 2]-1/22y0 = c
y0/√(1 + y0 2) = c
y0 2/(1 + y0 2) = c2
y0 2 = c2 + c2y0 2
y0 2 – c2y0 2 = c2
y0 2[1 -c2] = c2
y0 2 = c2/[1 -c2]
√y0 2 = √(c2/[1 -c2])
y0=a

dy/dx = a
dy = adx
∫1dy = ∫adx

y = ax + b

Conclusão

A curva que minimiza a distância entre os pontos A e B – geodésica – em uma superfície plana é a reta ax + b.

Referências

1. [http://aquarius.ime.eb.br/~moniz/pdf/calc02.pdf]
2. [https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/17370/17370_4.PDF]
3. [http://www.df.ufcg.edu.br/~romulo/seminarios/wilson_hugo/calcvariac.pdf]
4. [https://repositorio.ufsc.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/96389/Antonio_Joao.pdf?sequence=1&isAllowed=y]
5. [http://200.145.6.238/bitstream/handle/11449/94375/flores_apx_me_rcla.pdf?sequence=1&isAllowed=y]
6. [http://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/MA211/Aula6.pdf]
7. [Material do Curso Prandiano – P2]

Aplicação de Derivada Parcial Com Vínculo

O formalismo de Lagrange permite que utilizemos as derivadas parciais e a ideia de solução ótima com restrição – ou a melhor solução possível dadas as restrições (vínculos) – para abordar até problemas simples que poderiam ser resolvidos por trivial derivação. Os vínculos deslocam a solução ótima em alguma direção:

Figura 1 – Solução ótima e solução vinculada

Problema

Propus um problema de otimização da área útil de uma horta em que utilizei simples derivada. Nesse artigo, vou utilizar o método de Lagrange para resolver o mesmo problema:

Queremos construir uma horta retangular de pequeno porte que disponibilize a maior área útil possível. Para isso, dispomos de apenas uma tábua de 20 metros de comprimento que deve ser cortada para delimitar a horta.

Figura 2 – Visualização da área hipotética

Funções do Problema

A = x.y

2x + 2y = 20
x + y = 10

x + y = 10 é o vínculo Φ que deve ser maximizado ou minimizado. Sendo assim, essa função deve ser explicitamente igualada à zero – a deixis am phantasma deve dar lugar a deixis ad oculos:

x + y = 10
x + y – 10 = 0
Φ = x + y – 10

Grande Função

G = x.y + λΦ
G = x.y + λ[x + y – 10]

Condições de Otimização

∂G/∂x = 1.y + λ[1 + 0 – 0] = 0 (A)
∂G/∂y = x.1 + λ[0 + 1 – 0] = 0 (B)
∂G/∂λ = 0 + 1.[x + y -10] = 0 (C)

Solução Otimizada

X* = 5

Y* = 5

λ = -5

Cálculo da Área Ótima

Vamos utilizar os valores obtidos para calcular a área ótima:

A = x.y
A = 5.5
A = 25m2

Conclusão

Como x é igual à y, concluimos, pelo método de Lagrange, que a solução ótima do problema é uma horta quadrada de lado 5.

Aplicação de Derivada para Maximização de Área Útil

A derivada em um ponto para uma função f(x) representa a taxa de variação instantânea em relação ao ponto e pode ser deduzida através do limite da função na tangente daquele ponto como descrevi em outro artigo. A grande aplicação prática das derivadas é na maximização e na minimização de funções. Essa é uma das formas de demonstrar porque os matemáticos são tão necessários à economia.

Problema

Queremos construir uma horta retangular de pequeno porte que disponibilize a maior área útil possível. Para isso, dispomos de apenas uma tábua de 20 metros de comprimento que deve ser cortada para delimitar a horta.

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Figura 1 – Horta idealizada

Estruturação Matemática

Chamaremos os lados da horta de x e y e pensaremos na horta como um retângulo assim:

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Figura 2 – Visualização da área hipotética

1) À partir da figura acima, calculamos o valor de um dos lados em relação ao outro lado da horta:

2x + 2y = 20
x + y = 10
y = 10 – x

2) A área de um retângulo é dada por:

A = x.y

Substituindo (1) em (2):

A = x(10 – x)
A = -x2 + 10x

Primeira derivada

A primeira derivada vai nos permitir descobrir o valor máximo de “x”. No artigo sobre limites, demonstrei como surge a derivada de um polinômio através do limite da função:

f(x) = -x2 + 10x
f'(x) = -2x + 10

Segunda Derivada

A segunda deriva nos dirá se a função representa um ponto de máximo ou de mínimo:

f”(x) = -2

Como o sinal do maior expoente é negativo, temos um ponto de máximo.

Encontrando os Valores

Igualar uma função a 0 indica que queremos encontrar o ponto de máximo ou de mínimo. Como o sinal do argumento de maior grau do polinômio na segunda derivada é negativo, já sabíamos tratar-se de um ponto de máximo.

-2x + 10 = 0
x = 5m∴

x + y = 10
5 + y = 10
y = 5m

Conhecendo os valores de x e y, podemos calcular a área máxima:

A = x.y
A = 5.5
A = 25m2

Conclusão

Não é por acaso que x é igual a y: o quadrado é o retângulo que melhor otimiza área:

derivada3

Figura 3 – Visualização da area máxima

O resultado obtido indica que todas as hortas deveriam ser quadradas? Se possível, sim. Nesse exemplo, a única restrição era o tamanho da tábua, o que permitiu que a derivada nos indicasse o quadrado como solução ótima. No mundo real, várias outras restrições poderiam existir, como formato do terreno, presença de obstáculos naturais ou artificiais ou uma parede delimitando um dos lados.

Se você acha que o resultado poderia ser melhor, vamos fazer alguns testes para te convencer. Se os lados medissem 2m e 8m respectivamente, a área da horta seria de 16m2. Se os lados medissem 4m e 6m respectivamente, a área da horta seria de 24m2. Os lados devem valer 5m para que a área seja a maior possível (25m2). Não foi a intuição que nos mostrou isso, mas sim a matemática, pois quando pensamos em uma horta normalmente temos em mente um retângulo como aquele da Figura 1 – a altura maior que a base. Chutando valores podemos até chegar na solução ótima uma vez que esse é um problema simples, mas a derivada dá um “tiro certeiro” e irrefutável.

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Figura 4 – Deixe o chute para quem sabe

Essa idéia de lados iguais também vale para latas com base circular: as latas que têm diâmetro da base próximo da altura oferecem maior volume com menor custo para produção da lata do que aquelas que não apresentam essa relação. Compare uma lata de Nescau clássica à uma lata de goiabada ambas com capacidade de 500g. É necessário mais metal para produzir a lata de goiabada, o que aumenta o custo de produção.

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Deduzindo Derivadas Através do Limite da Função

O limite é um conceito que nos ajuda a entender como uma função se comporta à medida que seu argumento se aproxima de certo valor. Esse conceito também pode ser interpretado como o limite de nossa compreensão sobre determinada função.

A matemática tem cenários que são verdadeiros “buracos negros” (divisão por zero, infinito). Um limite é a nossa melhor predição de um ponto observando a sua vizinhança próxima quando não podemos calcular esse ponto diretamente.

Limites nos permitem perguntar “e se…?”. Se nós pudéssemos observar uma função em um dado valor (como x=0 ou crescendo até o infinito), nós não precisaríamos de uma predição. Quando nossa predição é consistente e melhora à medida que nos aproximamos de um valor, nós nos sentimos confiantes.

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Figura 1 – Limite de uma função

Mesmo se não soubéssemos que função gerou esse gráfico, poderíamos utilizar algum artifício para estudá-la. Poderíamos assumir a hipótese de que há uma reta tangente a essa função em um ponto P e a partir daí analisar o comportamento daquela função naquele ponto, mas ainda assim não teríamos informações suficientes para extrair algum princípio dessa relação. Guarde essa idéia por enquanto, pois ela será a meta que atingiremos por outro caminho.

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Figura 2 – Tangente

Dois pontos P1 e P2 e uma secante nesses dois pontos é um bom começo, pois é possível medir a distância em linha reta entre esses dois pontos:

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Figura 3 – Secante

Dependendo da distância entre esses dois pontos, nosso erro pode ser maior ou menor. Para minimizarmos o erro da medição da distância, os pontos P1 e P2 devem ser muito…muito…muito…muito…está me acompanhando?…muito…muito…mas muito próximos um do outro até que a distância seja tão desprezível que a secante possa ser interpretada como a tangente de um dos pontos, o que nos remete à nossa primeira hipótese e possibilita atingirmos a meta.

Como estamos trabalhando com distâncias infinitamente pequenas, podemos utilizar uma figura geométrica simples e bem conhecida que nos permita inferir relações fundamentais entre os dois pontos observados. A figura mais interessante que podemos utilizar é o triângulo retângulo, pois Pitágoras já nos contou como os lados se relacionam: já conhecemos dois pontos cuja distância chamamos de tangente e, observando o plano cartesiano, sabemos o suficiente sobre os catetos:

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Figura 4 – Relações Trigonométricas

A derivada da função é a tangente desse triângulo, mas agora que mudamos o nosso foco também mudaremos a nomenclatura: chamaremos a tangente de um ângulo α em P1 de Δf/Δx. Foi Leibnitz quem propôs essa simbologia, pois ela é mais poderosa (tem mais semiose) que aquelas propostas por Newton (fofluxion ou fluxo), Lagrange (f’ – de-rivus, dérivés ou derivada) ou Arbogast (F). Descartes, se ainda fosse vivo naquela época, interpretaria essa notação como “a diferença daquilo que falo – f( ) – dividida pela diferença daquilo que ouço – ( )”. Sendo assim:

tg α = Δf/Δx

Finalmente, à partir das relações trigonométricas, abstraímos o limite genérico de uma função qualquer para Δx tendendo a zero:

limΔx→0 [f(x + Δx) – f(x)] ÷ Δx

Embora a derivada sirva para medir a taxa de variação de uma função em um ponto, seu grande poder está na possibilidade de maximizar ou minimizar a função. Para encontrar o ponto de máximo ou mínimo de uma função, basta igualá-la a zero (zephirum). Esse zero é o ponto em que um nível (fluxômetro) se estabiliza. No caso dos níveis de bolha, é o ponto e que a bolha está bem no centro da marcação:

nivel

Figura 5 – Nível de Bolha

É por esse motivo que igualávamos as equações a zero lá no ensino fundamental e no ensino médio, mas nossos professores nunca nos contaram. É provável que eles não soubessem, mas eles estavam nos ensinando a achar mínimos e máximos de funções sem que soubéssemo o que era uma derivada.

Derivadas das Funções

Podemos reduzir todas as derivadas possíveis a cinco grupos básicos: polinômio, seno, cosseno, logarítmo e exponencial. Com nosso limite genérico de uma função, podemos deduzir a derivada de cada um daqueles grupos.

limΔx→0 [f(x + Δx) – f(x)] ÷ Δx

Essas deduções visam satisfazer a curiosidade de quem não aceita fórmulas prontas para resolver os problemas – no caso, as derivadas. É claro que na prática você utilizará apenas o resultado de cada uma dessas deduções para aplicar na resolução de derivadas e integrais mais complexas.

Dedução da Derivada de Polinômio (xn)

Para um polinômio de grau dois:

f'(x) = limΔx→0 [f(x + Δx) – f(x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [(x + Δx)2 – x2] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [x2 + 2xΔx + Δx2 – x2] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 Δx[2x1 + Δx] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 2x1 + Δx

f'(x) = 2x + 0 = 2x

Para um polinômio de grau três:

f'(x) = limΔx→0 [f(x + Δx) – f(x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [(x + Δx)3 – x3] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [x3 + 3x2Δx + 3xΔx2 + Δx3 – x3] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 Δx[3x2 + 3xΔx + Δx2] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 3x2 + 3xΔx + Δx2

f'(x) = 3x2 + 3×0 + 02 = 3x2

Comentários:

  1. Para o polinômio de grau dois, desenvolvemos o quadrado da soma. Para o polinômio de grau três, desenvolvemos o cubo da soma.
  2. Se continuássemos a demonstração para polinômios de grau mais alto, deduziríamos uma regra geral para derivar qualquer polinômio:
nXn-1

Dedução da Derivada do Seno (sen)

f'(x) = limΔx→0 [f(x + Δx) – f(x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [sen(x + Δx) – sen(x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [(sen(x).cos(Δx) + sen(Δx).cos(x)) – sen(x)] ÷ Δx

f'(x) = [(sen(x).cos(0) + sen(0).cos(x)) – sen(x)] ÷ 0
f'(x) = [sen(0).cos(x)] ÷ 0
f'(x) = cos(x)

Comentários:

  1. Utilizamos o seno do arco duplo para remover a indefinição do Δx.
  2. “[sen (0)] / 0” é um limite fundamental que resulta 1. Para chegar a essa conclusão você deve observar o círculo trigonométrico em direção ao 0. Para um valor tendendo a 0, o seno, que é o cateto oposto de um triângulo retângulo centrado nesse círculo, é muito pequeno, mas não é zero – apenas tende a 0 e o comprimento do trecho do arco que encosta nesse cateto é numericamente equivalente a ele. Dois números iguais, sejam eles quais forem, divididos um pelo outro, resulta 1.
  3. O interessante dessa dedução é que do seno chegamos no cosseno.

Dedução da Derivada do Cosseno (cos)

f'(x) = limΔx→0 [f(x + Δx) – f(x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [cos(x + Δx) – cos(x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [(cos(x).cos(Δx) – sen(x).sen(Δx)) – cos(x)] ÷ Δx

f'(x) = [(cos(x).cos(Δx) – sen(x).sen(Δx)) – cos(x)] ÷ Δx
f'(x) = [(cos(x).cos(0) – sen(x).sen(0)) – cos(x)] ÷ 0
f'(x) = [(cos(x).1 – sen(x)) – cos(x)]
f'(x) = – sen(x)

Comentários:

  1. Utilizamos o cosseno do arco duplo para remover a indefinição do Δx.
  2. “[sen (0)] / 0” é um limite fundamental que resulta 1. Para chegar a essa conclusão você deve observar o círculo trigonométrico em direção ao 0. Para um valor tendendo a 0, o seno, que é o cateto oposto de um triângulo retângulo centrado nesse círculo, é muito pequeno, mas não é zero – apenas tende a 0 e o comprimento do trecho do arco que encosta nesse cateto é numericamente equivalente a ele. Dois números iguais, sejam eles quais forem, divididos um pelo outro, resulta 1.
  3. O interessante dessa dedução é que do cosseno chegamos no seno.

Dedução da Derivada de Logarítmo Natural (ln)

Essa dedução é atribuída a Euler. As passagens nos levam a pensar que ele não está chegando a lugar algum, mas a medida em que um limite fundamental vai se apresentando, nós entendemos tratar-se de um mestre em ação.

f'(x) = limΔx→0 [f(x + Δx) – f(x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [ln(x + Δx) – ln(x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 ln[(x + Δx) ÷ x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 (1 ÷ Δx) * ln[(x + Δx) ÷ x)]
f'(x) = limΔx→0 (1 ÷ Δx) * ln[1 + Δx ÷ x]
f'(x) = limΔx→0 (1 ÷ Δx) * ln[1 + (1 ÷ x) ÷ Δx)]
f'(x) = limΔx→0 (1 ÷ x)(x ÷ Δx) * ln[1 + (1 ÷ x) ÷ Δx]
f'(x) = limΔx→0 (1 ÷ x) * ln[1 + (1 ÷ x) ÷ Δx)]x ÷ Δx

f'(x) = limΔx→0 (1 ÷ x) * ln(1 + 1 ÷ ∞)
f'(x) = limΔx→0 (1 ÷ x) * ln(e)
f'(x) = 1 ÷ x

Comentários:

  1. Essa dedução nos lembra que para resolver um problema matemático é necessário ter uma meta bem clara: deve-se saber onde se quer chegar.
  2. limn→∞ (1 + 1÷n)n é um limite fundamental que resulta “e”. Mostrei em outro artigo como chegar nesse número.
  3. A derivada de “ln x” é “1/x”. A derivada de “sen (x)” é “1/sen(x)”. A derivada de “ln abacaxi” é “1/abacaxi”. A derivada de “ln pamonha” é “1/pamonha”. De forma geral, a derivada da coisa resulta no inverso da própria coisa.

Dedução da Derivada de Exponencial (ex)

A dedução da derivada da exponencial é um caso a parte. Vamos mostrar duas formas de deduzí-la: uma partindo do limite fundamental e utilizando um artifício para eliminar a indeterminação do Δx e outra com o uso de logarítimo.

Primeira Dedução: Limite Fundamental

f'(x) = limΔx→0 [f(x + Δx) – f(x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [ex + Δx – ex] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [ex.eΔx – ex] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [ex(eΔx – 1)] ÷ Δx
f'(x) = ex(e0 – 1) ÷ 0

f'(x) = ex

Segunda Dedução: Logarítimo Natural

Não por acaso, essa dedução da derivada da exponencial foi feita com logarítimos naturais, que nos remetem a noção de infinito determinado pela letra “e”, ou seja, essa classe de logarítimos está intimamente relacionada com as funções exponenciais. Essa relação fica mais clara se você observar o gráfico das duas funções:

exp_log_plot

Figura 6 – Relação entre exponencial e logarítmo

Note a simetria das duas funções. É como se uma das funcões fosse o reflexo da outra em um espelho. Sabendo dessa relação e levando em conta que “logarítimos são do bem”, vamos utilizar logarítimos naturais para que possamos usufruir das suas propriedades fundamentais em nossa dedução da exponencial:

f(x) = ex
ln f(x) = ln ex
ln f(x) = xln e
ln f(x) = x1
[1 ÷ f(x)] f'(x) = 1
f'(x) = f(x)

f'(x) = ex

Comentários:

  1. Veja que curioso: a derivada da exponencial é a própria exponencial.
  2. Na primeira demonstração, utilizamos o limite fundamental (ex -1) ÷ x que resulta 1, mas perceba que, naquele caso, se Δx tende a 0, não estamos lidando com o 0, mas sim um número infinitamente pequeno.

Referências

1. [http://www.eeweb.com/toolbox/math-help]