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Archive for the ‘Matemática’ Category

Quando Dois é igual à Zero

No artigo Quando Dois é Igual à Um, te induzi a concluir que dois é igual à um sem que você percebesse que havia um erro na condição inicial do problema. Nesse artigo, provarei que dois é igual à zero baseado em um vídeo interessante que assisti no canal MindYourDecisions. Partiremos da verdade que “2 = 2” e trabalharemos o lado direito da equação com simples mereologia algébrica:

2 = 2
2 = 1 + 1
2 = 1 + √1
2 = 1 + √[(-1)(-1)]
2 = 1 + √-1√-1
2 = 1 + (i)(i)
2 = 1 + i2
2 = 1 + -1
2 = 0

Encontrou o erro? A substituição de √-1 pelo número imaginário (i) está correta. O erro está um passo antes dessa substituição. Uma das regras que a função raiz quadrada deve respeitar é essa:

∀ a,b ∈ R ∃ a,b ≥ 0, √ab = √a√b

Sendo assim, embora os passos da resolução pareçam corretos, não podemos afirmar que:

√[(-1)(-1)] = √-1√-1

Pois a premissa de que (a,b ≥ 0) não seria respeitada.

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Dedução das Fórmulas das Áreas de Figuras Planas Através da Integral

Você já se perguntou por que a área de um triângulo é dada por “base vezes altura dividido por dois”? Com as integrais, podemos deduzir as famosas fórmulas de cálculo de área das figuras planas. Vamos deduzir algumas fórmulas de área de figuras planas, mas primeiro precisamos tratar do “ioiô-mixoxô”, pois ele vai ser útil em nossas deduções. Esse famigerado nome é a decoreba que nos remete à famosa equação fundamental da reta:

y – y0 = m(x – x0)

Nessa equação, a distância entre dois pontos P0(x1,y1) e P(x,y) é dada por m, que é chamado de coeficiente angular da reta. O coeficiente angular da reta nada mais é que a tangente de um ângulo que engloba os dois pontos hipotéticos citados. Lembramos que uma tangente é uma reta que pode ser segmentada e medida:

eq_reta

Da figura acima, deduzimos que:

tg α = sen α / cos α

ou

tg α = cateto oposto / cateto adjascente

tg α = (y – y0) / (x – x0)

Em cada demonstração, integraremos uma função dada pela equação da reta em intervalos pré-definidos [a,b]:

integral_deducao1

Dedução da Área do Triângulo

area_triangulo

Aplicando as relações extraídas da equação da reta no gráfico acima, temos:

y – y0 = m(x – x0)
y – 0 = (H/B)(x – 0)
y = (H/B)x

Por fim, a integral da função encontrada nos dá a área sob a função em determinado intervalo:

integral_deducao2

Dedução da Área do Quadrado

area_quadrado

Aplicando as relações extraídas da equação da reta no gráfico acima, temos:

y – y0 = m(x – x0)
y – 0 = 0(x – 0)
y = a

Por fim, a integral da função encontrada nos dá a área sob a função em determinado intervalo:

integral_deducao3

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Quando Dois é Igual à Um

Você, eu e, acredite, até mesmo os participantes de reality shows sabem que 2 não é igual à 1. Há uma demonstração que já vi em vários lugares que vai te fazer duvidar da realidade. A ideia é ir conduzindo o leitor “pela mão” passo a passo até que ele seja obrigado a reconhecer que 2 é igual à 1, mas isso se deve à inspiração da dialética erística, que causa confusão em uma pessoa desatenta: você é induzido ao erro quando concorda com uma afirmação falsa inserida em um conjunto de afirmações verdadeiras. Vamos à ela.

∀ a e b ∈ R | a ≠ 0 e b ≠ 0, podemos afirmar algo como:

a=b

De agora em diante, faremos manipulações algébrica mantendo a equivalência dos dois lados da equação. Preste atenção em cada passagem e tente descobrir onde está o erro. Multiplique os dois lados por a:

a2=ab

Subtraia b2:

a2-b2=ab-b2

Evidencie o quadrado da diferença no lado esquerdo da igualdade:

(a+b)(a-b)=ab-b2

Coloque b em evidência no lado direito da igualdade:

(a+b)(a-b)=b(a-b)

Divida os dois lados por (a-b):

a+b=b

Como a=b:

a+a=a
2a=a

2=1

Identificando o Erro

Identificou o erro? Dê uma olhada na etapa em que evidenciamos o quadrado da diferença de um lado e evidenciamos o b do outro lado:

(a+b)(a-b)=b(a-b)

O erro está no ponto em que dividimos os dois lados da igualdade por (a-b). Como partimos da hipótese de que a=b, temos que aceitar de forma coercitivo que a-b=0 e já sabemos que divisão por zero não existe. Portanto, aqui e em qualquer lugar do universo:

2≠1

Referências

1. [http://www.somatematica.com.br/absurdos/doisigualaum.php]

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Os Hábitos das Pessoas Altamente Matemáticas

Nos relacionamentos humanos, muitas vezes a maneira precisa de tratar os problemas evitando ambiguidades simplesmente não funciona se estamos lidando com pessoas que não têm formação em exatas. O matemático precisa de maturidade para agir como um chefe de cozinha, que com segurança e eficiência fatia idéias e argumentos em suas formas essenciais. É o que afirma Jeremy Kun em um artigo em que ele analisa as características de uma pessoa ligada de alguma forma à matemática.

1. Discutir definições

Como um matemático se preocupa com provas e refutações definitivas, é importante que definições sejam feitas com precisão. Antes de iniciar uma conversa, as definições dos termos relevantes para aquilo que será debatido devem ser expostas de forma clara e discutidas para que todos os envolvidos cheguem a um consenso.

2. Produzir contra-exemplos

Contra-exemplos mostram que alguma coisa não funciona ou simplesmente está errada. Exemplo: o número 5 é um contra-exemplo da afirmação de que 10 seja um número primo, pois 5 sempre o divide.

3. Errar com frequência e admitir os erros

Os matemáticos colocam de lado o orgulho e estão prontos a aceitar um argumento melhor do que o deles. Às vezes, um bom argumento é capaz de fazer o matemático abandonar sua ideia e adotar a visão de outra pessoa sem constrangimento. O mais importante é a aquisição do conhecimento verdadeiro (epistemologia).

4. Avaliar várias consequências possíveis de uma afirmação

O matemático testa os limites de um argumento para desenvolver um princípio que envolva a afirmação original. Com a utilização de contra-exemplos, pode-se simplesmente chegar a conclusão de que a afirmação está errada.

5. Desembaraçar as premissas que sustentam um argumento

Matemáticos detestam ambiguidade, mas as palavras, assim como os relacionamentos humanos, estão cheios de ambiguidades. Eles costumam perguntar o que essas palavras significam em determinado contexto, porque uma determinada questão é importante e por quais motivos certa linha de investigação está sendo seguida.

6. Subir a escada da abstração

À partir de uma definição, de teoremas e de exemplos, os matemáticos verificam se há um contexto matemático mais abrangente ou ainda se estão tratando de alguma tendência em seu campo de estudo.

Referências

1. [https://medium.com/@jeremyjkun/habits-of-highly-mathematical-people-b719df12d15e]
2. [http://www.implicante.org/colunas/ceder-silva/os-fracassos-da-esquerda-se-explicam-pelo-seu-horror-matematica/]

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O Retângulo Áureo e sua Mítica Relação com os Papéis da Série A

Você já se perguntou por quê uma folha de papel A4 tem exatamente 210 milímetros de altura e 297 milímetros de largura? Essa é uma daquelas coisas que raramente questionamos em nosso cotidiano. Questionar mantém o cérebro “afiado” e aumenta nosso conhecimento, assim como fazer exercícios físicos ajudam a manter o corpo equilibrado. Antes de entrarmos no assunto do papel, abramos um parêntese para “aquecer” nossos neurônios: você já pensou por que é frio nas montanhas e quente ao nível do mar supondo que estamos na mesma latitude?

Nossa intuição diz que estando no alto de uma montanha, e portanto mais próximos do Sol, deveria ser mais quente que ao nível do mar. Até pouco tempo atrás eu não sabia a resposta porque nunca questionei, mas de uns tempos para cá me tornei muito crítico sobre tudo que me cerca e resolvi pesquisar. Na verdade, o Sol não nos aquece diretamente. A luz solar, mais precisamente a luz ultravioleta, um tipo de radiação eletromagnética, faz vibrar os átomos das moléculas que compõe o ar (oxigênio, nitrogênio e etc), os líquidos e os sólidos e estes emitem radiação infravermelha, uma luz “quente”. É por isso que há diferenças de temperatura na mesma latitude: ao nível do mar, sob pressão de uma atmosfera, há maior concentração de ar sendo aquecido pelo Sol enquanto nas altas montanhas o ar é rarefeito e, portanto, há menos partículas para serem aquecidas – a energia térmica é transferida entre partículas, o que explica porque no vácuo do espaço é frio. Quando incidem sobre a superfície da Terra, os raios solares são refletidos de volta para o espaço, mas parte é refletida novamente para a superfície pela atmosfera e pelas nuvens, o que complementa o processo de aquecimento. Caso exista concentração de CO2, vapor d’água, metano e etc, forma-se o efeito estufa.

Por que abri aquele parêntesis para divagar sobre aquecimento antes de entrar no assunto que nos interessa, o papel? Primeiro, porque esse tipo de conhecimento faz parte daquilo que Carl Sagan considerava importante para que as pessoas fossem cientificamente alfabetizadas. Em segundo lugar, e mais importante, porque caí na armadilha de acreditar e ainda disseminar o que li em vários lugares que afirmavam que as dimensões do A4 estavam relacionadas ao número de ouro. Apenas quando li dois artigos [1, 4] com argumentos muito convincentes reforçados por demonstrações matemáticas, fui capaz de refutar aquela informação. Fica a dica: tenha em mente o método científico para validar o conhecimento – isso vale, é claro, para os artigos desse blog.

Vamos deduzir o porquê das dimensões do A4 e também vamos tratar brevemente de alguns padrões históricos de medidas dos papéis antes de entrar na polêmica da relação entre as proporções dos papéis da série A – proporção ≅ 1:1,414 ou ≅ 1:√2 – e do retângulo áureo – proporção ≅ 1:1,618 ou ≅ 1:Φ.

Deduzindo as Proporções da Série A

Os papéis da série A (A0, A1,…,A4, A5,…,A9 ,A10) resolvem um problema de minimização de utilização de papel: qual deve ser a largura e a altura de uma folha retangular de modo que quando ela for dividida ao meio, os dois novos retângulos obtidos mantenham a proporção entre altura e a largura da folha original?

quad

Figura 1 – Retângulo de razão 1:√2 (série A)

Das relações entre os lados da figura acima, tem-se:

L/A = A/(L/2)
L2 = 2*A2
L = A*√2, onde √2 ≅ 1,414

Quando dividida ao meio, a folha retangular com razão entre largura e altura (L/A) igual à √2 (≅ 1,414) resultará em retângulos semelhantes ao da folha original. No caso dos quadriláteros, a semelhança só se garante se os ângulos forem congruentes e se a razão entre os lados das figuras for preservada. No A4, 297/210 é uma aproximação racional para √2. A classificação de papéis da qual A4 faz parte chama-se série A, que começa com o A0 (1m², ou 841 x 1189) e vai até o A10 e têm por característica comum a razão √2 entre a largura e a altura. Vamos descobrir as dimensões de alguns elementos da série à partir sas relações matemáticas que identificamos anteriormente.

Papel A0

Dados:

L = A*√2
Área do A0 = L*A = 1

Tem-se:

L*L = L*A*√2
L2=1*√2
L=21/4

A=2-1/4

Aproximando-se as potências em milímetros, temos que as dimensões do A0 são 841 mm de altura por 1189 mm de largura.

Papel A1

Dividindo-se um A0 ao meio, encontramos as dimensões do A1:

Dados:

L = A*√2 = A*21/2
Área do A1 = Área do A0/2 = (L*A)/2 = 1/2 = 2-1

Tem-se:

L*L = L*A*21/2
L2=2-1*21/2
L2=2-1/2
L=2-1/4

A=2-3/4

Aproximando-se as potências em milímetros, temos que as dimensões do A1 são 594 mm de altura por 841 mm de largura.

Papel A4

Dividindo-se um A0 em quatro, encontramos as misteriosa dimensões do A4 (210 x 297):

L = A*√2 = A*21/2
Área do A4 = Área do A0/4 = (L*A)/4 = 1/4 = 2-2

Tem-se:

L*L = L*A*21/2
L2=2-2*21/2
L2=2-3/2
L=2-3/4

A=2-5/4

De A0 (área 1m2) à A10, o processo de formação da série A (L=A*√2, 1:√2 ou 1:1,414) pode ser representado pela figura abaixo [4]:

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Figura 2 – Processo de formação dos retângulos de razão 1:√2 (série A)

A Série A e as Vantagens da Proporção 1:√2

Para produção de livros em série, a proporção 1:√2 é a ideal. A máquina que corta e imprime as páginas do livro, ao dobrar uma folha ao meio, obterá uma nova folha que contém a mesma proporção, pois o novo retângulo deriva de seu anterior. Outra vantagem sobre essa proporção é nas fotocópias: duas folhas de A4, por exemplo, lado a lado podem ser copiadas sem desperdício para uma folha de A3 [1].

A proporção 1:√2 foi utilizada durante a Alta Idade Média para transcrição de livros em duas colunas, mas Gutenberg (1398-1468) preferia a proporção 2:3. A economia foi o motivador da padronização dos formatos de papel: com um padrão, as bibliotecas poderiam planejar de forma mais eficiente as alturas de suas prateleiras, as gráficas poderiam trabalhar com ajustes de máquina pré definidos e as fotocopiadoras e impressoras poderiam padronizar programas para redução e ampliação etc [1].

O padrão internacional para o tamanho de papéis é o ISO 216 (International Organization for Standartization, norma 216), que é adotado por todos os países industrializados do mundo, exceto EUA, Canadá e partes do México. Essa norma regulamenta o formato de algumas séries básicas de papel, como as séries A, B e C. As séries B e C destinam-se, entre outras aplicações, aos formatos de envelopes que podem ser usados para conter folhas da série A [1].

O Retângulo Áureo

O retângulo áureo é aquele que mantém a proporção 1:1,618 entre a largura e a altura. Deduzi o número áureo em outro artigo e vale a pena dar uma olhada. O número áureo 1,618 deriva da divisão de F(n)/F(n-1) onde F é um número da sequência de Fibonacci. Essa proporção harmônica é muito utilizada nas artes e na arquitetura conforme expliquei nesse artigo.

Repetindo-se o processo de formação do retângulo áureo indefinidamente, encontramos retângulos cada vez menores, e neles podemos inscrever uma espiral logarítmica. A espiral logarítmica converge para um pólo localizado no ponto de encontro da diagonal do retângulo maior com a diagonal do retângulo obtido após a primeira divisão [1].

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Figura 3 – Processo de formação dos retângulos de razão 1:Φ (retângulo áureo)

Conclusão

Como demonstrado, a série A e o retângulo áureo são diferentes quanto ao objetivo e à semiose – têm diferentes epistemes. Quanto ao objetivo, os lados dos retângulos da série A mantém as proporções quando dobrados ao meio. Já o retângulo de ouro tem como objetivo manter a harmonia entre seus lados. Quanto à semiose, a série A tem como base um retângulo hipotético, fixa a área do papel A0, o primeiro da série, em 1m2 e os demais componentes da série são formados por “n dobras” de A0 ou de algum dos outros elementos. O retângulo áureo tem as proporções do número áureo (1,618 ou Φ), que é extraído de uma relação entre os números da sequência de Fibonacci quando esta tende ao infinito.

A outra conclusão, ainda mais importante, é que você não deve acreditar naquilo que se lê por aí – nem nesse blog. Entenda o que o autor está tentando demonstrar ou informar e depois questione.

Referências

1. [http://www.nilsonjosemachado.net/sema20080325.pdf]
2. [http://topicosmatematicos.blogspot.com.br/2008/11/o-retngulo-ureo.html]
3. [https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio]
4. [http://www.proyectosandia.com/2010/07/de-donde-proviene-el-formato-de-hojas.html]

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O Número Áureo

Há um fenômeno simétrico relacionado às proporções que pode ser encontrado sob diferentes formas na natureza. Esse fenômeno é tão inexplicavelmente abundante que chegou a ser associado à marca ou assinatura de um Criador de todas as coisas. Aqui cabe lembrar: a falta da evidência não é evidência da falta e, por indução, utilizando esse fenômeno como premissa, não chegamos à conclusão de que existe um arquiteto universal. Cuidado com os argumentos falaciosos.

Esse dito fenômeno da natureza é representado por um número chamado de número de ouro, rácio dourado ou proporção divina – esse último devido à sua associação com um suposto Criador. Ele é representado pela letra grega maiúscula φ (se escreve phi e se lê “fi”), que é um número irracional dado pela dízima infinita não periódica 1,61803398… e que está intimamente relacionado à série ou frequência de Fibonacci – isso será demonstrado mais adiante.

A escolha da letra grega para representação da dízima se deve ao matemático Mark Barr (1910) em homenagem ao arquiteto Phideas (+/- 450 a.C.), que é o projetista do Pathernon. Phideas utilizou a proporção 1:1,61803398… para projetar a estrutura do Pathernon.

Devido às propriedades matemáticas relacionadas com a harmonia das formas naturais e a frequência com a qual se apresenta na natureza, esse número atraiu o interesse de pesquisadores, cientistas, artistas e escritores. O número de ouro é utilizado nas artes e na arquitetura de um modo geral como uma forma de encontrar a harmonia entre as dimensões dos objetos. O argumento subjetivo para a escolha dessa proporção nas artes e na arquitetura é justamente o equilíbrio ou a harmonia entre as formas.

A “proporção dourada” é encontrada nas articulações ósseas e nas feições dos seres humanos. Peça para qualquer pessoa te dar uma definição de beleza. As respostas vão desde as mais particulares e subjetivas até as que beiram à metafísica, mas há estudos que afirmam que uma pessoa tem um rosto bonito quando os diferentes elementos que o compõem são simétricos e proporcionais ao número de ouro. Veja algumas medições feitas sobre o Homem Vitruviano de Leonardo da Vinci:

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Figura 1 – Proporcionalidade no Homem Vitruviano

Esta sequência numérica também foi uma das principais marcas do Renascimento. A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, usa a proporção 1:1618 na relação entre o tronco e a cabeça e entre elementos do rosto. Na pirâmide de Gizé, cada bloco é 1,618 vezes maior que o bloco do nível imediatamente acima. Em algumas pirâmides, as câmaras internas têm comprimento 1,618 vezes maior que a sua largura.

O Retângulo Áureo

O retângulo de ouro é qualquer retângulo cuja divisão da base pela altura resulta no número de ouro (1,618..). Da demonstração da seção anterior, deduzimos que a proporção entre os segmentos de reta é 1:1,618…, e essas são as laterais desse retângulo.

O retângulo de ouro é o resultado da interligação dos números da sequência de Fibonacci: quando é divido por quadrados proporcionais à Sequência de Fibonacci, ele alarga o seu conjunto consoante a sucessão de Fibonacci. Os gregos antigos o consideravam o formato retangular mais belo e apropriado de todos.

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Figura 2 – Sequência de Fibonacci

Número Áureo Φ Como o Limite da Sequência de Fibonacci

Quando se divide indefinidamente um número de Fibonacci pelo seu antecessor, nos aproximamos do valor de Φ:

5/3 = 1,6666…
8/5 = 1,6000
13/8 = 1,6250
21/13 = 1,6153…

(…)

987/610 = 1,6180…

lim n→∞ F(n+1)/Fn = 1,618… = Φ

Número Áureo Φ Como a Solução Positiva de uma Equação do Segundo Grau

A consequência da utilização do número de Fibonacci para construir o retângulo de ouro é que dois retângulos internos e adjacentes são semelhantes:

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Figura 3 – Retângulo de ouro

Considere o seguimento A, B, C:

AC/AB = AB/BC

Como AC = AB + BC:

 (AB + BC)/AB = AB/BC
AB/AB + BC/AB = AB/BC
    1 + BC/AB = AB/BC

Se denominarmos AB/BC de x, encontraremos a forma familiar de uma equação do segundo grau:

1 + 1/x = x
x(1 + 1/x) = x*x
x + 1 = x2
x2 – x – 1 = 0

Como expliquei na dedução da fórmula de Bhāskara, os antigos algebristas árabes reduziam os problemas à uma dentre seis formas. Uma delas se parece muito com a que alcançamos acima:

ax2 + bx + c = 0

Sendo assim, podemos utilizar a fórmula de Bhāskara para encontrar o valor de Fi, que é a solução positiva daquela equação:

x = [-b ± √(b2 -4ac)] ÷ 2a

x = [-(-1) ± √((-1)2 -4*1*(-1))] ÷ 2*1
x = [1 ± √(4 + 1)] ÷ 2
x = [1 ± √(5)] ÷ 2

Φ = 1,61803398…

Referências

1. [http://slideplayer.com.br/slide/1784580/]
2. [http://topicosmatematicos.blogspot.com.br/2008/11/o-retngulo-ureo.html]
3. [http://topicosmatematicos.blogspot.com.br/2011/02/o-numero-de-ouro.html]
4. [http://topicosmatematicos.blogspot.com.br/2011/03/o-pi-e-o-phi.html]
5. [https://www.youtube.com/watch?v=XM-o0HsjkV8]
7. [http://www.goldennumber.net/what-is-phi/]
8. [https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio]
9. [http://artenarede.com.br/blog/index.php/o-homem-vitruviano-e-o-numero-phi-a-matematica-da-beleza/]
10. [http://www.infoescola.com/matematica/sequencia-de-fibonacci/]
11. [http://www.entreculturas.com.br/2011/03/curso-de-fotografia-aula-4/]

A Sequência de Fibonacci

Leonardo de Pisa (1170-1250), que por ser filho de de Guglielmo dei Bonacci também era chamado de Leonardo Fibonacci (Fibonacci significa “filho de Bonacci”), observando as taxas de reprodução de coelhos, quantidade e a disposição dos galhos das árvores, identificou uma sequência numérica associada ao crescimento e que está presente na natureza. Suas observações foram expostas no ano de 1202 no livro Líber Abacci (Livro do Ábaco). Com este livro e com outros trabalhos – Practica Geometriae (1220), Líber Quadratorum (1225) e Flos (1225) – ele contribuiu de maneira importante para o desenvolvimento matemático na Europa nos séculos seguintes principalmente pela introdução dos algarismos arábicos.

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Figura 1 – Leonardo Fibonacci

Em qualquer micro e macro observação de elementos naturais que crescem, expandem ou se reproduzem, a sequência numérica abaixo se apresenta:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,…

Essa sequência já era conhecida desde a antiguidade, mas depois que foi inserida no livro Líber Abacci passou a ser conhecida como Série de Fibonacci, Sucessão de Fibonacci ou Sequência de Fibonacci. Fibonacci deduziu que cada número é a soma dos dois números que o antecedem, o que se traduz como:

F(n) = 0,
F(n) = 1,
F(n) = F(n-1) + F(n-2)

Vamos ver onde essa famosa sequência pode ser identificada. Vamos refletir sobre a natureza que nos cerca. Comecemos pelos animais marinhos. Ao transformar a sequência de Fibonacci em quadrados e dispô-los de maneira geométrica, é possível traçar uma espiral perfeita, que também aparece em diversos organismos vivos como na concha de um molusco chamado Náutilus – sim, é desse bicho que vem o nome da famosa invenção do Capitão Nemo, personagem principal do livro Vinte Mil Léguas Submarinas, de Júlio Verne.

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Figura 2 – Espiral logarítmica formada pela sequência de Fibonacci

Mais precisamente, a composição geométrica da figura acima parte de dois quadrados de lado 1, que unidos formam um retângulo de lados 2 e 1. Se adicionarmos a esse retângulo um quadrado de lado 2, obtemos um novo retângulo 3×2. Se adicionarmos agora um quadrado de lado 3, obtemos um retângulo 5×3 e assim por diante.

Podemos determinar o número de abelhas em cada geração da árvore genealógica de um zangão usando a sequência de Fibonacci. Um zangão tem apenas um dos pais (pois provem de um ovo não fertilizado), ao passo que a fêmea exige ambos os pais (pois provem de um ovo fertilizado). Esta relação também poder ser observada em outros animais, como na cauda de um camaleão, nas presas de marfim de um elefante se crescessem infinitamente.

Não apenas os animais crescem de acordo com a sequência de Fibonacci. As sementes do girassol preenchem o miolo dispostas em dois conjuntos de espirais: geralmente, 21 no sentido horário e 34 no anti-horário. As sementes da pinha crescem e se organizam em duas espirais que lembram a de Fibonacci: oito irradiando no sentido horário e 13 no anti-horário. A quantidade de galhos existentes em secções transversais que tomem como base o ponto onde os galhos nascem também cresce como a sequência:

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Figura 3 – Quantidade de galhos em diferentes níveis de uma árvore

Não apenas os seres vivos se desenvolvem como previsto por Fibonacci. As espirais dos furacões crescem de acordo com essa sequência. A relação numérica existente entre os braços orbitais de nossa galáxia espiralada também crescem de acordo com a sequência:

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Figura 4 – Braços orbitais da Via Láctea

A constatação da existência desse tipo de relação na natureza leva muitas pessoas a concluir que sejam pistas ou até a própria assinatura de Deus em suas obras. A verdade é que não está claro o porquê da natureza ter “escolhido” uma ordem para seu caos.

Como curiosidade, a sequência de Fibonacci também inspira obras de ficção. Em 2003, no livro O Código Da Vinci, o autor Dan Brown utiliza os dez primeiros números da sequência de Fibonacci fora de ordem para montar um determinado anagrama. Posteriormente, os personagens, argumentando que a sequência só faria sentido na ordem correta, utilizaram aqueles dez números como a senha de um cofre.

Referências

1. [https://sites.google.com/site/leonardofibonacci7/aplicacoes-da-sequencia-de-fibonacci]
2. [http://pegasus.portal.nom.br/proporcao-aurea-e-sequencia-de-fibonacci/]
3. [http://artenarede.com.br/blog/index.php/o-homem-vitruviano-e-o-numero-phi-a-matematica-da-beleza/]
4. [http://mundoestranho.abril.com.br/ciencia/o-que-e-a-sequencia-de-fibonacci/]
5. [http://www.infoescola.com/matematica/sequencia-de-fibonacci/]

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