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Archive for the ‘Matemática’ Category

Um Problema Relacionado a um Triângulo Retângulo

Um colega me enviou esse triângulo retângulo e pediu ajuda para provar que:

bc – ad = 1

Questões relacionadas a triângulos retângulos não são muito desafiadoras, mas sempre aparece alguma coisa interessante por aí, como aquele caso do MIT que compartilhei. O Teorema de Pitágoras é suficiente para atacar esse problema:

x2 + y2 = z2

O que permite escrever:

(c/d – a/b)2 + (1/2b2 – 1/2d2)2 = (1/2b2 + 1/2d2)2

Desenvolvendo as equações resultantes dos quadrados da soma e da diferença:

c2/d2 – 2ac/db + a2/b2 + 1/4b4 – 2/4d2b2 + 1/4d4 = 1/4b4 + 2/4b2d2 + 1/4d4

c2/d2 – 2ac/db + a2/b2 = 4/4b2d2

c2/d2(b2/b2) – 2ac/db(db/db) + a2/b2(d2/d2) = 1/b2d2

(b2d2)(c2b2 – 2abcd + a2d2)/(b2d2) = (b2d2)*1/(b2d2)

c2b2 – 2abcd + a2d2 = 1

Note que no lado esquerdo da igualdade há os componentes do quadrado da diferença:

(cb – ad)2 = 1

√[(cb – ad)2] = 1

bc – ad = 1

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O Problema dos Três Números Consecutivos

O canal Mind Your Decisions enviou um desafio interessante:

Encontrei três números inteiros consecutivos tais que o produto é igual à soma deles. Quais poderiam ser os meus números? Resolva para todas as possibilidades.

Ou seja:

X.Y.Z = X + Y + Z

Eu parti da sequência abaixo e simplifiquei a expressão para trabalhar no segundo grau:

x.(x+1).(x+2) = x + (x+1) + (x+2)
x.(x+1).(x+2) = 3(x+1)
x2 + 2x – 3 = 0

E encontrei as respostas x1=1 e x2=-3, que são duas soluções válidas, mas o problema pede “todas” as soluções possíveis. Sendo assim, não podemos simplificar, pois inevitavelmente temos que trabalhar com uma equação do terceiro grau, que tem três soluções possíveis. O canal partiu de uma sequência um pouco diferente da minha e não simplificou:

(x-1).x.(x+1) = (x-1) + x + (x+1)

O interessante é que os passos que ele seguiu culminaram em um quadrado da diferença, o que simplifica a descoberta das soluções:

(x-1).x.(x+1) = (x-1) + x + (x+1)
x3 – 4x = 0
x(x2 – 4) = 0
x(x+2)(x-2) = 0

As respostas são: x1=0, x2=-2 e x3=2:

  • Para x1=0, a sequência (X,Y,Z) é (-1,0,1)
  • Para x2=-2, a sequência (X,Y,Z) é (-3,-2,-1)
  • Para x3=2, a sequência (X,Y,Z) é (1,2,3)
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Quando Quatro é igual à Cinco

Esse é mais um daqueles artigos da série “será que estou louco?”. O Reinaldo Azevedo escreveu mais um de seus muitos artigos sobre política, mas lá no meio do artigo ele inseriu uma imagem com uma equação que resultava 4=5 que ele utilizou para exemplificar o rigor matemático de uma associação que se opunha à reforma da Previdência. Aí me lembrei de um artigo em que induzo o leitor ao erro para provar que dois é igual à zero. Vamos identificar o erro na equação do Reinaldo.

0 = 0
20 – 20 = 25 – 25
5×4 – 5×4 = 5×5 – 5×5
4(5-5) = 5(5-5)
4 = 5

As três primeiras linhas estão corretas. O problema ocorre quando se divide os dois lados por (5-5), pois 5-5 resulta 0 e divisão por zero não existe.

4≠5

Como Realizar a Operação de Soma com Algarismos Romanos

Em uma cena do filme Indiana Jones e a Última Cruzada, o prof. Henry “Indiana” Jones Jr., em sua aula de História Antiga, explicou para os alunos que o X nunca marcava o local onde estava enterrado ou escondido o que quer que fosse. Ao longo da aventura, descobriu-se que a entrada para o túmulo de sir Richard, um cavaleiro das Cruzadas, ficava em uma igreja medieval adornada com artefatos do oriente médio roubados pelos cruzados que foi convertida em Biblioteca na cidade de Veneza, Itália. O professor tinha a posse de um papel onde se liam I, III, VII e X – respectivamente, 1, 3, 7 e 10 em algarismos romanos. Esses números apareciam no vitral e em colunas no interior da biblioteca, exceto o X, que estava no chão e marcava a entrada do túmulo. A evidência contradizia a crença do professor para dar um tom de comédia à história, mas o importante aqui é a importância que os algarismos romanos tiveram na cultura ocidental e a limitação que impuseram à matemática.

Figura 1 – O X quase nunca marca o local

Os algarismos romanos são compostos por sete letras maiúsculas (I, V, X, L, C, D e M) e foram amplamente utilizados pelo Império Romano para o registro de valores. Embora essas letras fossem suficientes para representar as centúrias (unidades de infantaria do exército romano), elas limitavam a evolução da matemática, pois não permitiam a realização das operações matemáticas e nem eram adequados para representar números fracionários. Foi por isso que esse sistema foi substituído pelos algarismos hindu-arábicos.

As ditas operações matemáticas eram meramente ilustrativas. Esse sistema que utiliza os algarismos romanos para indicar operações foi criado após a queda do império Romano do Ocidente. Para indicar uma subtração, um número menor era colocado à esquerda de um número maior enquanto para representar a adição, o número menor era posto á direita do número maior. Ex.: IV representa 4 (5-1) e VI representa 6 (5+1). Além disso, não se pode repetir o mesmo número mais de três vezes tanto á esquerda quanto á direita. Ex.: o nove é escrito como IX e não VIIII.

O prof. Ricieri nos mostrou uma técnica visual para representar a soma de dois algarismos romanos. Nas palavras dele, “não serve para nada, mas é muito interessante”. Primeiro, traçam-se duas colunas verticais com os números de I à X. Em seguida, traçasse uma coluna entre as duas primeiras começando em II, mas incrementando com um número inteiro a metade da distância que separa dois números inteiros nas colunas externas. Essa coluna vai de II à XX.

A soma de um número da primeira coluna com um número da última coluna será o ponto da coluna central em que uma reta traçada entre esses dois pontos intercepta a coluna central. Veja alguns exemplos.

Somar IV e VIII

Somar IX e III

Categorias:Matemática

A Matemática é Eterna

O TED é uma organização sem fins lucrativos e aparentemente sem filiação partidária ou bandeira ideológica. Eles se dedicam à divulgação do conhecimento na forma de palestras feitas por pessoas influentes em suas áreas, como o prof. Eduardo Sáenz de Cabezón, PhD em Matemática e também professor de Matemática Discreta e Álgebra pela Universidad de La Rioja, na Espanha.

Figura 1 – Prof. Eduardo Sáenz de Cabezón

O prof. Cabezón iniciou sua palestra com aquela pergunta clássica feita pelas pessoas ligadas às “ciências humanas” ou em geral pelos leigos em ciências exatas: “para que serve a matemática?”. Eu, particularmente, responderia que sem a matemática você ainda estaria caçando animais e coletando frutas no meio da floresta. Fiz essa reflexão depois de ler alguns capítulos do até agora ótimo livro Sapiens, de Yuval Noah Harari, mas vamos seguir com a linha de raciocínio do professor.

A pessoa que pergunta a utilidade da matemática na verdade está perguntando porque é que ela teve que estudar isso todos esses anos se pretendia seguir uma carreira que não tinha nada a ver com as exatas. Para responder à essa pergunta, os matemáticos se posicionam no ataque ou na defesa. Os atacantes basicamente utilizam Dialética Erística para te convencer de que a matemática tem um fim em si própria e não precisa necessariamente servir a um propósito. Os que ficam na defensiva vão dizer que a matemática está na natureza e em todos os aspectos da vida – prédios, computadores, pontes, etc. Para o prof. Cabezón, ambos estão certos, mas ele também apresentou uma terceira vertente, na qual ele mesmo se inclui.

Figura 2 – Professor sincero

A matemática controla a intuição e comanda a criatividade. A intuição nos engana e já tratei desse assunto várias vezes aqui no blog, como por exemplo no problema da geodésica da aranha. O professor utilizou aquele exemplo conhecido da pilha de papel que chega à Lua: se você dobrar uma folha de 0,01mm de espessura 50 vezes, a soma das espessuras cobrirá a distância daqui até à Lua. Em outro vídeo, o mesmo professor disse que se dobrássemos aquela folha de papel 54 vezes, a pilha teria tamanho suficiente para cobrir a distância da Terra ao Sol. Duvida? Cada vez que uma folha é dobrada, ela fica 2 vezes mais “alta”. Dobrando 54 vezes, a pilha terá altura de 254x0,01mm. Convertendo tudo para base 10, 2×1016x10-2mm, ou seja 2×1014mm. Convertendo para quilômetros, resulta 2×108km, ou seja, 200.000.000 km, o que supera a distância da Terra ao Sol, que vale por volta de 149.600.000 km. Dobrando o papel 103 vezes, a altura superará o universo observável. Tudo isso contradiz a intuição, mas o resultado é provado pela matemática. A matemática é o suporte de todas as ciências e tudo o que faz a ciência ser ciência é o rigor matemático que apresenta resultados eternos.

Figura 3Mapa da Matemática

Caminhando para a conclusão, o professor utilizou a comparação entre um diamante e um teorema para explicar como nossa noção de eterno é relativa. Um diamante é eterno enquanto esse mundo durar, mas se o mundo for destruído, o diamante, que é parte dele, também será destruído. Um teorema, como o de Pitágoras, nasce de uma hipótese, mas se torna uma verdade eterna provada e demonstrada matematicamente que poderá sobreviver por milênios enquanto não aparecer uma teoria que a refute. O prof. de Matemática Rogério Martins, em outra palestra no TED, também concorda com essa ideia de matemática como algo eterno e acrescenta que é por isso que ela não é atingida pelo tempo. E o prof. Cabezón terminou com a seguinte reflexão:

Então, se você quiser dizer para alguém que o amará por toda a vida, dê-lhe um diamante. Mas se você quiser dizer que o amará para todo o sempre, dê-lhe um teorema, mas você terá que provar que o seu amor não é apenas uma conjectura.

Desafio das Idades

O blog O Desafio: Aprender compartilhou um pequeno problema algébrico:

Imagine duas pessoas, um pai, de 30 anos, e um filho. E o filho, bastante curioso, pergunta: ‘Pai, se hoje eu tenho um quinto da sua idade, quantos anos eu terei quando eu tiver a metade da sua idade?’

Primeiro, precisamos descobrir quantos anos o filho (F) tem hoje. Sabemos que ele tem 1/5 da idade do pai (P):

F=P/5
F=30/5
F=6

Criança esperta, não? Em seguida, o filho pergunta para o pai quantos anos ele terá quando sua idade for a metade da idade do pai:

F = P/2

Hoje, a metade da idade do pai é 15. Por indução, sabemos que um dia a idade do filho será exatamente igual a idade do pai, pois a metade da idade do pai é regida por uma PA (Progressão Aritmética) de constante 0,5 e a idade do filho é uma PA de constante 1:

A) Relação entre a idade do pai e a metade da idade do pai com o passar dos anos:

[30, 15.0], [31, 15.5], [32, 16.0], [33, 16.5], [34, 17.0], …, [48, 24]

B) Evolução da idade do filho com o passar dos anos:

[6, 7, 8, 9, 10, …, 24]

Por indução, já descobrimos que o filho terá 24 anos quando atingir a metade da idade do pai, mas isso não é matemática. Vamos descobrir a lei, válida para esse cenário, que correlaciona a idade do pai e a do filho com o passar dos anos. Como tanto a idade do filho quanto a do pai são incrementadas de uma unidade ao ano, depois de um tempo (T), o filho atingirá metade da idade do pai:

(F + T) = (P + T)/2

Basta resolver essa equação:

(6 + T) = (30 + T)/2
2*(6 + T) = 2*(30 + T)/2
12 + 2T = 30 + T
T = 18

Cuidado. 18 é o tempo que demorará para que a idade do filho coincida com a metade da idade do pai. A idade do filho daqui T anos é dada por (6 + T):

F = 6 + T
F = 6 + 18
F = 24
Categorias:Matemática

As Cores dos Olhos das Escravas

No capítulo XXXIII de O Homem que Calculava [1], o califa desafiou Beremiz Samir, o Homem que Calculava, a encontrar a solução para um curioso problema, que é mais complexo que o Problema das Três Caixas. O califa tinha 5 escravas: 2 tinham olhos negros e 3 tinham olhos azuis. As escravas que tinham olhos negros sempre diziam a verdade, mas as escravas que tinham olhos azuis nunca diziam a verdade e todas tinham os rostos cobertos por véu. Fazendo apenas 3 perguntas, uma para cada uma das 3 garotas escolhidas pelo próprio calculista, deveria-se descobrir, com apenas 3 respostas, as cores dos olhos das 5 escravas.

Figura 1 – As 5 escravas: 2 têm olhos negros e 3 têm olhos azuis

As garotas foram posicionadas lado a lado e o calculista fez a primeira pergunta para garota que estava na extrema esquerda dele: “de que cor são os teus olhos?” A resposta foi dada em chinês, língua inacessível para o calculista. Algumas escravas não eram de origem Árabe. Atendendo ao protesto contido do calculista, todas as respostas seguintes deveriam ser dadas em árabe. Porém, só lhe restavam duas perguntas. Como ele conseguiria descobrir as cores dos olhos de todas as escravas com apenas duas perguntas e duas respostas? A primeira resposta teve algum proveito?

Sem esboçar desânimo, o calculista interpelou a segunda garota na ordem em que estavam postas nesses termos: “qual foi a resposta que a sua companheira acabou de proferir?” A garota respondeu com clareza: “as palavras dela foram “os meus olhos são azuis”. Essa resposta aparentemente ainda não esclarecia o que quer que fosse. O quê Beremiz pretendia com essas perguntas tão vagas? Fique atento à capacidade de uma mente puramente lógica. Sigamos para a terceira pergunta.

A terceira pergunta foi feita para a escrava que estava no centro: “de que cor são os olhos dessas duas jovens à dua direita que acabo de interrogar?” A resposta foi: “a primeira tem os olhos negros e a segunda tem os olhos azuis!”. Após alguns minutos de reflexão, Beremiz respondeu:

“- A primeira escrava (à direita) tem olhos negros; a segunda tem os olhos azuis; a terceira tem os olhos negros e as duas últimas têm olhos azuis!”

Após erguerem-se os véus, verificou-se, para espanto de todos os presentes, que as escravas tinham os olhos das cores informadas e na ordem indicada pelo calculista. Mas como ele fez tanto com tão pouco? Ele fez três perguntas, mas apenas as duas últimas respostas foram inteligíveis – a primeira resposta veio em chinês. A explicação foi dada na sequência do livro, mas vou resumir a abordagem do personagem.

Para a primeira pergunta só havia uma resposta – “os meus olhos são negros” -, pois independente da índole da escrava, sendo sincera ou mentirosa, ela responderia a mesma coisa. Sendo assim, não importaria se a primeira escrava respondesse em chinês ou mesmo se fosse muda. O protesto do calculista foi um simples blefe para fazer parecer que o problema tornara-se mais complexo. Como a primeira resposta era fixa, “meus olhos são negros”, a segunda resposta, “os olhos dela são azuis”, era certamente uma mentira. Nesse momento, o calculista já sabia que a primeira escrava tinha olhos negros (sincera) e a segunda tinha olhos azuis (mentirosa). A terceira resposta, “a primeira tem os olhos negros e a segunda tem os olhos azuis!”, provou que a terceira escrava falara a verdade, ou seja, tinha olhos negros. Por indução, as duas últimas escravas tinham olhos azuis:

| negros | azuis | negros | azuis | azuis |

Crítica

Perceba que o calculista teve sorte ao encontrar a segunda escrava com olhos negros depois de ouvir a terceira resposta. Se a terceira escrava tivesse mentido (olhos azuis), como ele saberia qual das duas últimas escravas tinha olhos azuis e qual tinha olhos negros? Não saberia. Nesse cenário, ele precisaria fazer uma quarta pergunta para ter certeza ou utilizar algum outro artifício que me espaca:

| negros | azuis | azuis | ? | ? |

Há outras combinações fortuitas que dariam a vitória ao calculista, como três mentirosas seguidas ou duas sinceras seguidas, mas o fato é que ele teve sorte ao escolher as três escravas que deveriam responder suas perguntas. Beremiz deveria ter feito a terceira pergunta para a última escrava da esquerda: “quais as cores dos olhos das quatro moças à sua direita?”. Se fosse mentirosa, ele saberia qual era a cor dos olhos dela (azuis) e onde estava a segunda escrava de olhos negros (terceira posição), pois ela responderia assim:

| azuis | negros | azuis | negros | ? |

Referências

1. TAHAN, Malba, O Homem que Calculava, 63ª ed., Rio de Janeiro: Record, 2003
2. [http://josenorberto.com.br/o_homem_que_calculava.pdf]