Aplicando o Processo Semiótico à uma Sequência Numérica

O blog O Desafio: Aprender apresentou uma sequência numérica e perguntou qual seria o próximo número dela:

4, 5, 7, 9, 13, ?

As únicas informações que o blog forneceu sobre o problema foram que não existiam números menores que 4 e nem anteriores a ele e que a sequência era infinita: a sequência se iniciava em 4 e crescia ao infinito. Esse problema não tem uma resposta só, mas gostei da segunda solução que apresentaram no blog. A pessoa associou a essa sequência uma outra sequência simétrica que faria uma associação somatória cumulativa com a sequência original:

S = {1, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, ∞}

Nessa sequência S, cada número n se repete exatamente n vezes. Cada Si deve ser adicionado a um Di da sequência original começando em i=1, mas à partir da posição D2:

D = {D1, D2, D3, D4, D5, D6, …, ∞}

DS = {4, D1+S1, D2+S2, D3+S3, D4+S4, D5+S5…, ∞}

DS = {4, 4+1, 5+2, 7+2, 9+4, 13+4…, ∞}

DS = {4, 5, 7, 9, 13, 17, …, ∞}

Desse modo, provou-se que o próximo número da sequência que chamamos de D (Desafio) é 17. Minha proposta nesse artigo é continuar o processo semiótico para criar um símbolo que consolida esses traços da mesma forma que fiz no artigo Do Traço à Produção de Significado: Semiose de um Símbolo.

Continuação do Processo

Todos os números do conjunto S estão na base 2 e cada elemento k aparece exatamente k vezes em sequência, ou seja, o elemento 2k aparece 2k vezes:

S = {1, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8 …, ∞}

1 x 1
2 x 2
4 x 4
8 x 8
16 x 16

Trocando o lado direito para notação em base 2:

1 x 20
2 x 21
4 x 22
8 x 23
16 x 24

Trocando o lado esquerdo também para notação em base 2:

20 x 20
21 x 21
22 x 22
23 x 23
24 x 24

Abrindo a sequência de somas:

20
21, 21
22, 22, 22, 22
23, 23, 23, 23, 23, 23, 23, 23
24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24
{20+0, 21+1, 22+2, 23+3, 24+4, …, 2k+k}

Conhecendo a regra de formação, podemos criar uma representação genérica para a sequência S:

A sequência S trabalhará em conjunto com a sequência D, que será definida adiante. A ideia é expandir a sequência de forma a comportar a indexação necessária para montar a sequência D. E, por último, é possível construir a sequência D acrescentando os números anteriores em uma série acumulativa começando em b:

D = {b, b+20, b+20+21, b+20+21+21, …, ∞}

Note que cada número da sequência é composto por b somado à totalização dos números da sequência S até aquele momento (índice). Vamos fazer algumas manipulações nas sequências S e D para poder generalizá-las. Primeiro, vamos utilizar deixis ad oculos para deixar claro que a sequência S começa em 0 e termina em 2k2k, onde k pode ser ∞. Você pode estar pensando que 0 não agrega nada. Paciência. Por enquanto deixa ele aí. “0” poderia ser até o resultado de uma função se quiséssemos:

D = {b+0, b+0+20, b+0+20+21, b+0+20+21+21, …, b+0+20+21+…+2k2k}

Sabe aquele 0 que não era nada e aquele k que poderia ser ∞? Essa manipulação permite que reescrevamos a sequência com uma série de somatórios (∑) começando em i=0 e indo até k, algo que qualquer programador pode utilizar como orientação para escrever um código fonte na sua linguagem preferida:

O S representa a parte da sequência compreendida do índice 0 ao índice n. Novamente, a sequência S será montada sob demanda para comportar o índice n. A ideia é “pescar” valores da sequência S de i=0 até k onde k <= n. E podemos, finalmente, criar um símbolo que carrega toda essa noese:

Onde:

n: quantidade de itens necessários na sequência S
b: valor base

Como já sabíamos que o próximo número da sequência era 17, vamos utilizar nosso símbolo para criar a sequência indo de 4 até 17, onde b=4 e n=6, pois 17 ocupa a 6ª posição na sequência:

Cada elemento da sequência está associado ao acumulado da série S até o índice informado no ∑ (de 0 à 6).

D = {4+s0, 4+s0+s1, 4+s0+s1+s2, 4+s0+s1+s2+s3, 4+s0+s1+s2+s3+s4, 4+s0+s1+s2+s3+s4+s5}

D = {4+0, 4+0+20, 4+0+20+21, 4+0+20+21+21, 4+0+20+21+21+22, 4+0+20+21+21+22+22}

D = {4+0, 4+0+1, 4+0+1+2, 4+0+1+2+2, 4+0+1+2+2+4, 4+0+1+2+2+4+4}

D = {4, 5, 7, 9, 13, 17}

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Frases de Milton Friedman

Milton Friedman (1912-2006) foi um dos mais influentes economistas do século XX e foi o fundador da Escola de Chicago, que é uma escola de pensamento econômico que defende o livre mercado. Devido às suas realizações e estudos nas áreas de análise de consumo e teoria monetária, recebeu o Prêmio Nobel de Economia em 1976.

Figura 1 – Milton Friedman

Friedman destacou-se por defender a liberdade econômica com mínima participação do Estado, Estado mínimo, defesa da democracia, valorização da livre concorrência, economia de Mercado como fonte para a prosperidade do país e das pessoas e redução de impostos. O Rodrigo Constantino elencou algumas frases que sintetizam o pensamento daquele economista:

O governo tem três funções principais. Deve providenciar a defesa militar da nação. Deve fazer cumprir contratos entre indivíduos. Deve proteger os cidadãos de crimes contra eles próprios ou seus bens.

Quando o governo – em nome de boas intenções – tenta reorganizar a economia, legislar a moralidade ou proteger interesses especiais, o resultado é a ineficiência, a falta de motivação e a perda de liberdade. O governo deve ser um árbitro, não um jogador ativo.

Subjacente à maioria dos argumentos contra o livre mercado, está a falta de crença na própria liberdade.

Se você colocar o governo federal para gerir o deserto do Saara, em 5 anos haverá escassez de areia.

A grande virtude de um sistema de livre mercado é que nele ninguém se importa com a cor das pessoas; Não se importa com a religião delas; Só o que importa é se elas podem produzir algo que você deseja comprar. É o sistema mais eficaz que descobrimos para permitir que pessoas que se odeiam se entendam e se ajudem mutuamente.

Uma sociedade que coloca a igualdade – no sentido de igualdade de resultados – antes da liberdade, acabará sem igualdade e sem liberdade. O uso da força para alcançar a igualdade destruirá a liberdade, e a força, introduzida para o bom propósito, acabará nas mãos das pessoas que a usam para promover seus próprios interesses.

O fato central mais importante sobre um mercado livre é que nenhuma troca ocorre, a menos que ambas as partes se beneficiem.

Muitas pessoas querem que o governo proteja o consumidor. Um problema muito mais urgente é proteger o consumidor do governo.

Ninguém gasta o dinheiro de outra pessoa tão cuidadosamente quanto gasta o seu. Então, se você quer eficiência e eficácia, se quiser que o conhecimento seja utilizado corretamente, você deve fazê-lo por meio da propriedade privada.

A liberdade política significa ausência de coerção de um homem por seus semelhantes. A ameaça fundamental à liberdade é o poder de coagir, seja nas mãos de um monarca, um ditador, uma oligarquia ou uma maioria momentânea. A preservação da liberdade exige a eliminação de tal poder na maior extensão possível, além da dispersão e distribuição de todo poder que não possa ser eliminado.

Uma lei de salário mínimo é, na realidade, uma lei que torna ilegal o empregador contratar uma pessoa com habilidades limitadas.

Um dos grandes erros é julgar políticas e programas por suas intenções, em vez de seus resultados.

O papel apropriado do governo é exatamente o que John Stuart Mill propôs em meados do século XIX… O papel apropriado do governo é proteger os indivíduos uns dos outros. O governo, ele disse, não tem o direito de interferir com um indivíduo para o bem desse indivíduo.

Eu diria que, neste mundo, a maior fonte de desigualdade tem sido os privilégios especiais concedidos pelo governo.
Nada é tão permanente quanto um programa de governo temporário.

Temos um sistema que cada vez mais tributa o trabalho e subsidia o não trabalho.

As drogas são uma tragédia para os adictos. Mas criminalizar seu uso converte essa tragédia em um desastre para a sociedade, para usuários e não usuários. Nossa experiência com a proibição de drogas é uma repetição da nossa experiência com a proibição de bebidas alcoólicas.

Eu sou favor de reduzir impostos sob qualquer circunstância, qualquer pretexto ou motivo, e sempre que possível.

Para o homem livre, o país é a coleção de indivíduos que o compõe, não algo além e acima deles. Ele se orgulha de uma herança comum e é fiel às tradições comuns. Mas ele considera o governo como um meio, uma ferramenta, não uma entidade concedente de favores e presentes, nem um senhor ou um deus a ser adorado e servido cegamente.

A combinação do poder econômico e político nas mesmas mãos é a receita certa para a tirania.

Fundamentalmente, existem apenas duas formas de coordenar as atividades econômicas de milhões de indivíduos. Uma é direção centralizada, envolvendo o uso da coerção – a técnica da força e do estado totalitário moderno. A outra é a cooperação voluntária dos indivíduos – a técnica do mercado.

A solução do governo para um problema geralmente é tão ruim quanto o problema.

Com algumas exceções notáveis, os empresários favorecem a livre iniciativa em geral, mas se opõem a ela quando se trata de si mesmos.

Sou a favor da legalização das drogas. De acordo com meus valores, se as pessoas querem se matar, eles têm todo o direito de fazê-lo. A maior parte do dano que vem das drogas é porque elas são ilegais.

A inflação é a única forma de tributação que pode ser imposta sem legislação.

Penso que uma das principais razões pelas quais os intelectuais tendem a se mover para o coletivismo é que a resposta coletivista é simples. Se houver algo errado, passe uma lei e faça algo sobre isso.

A história sugere que o capitalismo é uma condição necessária para a liberdade política. Claramente, não é uma condição suficiente.

Mesmo o ambientalista mais radical não quer eliminar a poluição. Se ele pensa sobre isso – e não apenas fala sobre isso -, ele quer limitar a poluição a uma certa quantidade. Nós não podemos realmente nos dar ao luxo de eliminá-la – não sem abandonar todos os benefícios da tecnologia que não só desfrutamos, mas de que dependemos.

A visão chave da Riqueza das Nações de Adam Smith é bastante simples: se uma troca entre duas partes é voluntária, isso não ocorrerá a não ser que ambas as partes acreditem que se beneficiarão disso.

A Grande Depressão, como a maioria dos outros períodos de desemprego severo, foi produzida pela má gestão do governo e não por qualquer instabilidade inerente da economia privada.

Se a liberdade não fosse tão economicamente eficiente, certamente não teria chance.

A inflação é sempre e em todos os lugares um fenômeno monetário, no sentido de que é e pode ser produzida apenas por um aumento mais rápido da quantidade de dinheiro do que da produção. … Uma taxa constante de crescimento monetário em um nível moderado pode fornecer um quadro sob o qual um país pode ter pouca inflação e muito crescimento. Não produzirá a estabilidade perfeita; Não produzirá o céu na terra; Mas pode contribuir de forma importante para uma sociedade econômica estável.

Somente o governo pode pegar um papel perfeitamente bom, cobri-lo com tinta perfeitamente boa e tornar a combinação sem valor.

Como vivemos em uma sociedade em grande parte livre, tendemos a esquecer o quão limitado é o período de tempo e a parte do globo para o qual existe alguma coisa como liberdade política: o estado típico da humanidade é a tirania, a servidão e a miséria.

Existem limites severos para o bem que o governo pode fazer pela economia, mas quase não há limites para os danos que pode causar.

A Grande Depressão nos Estados Unidos foi causada – e não digo apenas causada, foi enormemente intensificada e muito pior do que teria sido pela má política monetária.

A grande virtude da livre iniciativa é obrigar as empresas existentes a atenderem as demandas do mercado de forma contínua, produzindo produtos que atendam aos gostos dos consumidores com o menor custo possível, sob o risco de serem eliminadas pelo mercado. É um sistema de lucros e perdas. Naturalmente, as empresas existentes geralmente preferirão vencer a concorrência de outras maneiras. É por isso que a comunidade empresarial, apesar de sua retórica, sempre foi uma grande inimiga do verdadeiro livre mercado.

Reduzir os gastos e a intervenção do governo na economia quase certamente implicará uma perda imediata de curto prazo para poucos, e um ganho de longo prazo para todos.

Como é que pessoas pensantes podem acreditar que o governo – que não consegue gerir decentemente nem uma empresa de correio – possa fornecer gasolina e energia mais eficientemente do que a Exxon, a Mobil, a Texaco, a Gulf e outras?
Uma das razões pelas quais eu sou a favor de menos governo é porque, quanto mais governo tivermos, mais as grandes corporações irão assumi-lo.

Se você paga as pessoas para não trabalhar…, não se surpreenda se você obtiver desemprego.

Os economistas podem não saber muito. Mas conhecemos uma coisa muito bem: como produzir excedentes e escassez. Você quer um excedente? O governo legisla um preço mínimo acima do preço que, de outra forma, prevaleceria. É o que fizemos em um momento ou outro para produzir excedentes de trigo, de açúcar, de manteiga, de muitas outras commodities. Você quer escassez? O governo legisla um preço máximo, abaixo do preço que de outra forma prevaleceria.

A principal base para a minha oposição à proibição da maconha não foi o fato de que isso não funcionou, o fato de ter produzido muito mais mal do que bem – foi principalmente por uma razão moral: acho que o estado tem tanto direito de me dizer o que colocar na minha boca, quanto tem para me dizer o que dela pode sair.

O Infinito Absoluto

Deus criou os números naturais. O resto é obra dos homens. Leopold Kronecker (1823-1891)

O infinito não é um número, mas sim uma abstração que representa algo inatingível ou que está além da nossa capacidade de contagem ou de compreensão assim como foi demonstrado na experiência do João de Barro.

Desde a antiguidade, os matemáticos já sabiam que os números inteiros não tinham precisão suficiente para expressar a medida da diagonal de um quadrado ou da diagonal de um cubo. O método da exaustão, advindo da tentativa de encontrar a área de um círculo circunscrevendo triângulos, proporcionou o “aparecimento” de um dos números irracionais mais famosos: o π, que vale aproximadamente 3,14159265 em uma aproximação grosseira e não pode ser expresso como uma razão entre inteiros. A constante e, que expressa o infinito limitado, também é um irracional famoso que vale aproximadamente 2,718281828459.

Ao longo da história, a filosofia e a matemática nos permitiram aumentar nossa compreensão sobre esse conceito, mas sem compreendê-lo completamente. Quando se trata do infinito, podemos estar nos referindo a algo que é infinitamente grande ou infinitamente pequeno, o que inevitavelmente apresenta alguns problemas e nos conduz a certos paradoxos [4]. Isso explica porque o conceito de infinito sempre provocou discussões entre os matemáticos ao longo da história [3]. A teoria dos conjuntos, derivada do trabalho de George Cantor – será explicado mais a frente – que ajudava a classificar os diferentes infinitos também apresenta seus paradoxos [4].

Alguns Problemas e Paradoxos

A Raiz de 2 [2]

A matemática elementar demonstra que (√2)2 pode ser expresso por (21/2)2, que é o mesmo que (22/2) e vale 2. A √2 vale aproximadamente 1,414213562. (1,414213562)2 é 1,999999999 e não 2, como nossa intuição nos levaria a concluir – sempre desconfie da intuição. Por mais que aumentemos a precisão da raiz, a multiplicação dos dois números nunca resultaria 2: para os matemáticos gregos, parecia que esse número era um tipo de construção inacabada. Há frações simples e outras com infinitos algarismos que podem ser escritas como uma razão q÷p onde q, p ∈ N | p > 0. O número 0,8 pode ser representado pela fração 4/5 e o número 0,6666666… pode ser representado pela fração 2/3, mas não há razão capaz de simbolizar a √2. Esse número foi chamado de irracional, pois é um número real com infinitas casas depois da vírgula que não pode ser obtido pela divisão de dois números inteiros.

I ⊂ ℜ e √2 ∈ I

A Corrida entre Aquiles e a Tartaruga [1,4]

O filósofo pré-socrático Zenão de Eleia (495-435 a.C.) propõe uma disputa de “velocidade” entre aquiles, herói mitológico, e uma tartaruga que não teve contato com Ooze. Aquiles permite que a tartaruga, que era mais lenta, parta primeiro. A regra era simples: sempre que a tartaruga se deslocasse de um ponto A para um ponto B, Aquiles deveria percorrer metade da distância AB. O paradoxo ocorre quando descobrimos que Aquiles nunca alcançará a tartaruga por mais rápido que corra, pois quando ele atingir o ponto A, a tartaruga já estará no ponto B; quando ele atingir o ponto B, a tartaruga já estará no ponto C. Dividindo infinitamente a distância que separa os “competidores”, a tartaruga estaria sempre à frente, mesmo que fosse por uma distância mínima [4] ou infinitesimal. Antes que um objeto possa percorrer uma distância dada, deve primeiro percorrer metade desta, e antes disso, deve percorrer a metade dessa metade e assim por diante, sucedendo uma infinidade de subdivisões. Aquele ou aquilo que precisa pôr-se em movimento deve fazer infinitos contatos num tempo finito, o que impossibilita iniciar o movimento [4].

A Flecha que Nunca Atinge o Alvo

O mesmo Zenão de Eléia concebeu o paradoxo da flecha imóvel, que também demonstra de forma puramente lógica a impossibilidade do movimento. Para Zenão, uma flecha, ao ser lançada, jamais atinge seu alvo, pois o espaço a ser percorrido em sua trajetória pode ser infinitamente dividido em segmentos menores, o que implica que seu translado é infinito.

O Hotel com Infinitos Quartos

O Paradoxo do Hotel Infinito foi criado por David Hilbert (1862-1943) para demonstrar a manipulação do infinito. Hilbert propôs um hotel com infinitos quartos numerados sequencialmente de acordo com o conjunto dos naturais (N = {0, 1, 2, 3, …}). Um viajante é informado pela recepcionista de que todos os quartos estão ocupados. O gerente solicita à recepcionista que todos os hospedes do quarto (n) sejam deslocados para o quarto (n+1) para que o novo hóspede seja alojado. Em seguida, chega um ônibus com 1000 passageiros e a recepcionista segue a recomendação anterior: a movimentação é feita de (n) para (n+1000). Porém, essa técnica não pode ser aplicada para alojar um trem com infinitos passageiros que chegou logo em seguida. O gerente solicita que todos os hóspedes do quarto (n) sejam movidos para o quarto (2n) para que todos os apartamentos de número ímpar sejam desocupados para alojar os infinitos hóspedes que chegaram. O gerente melhora essa solução e solicita que os hóspedes do quarto (n) sejam transferidos para o quarto (3n) para que os novos hóspedes sejam alojados nos quartos de número (3n+2). Se chegassem novos hóspedes, eles seriam alojados nos infinitos quartos de número (3n+1) e o gerente teria um pouco de sossego.

Paradoxo da Onipotência

Esse paradoxo tem cunho filosófico, mas foi incluso aqui para fazer uma ligação entre Deus, que pode ser interpretado como o infinito, e uma de suas virtudes, a onipotência, que é a qualidade de um ser que tem a capacidade ilimitada de fazer qualquer coisa. Deus é infinito e cada uma de suas virtudes infinitas também são infinitas. Será? Um enunciado bastante conhecido deste paradoxo é o denominado paradoxo da pedra: “Pode um ser omnipotente criar uma pedra que não consiga erguer?” Se não consegue erguer a pedra não é omnipotente; se não consegue criar tal pedra não era omnipotente desde o início. São Tomás de Aquino veio em socorro de Deus e afirmou que Ele é infinito dentro daquilo que é possível. Para Aquino, há coisas que Ele não pode fazer, pois perderia sua onipotência. Deus não pode fazer alguém parado e correndo ao mesmo tempo assim como não pode fazer algo que seja ao mesmo tempo um triângulo e um círculo.

Paradoxo de Russell [4]

Se um pintor pinta apenas as casas de pessoas que não pintam as próprias casas, esse pintor pinta a própria casa? Dessa pergunta, podemos extrair a pergunta genérica: o conjunto de todos os conjuntos que não são elementos de si mesmos é elemento de si mesmo? Um conjunto pode ser elemento de outro conjunto (A ∈ B) e um conjunto pode ser um elemento de si mesmo (A ∈ A). Nem todo conjunto pertence a si mesmo – o conjunto de todas as pessoas, por exemplo, não é uma pessoa (A ∉ A). Se A é o conjunto de todos os elementos que não pertencem a si mesmos, temos duas contradições: A ∈ A → A ∉ A; analogamente, A ∉ A → A ∈ A.

O Infinito Absoluto

A teoria dos conjuntos de Cantor é uma moléstia, uma doença perversa, da qual, algum dia, os matemáticos estarão curados. Henri Poincaré(1854-1912)

Ninguém nos expulsará do paraíso que Georg Cantor abriu para nós. David Hilbert (1862-1943)

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) deixou grandes contribuições para nossa compreensão sobre o infinito e ajudou a consolidar esse outrora obscuro conceito na matemática [1].

Figura 1 – Georg Cantor

Na época de Cantor, os matemáticos em geral não davam importância aos estudos sobre os números irracionais, o conceito de infinito e tudo o que se relacionava a eles, mas eles já conheciam o caráter infinito de alguns conjuntos:

Conjunto dos números naturais

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Conjunto dos números inteiros

Z = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…}
Z ⊃ N

Conjuntos dos números racionais

Q = {…, -5/2, -4/5, -1/2, 0, 1/4, 1/2, 9/3,…}
Q ⊃ Z

Conjuntos dos números irracionais

I = {…,-√(3/2), -√3, Π, Π/2,…}

Conjuntos dos números reais

ℜ U I U Q

Figura 2 – Conjuntos

Cantor percebeu que alguns conjuntos podem ser mais infinitos que os outros, o que deixou os matemáticos da época desconfiados e desconfortáveis, pois havia uma certa dose de misticismo em sua teoria. Indo contra o caráter conservador dos matemáticos de seu tempo, ele demonstrou que, embora infinitos, os números racionais e os inteiros poderiam ser contados. Porém. os irracionais são “mais infinitos” que os racionais e não podem ser contados. Seu trabalho tinha por objetivo fazer uma espécie de “anatomia do infinito” [4], mas esse trabalho também possibilitou a análise de conjuntos, funções e outros elementos que têm caráter contínuo na matemática.

Para Cantor, o infinito de nível mais alto era Deus, que era absoluto e inatingível. Logo “abaixo”, vêm os infinitos chamados de ℵn, onde n é a potência ou “tamanho” do infinito. Nessa concepção, a quantidade de infinitos racionais (ℵ0, contável e enumerável) é menor que a quantidade de infinitos irracionais (ℵ1, contínuo e não numerável). A letra ℵ (alef) vem do alfabeto hebraico e representa a natureza infinita e a unicidade de Deus. Essa letra foi escolhida para simbolizar um novo começo para a Matemática à partir da inclusão do conceito de infinito real ou absoluto.

Figura 3 – Alef

Demonstrações

Para melhor compreender as demonstrações dos ℵ, seguem alguns conceitos sobre conjuntos [4]. f é uma função e X e Y são dois conjuntos quaisquer:

1. Uma função f : X→Y chama-se injetiva (ou injetora) quando elementos diferentes em x são transformados por f em elementos diferentes em Y.

2. Uma função f : X→Y chama-se sobrejetiva (ou sobrejetora) quando, para qualquer elemento y ∈ Y, pode-se encontrar (pelo menos) um elemento x ∈ X tal que f(x) = y. O que significa dizer que todos os elementos do contradomínio de f são imagens, ou seja, o conjunto imagem é o próprio contradomínio da função.

3. Uma função f : X→Y é bijetiva (ou bijetora) quando é ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva. Em outras palavras, uma função é bijetiva se há um emparelhamento perfeito entre os dois conjuntos X e Y, ou seja, há o que chamamos de correspondência um-a-um, ou mais comumente de correspondência biunívoca.

4. Se existe uma bijeção f : X → Y, o conjunto X é eqüipotente (equivalente) ao conjunto Y (X ≈ Y) e X e Y têm a mesma cardinalidade ou potência.

5. Se f : X → X tal que f(x) = x é bijetiva, o conjunto é eqüipotente a si mesmo e existe reflexão entre conjuntos.

6. Se X é eqüipotente a Y há simetria.

7. Se X é eqüipotente a Y e Y é eqüipotente a Z há transitividade.

0: Existem tantos números pares quanto números naturais

O axioma “a parte é sempre menor que o todo” era uma verdade indiscutível. Porém, se um conjunto é infinito, pode-se colocá-lo em correspondência bijetora com uma de suas partes próprias, ou seja, a “parte” pode assumir qualquer tamanho, inclusive o mesmo tamanho do todo.

Figura 4 – Alef 0

Todo o conjunto eqüipotente ao conjunto dos naturais é enumerável. A contagem é cardinal, existem tantos números pares quanto números naturais, os números naturais e os números pares podem ser dispostos em uma correspondência um-para-um (biunívoca). Como a contagem é enumeravelmente infinita, existem tantos números pares quanto números naturais.

1: O número de pontos existentes em um segmento de reta é o mesmo que em uma reta

O conjunto dos números reais não poderia ser posto em correspondência biunívoca com os naturais – ele é de tamanho estritamente superior. O continuum apresenta contagem transcendental, ou seja, não numerável ou enumeravelmente infinita. É equivalente a afirmar algo como “eu tenho livros” sem especificar quantos livros. Sabe-se apenas que é mais de um.

Os pontos de um segmento de reta (A’B’) e da reta (AB) podem ser dispostos em uma correspondência um-para-um (biunívoca), ou seja, o número de pontos existentes em um segmento de reta é o mesmo número de pontos que existe em uma reta:

Figura 5 – Continuum

Referências

1. [http://revistagalileu.globo.com/Galileu/0,6993,ECT638940-2680,00.html]
2. [http://super.abril.com.br/comportamento/georg-cantor-e-o-alefe-zero-o-homem-que-colocou-o-infinito-no-bolso/]
3. vhttp://www.mat.ufpb.br/bienalsbm/arquivos/Conferencias%20Apresentadas/C%205.pdf]
4. [http://www.mat.ufmg.br/~espec/Monografias_Noturna/Monografia_ChristianoOtavio.pdf]
5. [https://educacao.uol.com.br/disciplinas/filosofia/paradoxo-zenao-e-os-argumento-logicos-que-levam-a-conclusao-falsa.htm]
6. [https://matematicabasica.net/conjuntos-numericos/]

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O Problema das Três Caixas

De vez em quando recebo alguma coisa interessante que vale a pena gastar um tempo para entender. Dessa vez, me enviaram o tal “Problema das Três Caixas”. Nesse problema, há três caixas numeradas de 1 à 3:

Figura 1 – As três caixas

Uma das caixas contém um carro e apenas uma delas, não necessariamente a mesma que contém o carro, diz a verdade:

O que diz a caixa 1 (C1): “O carro está aqui”

O que diz a caixa 2 (C2): “O carro não está aqui”

O que diz a caixa 3 (C3): “O carro não está na caixa 1”

Esse problema é mais simples do que parece. Muitas pessoas tentam fazer todas as combinações possíveis (3) para encontrar alguma que dê certo:

C1V | C2F | C3F
C1F | C2V | C3F
C1F | C2F | C3V

Pode-se ir por esse caminho, mas esse problema em particular pode ser resolvido com uma linha! Quando vejo esse tipo de problema, inicialmente procuro por contradições. Como você pode ver, C1 e C3 estão “brigando” entre elas:

C1 ⇔ ¬C3 = C3 ⇔ ¬C1

Quando C1 é verdadeiro, C3 é falso e vice-versa. Ou seja, logo de início já sabemos que apenas C1 ou C3 pode ser verdadeira:

C1V | C2? | C3F
C1F | C2? | C3V

Como apenas uma afirmação é verdadeira, necessariamente C2 é falsa. Ou seja, o carro está em C2! Apenas uma dessas duas linhas de combinações era necessária. Poderíamos parar por aqui, mas vamos deduzir qual das afirmações, C1 ou C3, é verdadeira. Sabendo que o carro está em C2, a afirmação C1 é falsa, pois o carro não está lá. Sendo assim, C3, “O carro não está na caixa 1”, é a única afirmação verdadeira:

C1F | C2F | C3V
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O Crescimento de Uma População de Bactérias

Se um grupo de bactérias dobra a cada minuto e em 40 minutos preenche todo um recipiente, quanto tempo é preciso para preencher metade desse recipiente?

Já vi problemas muito similares, mas diferente do Chaves, que só “sabia resolver essa com maçãs”, dá para resolver de forma genérica, pois trata-se de uma PG (Progressão Geométrica), que tem a forma geral:

an = a1 x qn-1

Como sei que o crescimento da população de bactérias é regido por uma PG? Pela própria natureza do problema que relaciona tempo (T) e crescimento da população de bactérias (B):

T0 = 1B
T1 = 1B = 1B x 21-1 = 2 x T0
T2 = 1B x 2 = 1B x 22-1 = 2 x T1
T3 = 1B x 2 x 2 = 1B x 23-1 = 2 x T2
T4 = 1B x 2 x 2 x 2 = 1B x 24-1 = 2 x T3

(…)

T40 = 1B x 240-1 = 2 x T39

Nessa PG, o elemento posterior é sempre o dobro do anterior. A PG permite acesso à qualquer um dos seus membros desde que tenhamos algumas informações, pois a estrutura é fixa. Conhecemos o primeiro membro (1) e a razão (2). Vamos descobrir, em primeiro lugar, a quantidade de bactérias existentes após 40 minutos, pois sabemos que nesse tempo o recipiente estará cheio:

T40 = 1 x 240-1
T40 = 239

Após 40 minutos, o recipiente conterá 239 bactéricas. Metade dessas bactérias ocuparão metade do recipiente:

239/21
239 – 1
238

Mas que elemento da PG resulta 238? 238 é o elemento imediatamente anterior ao último (T40). Para descobri-lo, basta dividir pela razão:

T40 = 240-1
T39 = 240-1/21 = 240-1 x 2-1 = 240-1-1 = 238

Portanto, a metade do recipiente será preenchida em 39 minutos (T39) por um total de 238 bactérias.

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Do Traço à Produção de Significado: Semiose de um Símbolo

O pensamento intuitivo é o contrapeso do pensamento formal (definições, axiomas e teoremas). Essa relação dual entre essas categorias de pensamento orientam a escolha dos traços provisórios que farão parte do processo de descoberta de perceptos matemáticos. A intuição pula etapas do pensamento formal para tentar antecipar um resultado futuro, mas é necessária ousadia para que as descobertas sejam feitas. O professor Goro Shimura fez referência à “capacidade de cometer bons erros” que seu colega Yutaka Taniyama tinha quando juntos conjecturaram Taniyama-Shimura, que posteriormente provou-se conectada ao Último Teorema de Fermat. Cabe ao pensamento formal preencher as lacunas do pensamento intuitivo – provar que uma hipótese é verdadeira.

Para entender como um signo se transforma (semiótica), é necessário compreender como nossa mente o interpreta (hermenêutica) e qual é o aspecto ontológico (associação entre o percepto matemático e a aparência) da marca. Um signo é um elemento representativo que possui dois aspectos unidos em um todo indissolúvel [1]: um significante e um significado. O significante é o elemento tangível, perceptível e material do signo [2]; o significado é o conceito, o ente abstrato do signo. Ao ouvir a palavra árvore, uma lembrança é acessada e trás uma imagem sonora, que é o significante da palavra árvore. Árvore nos faz pensar em algo que tem folhas, tronco, gera sombra e possui raízes. Essa generalização que é aplicável às demais árvores é o significado do signo árvore que também está armazenado na mente.

Um símbolo ou marca é o final – até que se encontre um símbolo melhor – de um processo epistêmico que utiliza traços para produzir semiose e gerar significado – transformações sígnicas transformam traços em símbolos e um sistema de representação em outro; é o resultado de uma incessante degradação de formas e relações entre conteúdos lógicos de traços antecedentes. Um símbolo de qualidade carrega a noese necessária para aplicação na solução de problemas matemáticos. O matemático, decodificador da natureza, busca uma representação simbólica para os fenômenos que ele observa. Quanto mais noese tem uma marca, melhor ela é.

A marca Xn é a generalização de X.X.X.X… criada por René Descartes. Essa marca possibilitou grandes avanços na matemática vindoura, pois agora era possível fazer operações como Xa.Xb igual à Xa+b e Xa/Xb igual à Xa-b. Para demonstrar o processo semiótico, vou utilizar aquela sequência numérica que expliquei em outro artigo:

233566899

Vou ignorar o número 1 da sequência original porque a pessoa que a concebeu não sabia o que estava fazendo, como expliquei naquele artigo. Os traços que segui para provar aquele problema produziram o significado abaixo:

S = [2 + 3n],[3(n+1)],[3(n+1)] ∀ n ∈ Z | S ⊂ Z

Minha inspiração para criar um símbolo vem dos modelos matemáticos do prof. Aguinaldo Prandini Ricieri, como o Horotimo (H), que distribui horários em uma grade periódica, Attentus (A), cujo objetivo é gerenciar uma fila de atendimentos de clientes em um call center e o Agropolos, que utiliza princípios de atração gravitacional de corpos de grandes massas para decidir que polo fará a moagem da cana. Como o problema tratava de uma sequência de trincas, pensei simplesmente na letra T como apresentação do significante da trinca:

Atribuindo significado aos “satélites” que orbitam a letra T, aumentamos a qualidade do símbolo:

v1: primeiro valor da trinca dado por 2+3k

v2: segundo valor da trinca dado por 3(k+1)

v3: terceiro valor da trinca dado por 3(k+1)

A trinca T produz o terno [v1, v2, v3]. Cada valor da trinca tem uma formulação: [2+3k, 3(k+1), 3(k+1)]. A variável k assume qualquer valor inteiro que você queira. Ou seja, essa marca permite criar qualquer terno da sequência proposta:

…, [2,3,3] | k=0, [5,6,6] | k=1, …

Para construir uma sequência de trincas, podemos utilizar um somatório (∑):

Onde:

k: índice (valor ordinal) do terno

n: quantidade de ternos

Sendo assim, aquele símbolo T passa a ser um traço que conduz ao símbolo S, que carrega a noese da soma de trincas T:

Onde:

k: índice (valor ordinal) do terno

n: quantidade de ternos

Agora, vamos construir nossa sequência utilizando aquele símbolo:

O que permite escrever:

[2,3,3] + [5,6,6] + [8,9,9]
[2,3,3,5,6,6,8,9,9]

Como diria o velho Professor Ricieri, “não dá para ser mais didático que isso”.

Figura 1 – Professor Aguinaldo Prandini Ricieri

Referências

1. [http://uegsemiotica.blogspot.com.br/2013/03/signo-significante-e-significado.html]
2. [http://quadrodosbemois.com.br/signo-significante-e-significado-na-web/]
3. [http://www.uel.br/grupo-pesquisa/grupemat/docs/CC07_cnmem2009.pdf]

Os Números Ocultos no Teste de Lógica

Esse é um dos problemas de um teste de raciocínio lógico com mais ou menos 60 perguntas simples que consistia em encontrar padrões entre desenhos, números ou as duas coisas juntas. Nessa questão perguntava-se quais eram os dois números que completavam a sequência abaixo:

1233?6?89

Parecia simples, mas a pessoa que o criou, propositalmente ou não, embutiu um número que atrapalhava qualquer tipo de combinação que se tentasse fazer: o 1!. A sequência correta deveria começar por 0 e não por 1 ou simplesmente não deveria ter nada antes do 2 – vou explicar o porquê mais adiante:

0233?6?89

Foi por causa desse número 1 que não consegui entender na primeira vez que vi o problema. Tentei aplicar as operações elementares e até potenciações e radiciações, mas nada dava certo. Pensei até em logaritmo! É curiosa a forma como nosso subconsciente trabalha: acordei no dia seguinte com a solução:

123356689

Ou melhor:

023356689

Os números que chutei eram apenas hipóteses que precisei provar, mas para isso era necessário encontrar um padrão naquele sequência numérica. Percebi que a sequência tendia ao crescimento, mas além de números sequenciais existiam números que se repetiam. Primeiro, olhei para as duas sequências:

|123| e |89|

E depois me interessei pelo número que se repetia:

|33|

Trabalhando com a hipótese de que as incógnitas eram partes de sequências ou repetições, testei com 5 e 7:

|1|2|33|5|6|7|8|9|

Não era muito promissor. Então testei com 5 e 6:

|1|2|33|5|66|8|9|

Quando dividi a sequência no “sonho” em blocos que agrupavam o mesmo número, aparentemente deu certo para a segunda combinação (5 e 6), mas esse |1| parecia deslocado, pois antes do |2| era esperada a repetição |00| para que a regra de formação do conjunto S (solução) valesse:

S = [número 1][sequência de dois números][repete o último número da sequência][pula um número]

Nesse momento, realoquei as barras e vi uma formação diferente que poderia ser generalizada desde que o número fosse descartado:

|233|566|89|

Podemos escrever uma sequência que materializa essa ideia:

…,[si,1 + si],[1 + si],[3 + si],…

O que permite escrever a representação matemática do conjunto S para generalizar a solução ao infinito (-∞…+∞):

S = [2 + 3n],[3(n+1)],[3(n+1)] ∀ n ∈ Z | S ⊂ Z

Dessa forma, é possível construir toda a sequência indo de n=-∞ até +∞:

…,-4,-3,-3,-1,0,0,2,3,3,5,6,6,8,9,9,11,12,12,14,15,…

O que permite afirmar que nossa hipótese inicial (5 e 6) está provada e podemos devolver o |1| que foi omitido para que pudéssemos construir nossa prova:

123356689
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