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Archive for the ‘Matemática’ Category

Epistemologia da Integração de Funções Compostas

Em outro artigo, demonstrei como se chega na fórmula das derivadas compostas utilizando logaritmo:

f'(x) = u'(x).v(x) + v'(x).u(x)

Podemos generalizar essa fórmula assim:

[uv]’ = u’v + uv’

Nesse artigo, vou apresentar a epistemologia da integração por partes. Vou utilizar a versão genérica, mas você pode fazer um intervalo definido de a até b:

[uv]’ = u’v + uv’

[uv]’ = u’v + uv’

uv = u’v + uv’

u’v = uv – uv’

Vamos demonstrar com um exemplo:

ln x dx

1 . ln x dx

Trabalhando as variáveis da integração por partes:

u = x ∴ u’ = 1
v = ln x ∴ v’ = 1/x

Substituindo na integral:

lnx dx = xlnx – x1/xdx
lnx dx = xlnx – dx

E simplificando:

lnx dx = xlnx – x + c
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Encontrando o X na Potenciação Através de um Artifício

O Canal Mind Your Decisions mostrou um artifício bem legal para resolver um determinado problema de potenciação. O problema era encontrar o valor de X na equação abaixo:

(3+4)(32+42)(34+44)(38+48)(316+416)(332+432) = (4x-3x)

Para começar, como quem não quer nada, ele apenas modificou a ordem dos termos dentro dos parenteses do lado esquerdo da equação:

(41+31)(42+32)(44+34)(48+38)(416+316)(432+332) = (4x-3x)

Por que ele fez isso? Ele estipulou como objetivo reduzir a equação utilizando o quadrado da diferença:

(a2-b2) = (a+b)(a-b)

Porém, estava faltando o termo inicial para juntar com (41+31). É aí que vem a sacada do autor do vídeo. Muda alguma coisa se você multiplicar os dois lados por “1”? Não, né?

1(41+31)(42+32)(44+34)(48+38)(416+316)(432+332) = (4x-3x)1

O “1” pode ser escrito de várias formas diferentes:

5/5 = 1
33 * 2 – 65 = 1

Mas estamos interessados em um formato que nos ajude a montar o quadrado da diferença. Esse aqui:

(4-3) = 1

O que permite escrever:

(41-31)(41+31)(42+32)(44+34)(48+38)(416+316)(432+332) = (4x+3x)(41-31)

(42-32)(42+32)(44+34)(48+38)(416+316)(432+332) = (4x-3x)1

(44-34)(44+34)(48+38)(416+316)(432+332) = (4x-3x)

(48-38)(48+38)(416+316)(432+332) = (4x-3x)

(416-316)(416+316)(432+332) = (4x-3x)

(432-332)(432+332) = (4x-3x)

(464-364) = (4x-3x)

X = 64

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Conversão de Milhas para Quilômetros Utilizando Fibonacci

Você sabia que é possível fazer uma conversão rápida de milhas para quilômetros com uma margem de erro bem baixa (≅1%)? Basta conhecer o número de ouro e sua relação com a sequência de Fibonacci:

Fibonacci (F): 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

Número de ouro (Fn+1/Fn): 1/0, 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, …, 1,6180339…

1 milha vale 1,609340 quilômetros. O número de ouro, que é a relação entre dois números consecutivos da sequência de Fibonacci quando esta tende ao infinito, é 1,6180339. Para realizar a a conversão, você deve aproximar o valor que você converter de Fn e observar o valor que o sucede – Fn+1 é o valor “convertido” que você procura.

Como exemplo, lembra da velocidade a que chegava o DeLorean para que o Capacitor de Fluxos ativasse os circuitos do tempo? Eram 88 milhas por hora. Na sequência de Fibonacci, o números mais próximo daquele é 89 e o número que vem a seguir é o 144. Então, uma aproximação razoável de 88 milhas para o equivalente em quilômetros é 144.

Uma curiosidade sobre as 88 milhas por hora do filme De Volta para o Futuro: sabe por que essa velocidade foi escolhida? Por que os designers de produção acreditavam que era um número condizente com velocímetros digitais e seria fácil de memorizar. Isso é para evitar teorias inúteis, como aquelas sobre o número 42 do Guia do Mochileiro das Galáxias.

O Paradoxo da Melância

A melancia é uma ótima fruta para consumir no verão e também possui vários benefícios para a saúde. Sabemos que uma melancia tem mais de 90% de água (massa líquida) e o restante é massa seca (carboidratos, sódio, vitaminas, potássio, cálcio e etc).

A MathGurl compartilhou o que ela chamou de o Paradoxo da Melancia, que na verdade não é um paradoxo, mas sim um problema aparentemente simples que tem uma conclusão contra-intuitiva provada pela matemática. Essa é mais uma das provas de que a intuição te engana. Partamos de uma melancia de 1kg composta de 99% de água – praticamente um suco de melancia concentrado. Se 99% da melancia é água (massa líquida), 1% é massa seca. Chamaremos a massa seca de MS, a massa líquida de ML e a massa total da melancia de MT (MS + ML):

ML (99%): 990g
MS (1%): 10g
MT (100%): 1000g

Após algumas horas sob ação do sol, a melancia se desidratou. Agora, a massa líquida da melancia representa 98% da massa total. Pergunta-se: qual é a massa total da melancia após a desidratação? É nesse momento que nossa intuição nos dá uma rasteira. Você provavelmente está supondo que basta calcular 98% de 1000g (massa da melancia) ou 98% de 990g (massa líquida original). Na verdade, não podemos nos basear na parte variável da massa. Devemos considerar a massa sólida, pois ela não varia em função da desidratação, e vamos chamar de x a massa líquida que a melancia perdeu com a desidratação:

ML (98%): xg
MS (2%): 10g
MT (100%): [(1000-x)+10]g

Agora sim, podemos fazer uma regra de três bem simples:

10g = 2%
xg = 98%
x = 490g

Conclusão

Após a desidratação, a melancia perdeu metade de sua massa total:

ML (98%): 490g
MS (2%): 10g
MT (100%): 500g

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A Derivada Mudará sua Vida

Para entender a piada do Oppressive-Silence, é necessário conhecer um pouco de derivadas. Eu só acrescentaria que o seno se transformaria em cosseno e que o cosseno se transformaria em -seno, mas o logaritmo neperiano viraria de pernas para o ar: ele se transformaria em 1/x.

Epistemologia da Derivada do Produto de duas Funções: Método Algébrico

Derivar um polinômio é bem simples. Fiz uma dedução seguindo o método de Newton e outra seguindo o método de Leibniz, a qual produziu o símbolo abaixo:

f(x) = xn
f'(x) = n.xn-1

E a forma genérica abaixo:

d[f(x)]n/dx = n*[f(x)]n-1fo(x)

Aplicando o símbolo para derivar o polinômio abaixo, obtemos:

f(x) = x10
f'(x) = 10x9

Porém, a derivada de uma função composta não é feita de forma tão direta:

f(x) = u(x).v(x)

Nesse artigo, vamos deduzir a famosa fórmula para derivar funções compostas. Você verá que a dedução é bem simples embora o uso de logaritmos possa em princípio assustar. Porém, logaritmo é do bem e reduz bastante a complexidade de um problema. Então, quando as coisas parecerem difíceis, passe logaritmo dos dois lados da função:

ln[f(x)] = ln[u(x).v(x)]

Utilizando a propriedade da multiplicação de logaritmos, obtemos:

ln[f(x)] = ln[u(x)] + ln[v(x)]

Derivando essa identidade logaritmica, obtemos:

[1÷f(x)].f'(x) = [1÷u(x)].u'(x) + [1÷v(x)].v'(x)

Substituindo f(x) = u(x).v(x), obtemos:

{1÷[u(x).v(x)]}.f'(x) = [1÷u(x)].u'(x) + [1÷v(x)].v'(x)

Multiplicando os dois lados da igualdade por u(x).v(x):

f'(x) = [1÷u(x)].u'(x).u(x).v(x) + [1÷v(x)].v'(x).u(x).v(x)

Obtemos:

f'(x) = u'(x).v(x) + v'(x).u(x)

Exemplo

Já sabemos como derivar um polinômio simples:

f(x) = x5
f'(x) = 5x4

Vamos modificar essa função para validar a derivação por partes:

f(x) = x5
f(x) = x2+3
f(x) = x2.x3

E derivar o polinômio composto:

f'(x) = 2x1.x3 + 3x2.x2
f'(x) = 2x1+3 + 3x2+2
f'(x) = 2x4 + 3x4
f'(x) = 5x4

O Cálculo Diferencial e a Guerra do Cálculo

É difícil dizer quem foi o pai do cálculo [2]. Os franceses jurariam que foi Pierre de Fermat (1601-1665), os ingleses diriam que foi Isaac Newton (1643-1727) e os alemães afirmariam, é claro, que foi Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Quem está com a razão? Descartes. Bem, não acho que caiba uma resposta simples e direta nessa pergunta. Também não acho que essa seja uma pergunta justa uma vez que esses matemáticos e outros menos famoso contribuíram de alguma forma para o desenvolvimento do cálculo. Se uma gestão pública inicia uma obra e a próxima gestão a entrega, quem realizou a obra? Quem iniciou, quem cortou a fita ou os dois? Particularmente, acho que devemos analisar qual foi a maior contribuição que cada um dos matemáticos envolvidos nessa saga deu e se seu legado permitiu que a matemática evoluísse sob a ótica notacional, o que implicaria preocupação semiótica do autor. Pensando dessa forma, o cálculo em si passaria para o segundo plano.

Figura 1 – Pierre de Fermat

Embora Fermat seja mais lembrado por aquilo que ele não fez (o Último Teorema de Fermat), ainda assim sua contribuição para o desenvolvimento do cálculo foi relativamente menor que a de seus “rivais” europeus. Preocupado com as questões relacionadas à máximos e mínimos de funções, ele desenvolveu um método para calcular tangentes e outro método para calcular a área sob uma curva utilizando exaustão, mas ele não desenvolveu uma forma de conectar uma derivée a uma integral. Além disso, ele ainda estava muito limitado pela geometria. Cronologicamente, ele foi o primeiro que conseguiu produzir algum resultado prático utilizando a Geometria Analítica de René Descartes (1596-1650) em 1629, mas Newton e Leibniz, percebendo a Natureza inversa das derivadas e das integrais, criaram métodos para se chegar de uma em outra. Tendo esses dois últimos legado as maiores contribuições, vamos colocá-los para “brigar”.

Figura 2 – Isaac Newton

Figura 3 – Gottfried Wilhelm Leibniz

No início do século XVIII, Newton e Leibniz estavam a ponto de entrar em guerra no que ficou conhecido como a Guerra do Cálculo, uma batalha pública com trocas de acusações e artigos difamatórios travada entre as duas personagens pela autoria do Cálculo Diferencial ou Infinitesimal e o Cálculo Integral. Os dois, seguindo caminhos diferentes, conseguiram conectar as derivadas às integrais: agora, era possível passar de um problema ao outro de forma prática. Newton criou o “Método de Fluxos e Fluentes” entre 1665 e 1666, mas ele não contou para ninguém exceto para seus amigos mais próximos. Em 1672, Leibniz, em sua estadia na França, debruçou-se sobre o trabalho de Newton e em 1675 desenvolveu seu próprio método, que mais tarde foi publicado na revista Acta Eruditorum com o título:

Novo Método para Máximos e Mínimos e Também para Tangentes o qual não é Atrapalhado por Quantidades Fracionárias e Irracionais, e um Admirável Cálculo para Eles

Percebe-se nessas poucas palavras que o cálculo diferencial proposto por Leibniz se aplicava também à funções compostas e àquelas que lidam com expoentes irracionais. Em outras palavras, esse método não tinha as limitações dos fluxos de Newton – derivava qualquer coisa. O blog Baricentro da Mente publicou recentemente um artigo sobre as notações utilizadas em derivadas. Como não utilizei aquela referência para escrever meu artigo, se houver alguma similaridade é mera coincidência.

Recomendo que você assista ao documentário A História do Cálculo [2], que explica com mais detalhes a contribuição dos três matemáticos citados para o cálculo, mas nesse artigo me preocupo com o aspecto semiótico das notações desenvolvidas por Newton e Leibniz. A abordagem de Leibniz, que veremos à seguir, é muito superior à de Newton: a simbologia dos fluxos traz pouca noese (sterillis abreviatio) se comparada às possibilidades mereológicas da mirabilis abreviatio criada por Leibniz.

Leibniz e Newton foram grandes matemáticos, mas nesse campo, mesmo inacreditavelmente pouco conhecido, Leibniz é superior à Newton, da mesma forma como no campo de Newton (física), Newton é indiscutivelmente superior à Leibniz e a todos os outros cientistas de seu tempo e dos séculos posteriores. Lembre-se: em um período de dois anos, Newton fez importantes descobertas no campo da ótica, da mecânica dos fluidos e das famosas leis do movimento e da teoria da gravitação universal. Lembre-se também: apenas no começo do século XX foi proposta uma teoria melhor do que a Lei da Gravitação Universal de Newton para explicar o movimento dos corpos celestes. Para entender a grande contribuição de Leibniz para a matemática, vamos dar uma olhada nas notações utilizadas por eles:

1. Notação Fluxional de Newton: fo

2. Notação Diferencial de Leibniz: d/dx

fo indica o ponto de uma curva em que o fluxômetro (nível de bolha) fica estável, o que indica um ponto de máximo ou de mínimo, mas o que você faz com essa notação? Nada! Essa notação é fraca. Ela não permite que a matemática avance em nenhuma direção que ajude na resolução e sequer contribui para um maior entendimento do objeto matemático analisado. Embora a contribuição de Newton para o desenvolvimento do cálculo seja indiscutível, ele e Fermat antes dele, tais como os gregos dois mil anos antes, estavam muito presos às representações geométricas, ou seja, precisavam de um desenho para guiar seus estudos. Por outro lado, a notação d/dx é tão poderosa que permite exogenizar o percepto matemático. Essa notação foi utilizada séculos depois como traço (etapa semiótica da produção de signos) para o desenvolvimento das derivadas fracionárias, mas essa é uma outra história. Leibniz perseguia uma linguagem matemática formalizada e elegante que se apresentasse como uma combinação de símbolos onde apenas o encadeamento das idéias tinha importância [1]. Em outras palavras, ele se livrou das amarras geométricas e trabalhou em outro nível de abstração.

Vamos analisar essa noção de percepto aplicada a um objeto matemático para entender a proposta de Leibniz. Percepto é uma unidade de sentido – trata-se de como o objeto afeta seus sentidos; de como você o percebe. A percepção é endógena, ou seja, nesse momento ela habita sua mente e é algo muito pessoal que depende de uma série de fatores associados à suas capacidades cognitivas e conhecimentos acumulados. Exogenizar um percepto significa lidar com ele fora da sua mente, ou seja, materializar sua percepção de forma estruturada. Pense, por exemplo, na fração 5/6. Existe outra forma de representá-la? Poderíamos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo valor e trocar os numeradores ou os denominadores entre si e ainda manter a mesma proporção:

1) 5/6 = (5/6)*(8/8) = (5/8)*(8/6)

2) 5/6 = (5/6)*(x/x) = (5/x)*(x/6)

3) 5/6 = (5/6)*(√a/√a) = (5/a1/2)*(a1/2/6)

É precisamente essa a proposta da notação diferencial de Leibniz: ela permite uma mudança de variável que facilita a abordagem do problema devido ao encadeamento estruturado dos símbolos. Vamos a um exemplo. Dada a função f=[3x-1]2, pede-se df/dx – essa diferença d nos eixos f e x é um valor infinitamente pequeno.

Tem-se:

f = 2t2
df/dt = t1

t = 3x-1
dt/dx = 3

Porém:

df/dx = (df/dt)*(dt/dx)

df/dx = 2t1*3

Resulta:

df/dx = 2[3x-1]1*3

Utilizando esse método para derivar outros polinômios, deduzimos que:

d[f(x)]n/dx = n*[f(x)]n-1fo(x)

Em palavras menos polidas, “a derivada do de fora multiplicada pela derivada do de dentro”. Pelo método dos fluxos de Newton, teríamos que calcular o limite dessa função para encontrar o ponto de máximo ou de mínimo de forma icástica e utilizar um fluxômetro para poder explicar para alguém onde é o máximo e onde é o mínimo. Imagine a dificuldade de realizar esses procedimentos com equações transcendentais que misturam polinômios, exponenciais, logarítmos, senos e cossenos. Sim, é melhor utilizar um software.

Conclusão

Leibniz e Newton passaram para a história como co-autores do cálculo e são vistos como os matemáticos que deram as maiores contribuições para a matemática depois dos gregos. Newton tinha uma visão romântica: achava tudo belo e harmonioso e se opunha ao caráter mecânico da álgebra [1]. Leibniz era atraído pela linguagem simbólica da álgebra, que combinava com seu raciocínio categórico [1]. A disputa de egos que travaram durante a Guerra do Cálculo mostra que embora fossem duas das maiores inteligências que passaram pela Terra, ainda assim eram demasiado humanos, tais como os deuses do Olimpo, que embora poderosos e imortais sofriam das mesmas paixões e tinham os mesmos defeitos dos simples mortais.

Referências

1. PRANDINI, Aguinaldo P. Matemático e Louco, Todos somos um pouco, 1ª ed., São Paulo: Prandiano Edições, 1989
2. Solução Matemática. A História do Cálculo. Disponível em: [https://www.youtube.com/watch?v=6HI47rcOiAE]. Acesso em: 11 fev. 2018.