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Archive for the ‘Matemática’ Category

Prova Computacional do Problema de Monty Hall

O Problema de Monty Hall, que outrora apresentei, é um jogo probabilístico em que um apresentar pede que uma dentre três portas seja escolhida. Uma porta contém um prêmio e as outras têm alguma bizarrice. A imagem abaixo resume as possibilidades de escolha depois que uma porta é aberta pelo apresentador:

Figura 1 – Síntese das escolhas

Para sermos mais didáticos, podemos utilizar a árvore de decisão abaixo, que mostra que temos 2/3 de chances de vencer trocando de porta:

Figura 2 – Árvore de decisão

O blog O Desafio: Aprender apresentou o problema de Monty Hall e citou minha explicação da solução. Revisitar o problema me fez pensar em ir um pouco além e desenvolver um pequeno algoritmo em Java para provar a solução já conhecida do problema.

Escrevi rapidamente um código que utilizava listas de strings e mapas de portas para totais de escolhas. Funcionou, mas depois gastei um tempo reescrevendo com orientação a objetos visando criar abstrações mais claras para que pudesse ser didático. Primeiro, criei uma classe que representa uma porta e o total de vezes que ela foi escolhida:


public class Porta {
    private String nome;
    private long totalEscolhas;
 
    public Porta(String nome) {
        this.nome = nome;
    }
 
    public void escolher() {
        totalEscolhas++;
    }
 
    public long getTotalEscolhas() {
        return totalEscolhas;
    }
 
    public String getNome() {
        return nome;
    }
};

Sabemos que o problema começa quando uma porta é escolhida e outra é aberta pelo apresentador. Sabemos também que a porta aberta e aquela que permanece fechada e que você não escolheu formam um grupo.

Figura 3 – Grupos de portas

Para o problema, isso significa que, se a porta aberta for escolhida pelo algoritmo de escolhas aleatórias, a escolha será transferida para a porta do mesmo grupo que permaneceu fechada. Pensando assim, criei uma abstração para a porta aberta que estende a porta comum e recebe uma referência para a porta fechada. Pensei no padrão Decorator:

public class PortaAberta extends Porta {
   private Porta portaDelegada;

   public PortaAberta(String nome, Porta portaDelegada) {
      super(nome);
      this.portaDelegada = portaDelegada;
   }

   public void escolher() {
      portaDelegada.escolher();
   }

};

O algoritmo que escrevi faz três coisas:

  1. Cria as portas fechadas e a porta aberta e as adiciona em uma lista;
  2. Escolhe aleatoriamente uma das portas e incrementa o total de escolhas em cada instância de porta;
  3. Exibe a porcentagem de vezes que cada porta foi escolhida.
public class MontyHall {
   private List<Porta> portas;

   public void executar(long totalEscolhas) {
      configurarPortas();
      escolher(totalEscolhas);
      exibir(totalEscolhas);
   }

   private void configurarPortas() {
      /*
      * Porta 1 do Grupo A (A1)
      */
      Porta portaA1 = new Porta("A1");
      /*
      * Porta 1 do Grupo B (B1)
      */
      Porta portaB1 = new Porta("B1");
      /*
      * Porta 2 do Grupo B (B2)
      * 
      * Essa e a porta que foi aberta pelo apresentador.
      * Se ela for escolhida pelo sistema, a escolha sera 
      * delegada para a outra porta do mesmo grupo, que e a porta B1
      */
      Porta portaB2 = new PortaAberta("B2", portaB1);
      portas = Arrays.asList(portaA1, portaB1, portaB2);
   }

   private void escolher(long totalEscolhas) {
      Random escolhaAleatoria = new Random();
      for (int escolha = 0; escolha < totalEscolhas; escolha++) {
         int indicePortaEscolhida = escolhaAleatoria.nextInt(portas.size());
         Porta porta = portas.get(indicePortaEscolhida);
         porta.escolher();
      }
   }
   private void exibir(long totalEscolhas) {
      System.out.println("\n" + totalEscolhas + " tentativas\n");
      NumberFormat totalEscolhasFormat = NumberFormat.getPercentInstance();
      totalEscolhasFormat.setMinimumFractionDigits(4);
      for (Porta porta : portas) {
        String totalPorta = totalEscolhasFormat.format(
           (double) porta.getTotalEscolhas() / totalEscolhas);
         System.out.println(porta.getNome() + ": " + totalPorta);
      }
   }
}

Agora, vamos testar nosso código para algumas configurações de quantidades de tentativas:

@RunWith(JUnit4.class)
public class TesteMontyHall {
   @Test
   public void teste() {
      MontyHall montyHall = new MontyHall();	
      montyHall.executar(10);
      montyHall.executar(100);
      montyHall.executar(1000);		
      montyHall.executar(1000000);
      montyHall.executar(1000000000);
   }
}

A saída do programa para as configurações anteriores mostra que quanto maior a quantidade de tentativas, mais evidente fica a tendência dos resultados:

10 tentativas
A1: 40,0000%
B1: 60,0000%
B2: 0,0000%

100 tentativas
A1: 38,0000%
B1: 62,0000%
B2: 0,0000%

1000 tentativas
A1: 33,7000%
B1: 66,3000%
B2: 0,0000%

1000000 tentativas
A1: 33,3255%
B1: 66,6745%
B2: 0,0000%

1000000000 tentativas
A1: 33,3360%
B1: 66,6640%
B2: 0,0000%

Esse algoritmo não funcionaria bem para mais de 3 portas. Eu modificaria a abstração da porta aberta: é necessário que ela receba todas as outras portas do grupo das portas não escolhidas e que estão fechadas e, quando a porta aberta for escolhida aleatoriamente, é necessário escolher aleatoriamente uma das portas desses grupo.

Utilizando o Lagrangeano para Provar Matematicamente que um Objeto Livre no Espaço Cairá

Você poderia dizer que é óbvio que se uma caneta for solta ela vai cair, ou melhor, vai cair até que encontre um obstáculo que a impeça de chegar ao centro da Terra. Sendo ainda mais preciso (e chato), a caneta não “cai”, mas sim “viaja” no espaço-tempo curvado pela massa da Terra segundo a Teoria da Relatividade de Einstein. Para Einstein, a gravidade é uma força que empurra e não uma força diferente de todas as outras e que “puxa” como Newton a entendia – ou não entendia. Como complemento, para uma simples medição feita por uma balança, a força que empurra é a normal, que é cancelada pelo peso.

Você sabe que a caneta vai cair porque já viu muitas canetas e objetos similares se comportando da mesma forma quando soltos a uma determinada altura. A caneta que cai é a caneta ideal tal como definido no mundo das idéias de Platão. O que de fato determina se um corpo vai cair – independente de gostarmos mais de Newton ou de Einstein – é o que convencionamos como aceleração da gravidade (g).

A atração gravitacional e a quantidade de massa de um objeto é o que determina a intensidade da força peso. A gravidade não é idêntica em todos os pontos da Terra embora na escola convenciona-se que ela vale 10m/s2, o que se lê como: “para se deslocar 10 metros, um corpo demorará o quadrado do tempo em segundos”. Na verdade, a gravidade depende da composição do solo (tipos de materiais, presença de aquedutos, distância para o centro da Terra, etc). Se você não está precisando lançar um foguete, um bom valor médio para a aceleração da gravidade é 9,7/s2.

Mecânica Clássica

De acordo com a Segunda Lei de Newton:

A mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida, e é produzida na direção de linha reta na qual aquela força é aplicada

Figura 1 – Isaac Newton

Ou seja:

F=m*a

Podemos utilizar a Segunda Lei de Newton conforme previsto pela mecânica clássica para estudar a aceleração da caneta. Como a força que está atuando em um corpo em queda livre é o peso (P=m*g), podemos afirmar que:

P=F
m*g = m*a

g = a

Conclusão

Sendo assim, de acordo com a mecânica clássica e conforme previsto pela Segunda Lei de Newton, o corpo cai porque sua aceleração é igual à aceleração da gravidade – o vetor aceleração está orientado para baixo.

Mecânica Analítica

Todo símbolo, toda notação, revela algumas coisas e esconde várias outras. Esse é o resultado do processo epistêmico. As setas (→) acima dos símbolos de aceleração e força foram introduzidas séculos depois de Newton para indicar que são grandezas vetoriais, ou seja, têm direção, orientação e intensidade. Isso aumentou a noésis da marca, mas não revelou o principal: ela trata das forças que atuam em um sistema, mas esconde as energias que se transformam nessas forças para dar movimento ao sistema – a força é derivada da energia. Podemos provar que a caneta cai estudando as energias que estão atuando no sistema por meio da lagrangeana.

A Mecânica Analítica de Lagrange é a mecânica de Newton escrita com a matemática de Leibnitz. O formalismo lagrangeano permite obter as equações de movimento de um sistema de um modo elegante de acordo com sua natureza geométrica – uma coordenada para cada dimensão. Contrariamente aos métodos baseados nas leis de Newton, este formalismo não exige a identificação das forças envolvidas, o que torna a análise mais abstrata. Dessa forma, é possível simplificar o tratamento de sistemas de maior complexidade, especialmente quando não é relevante ou não é diretamente possível a determinação das forças associadas às restrições ao movimento das suas partículas.

Figura 2 – Joseph Louis Lagrange

Para definir completamente a posição de um sistema com n graus de liberdade são necessárias n variáveis independentes. Essas variáveis são designadas coordenadas generalizadas (q) e a forma como são selecionadas (parametrizadas) permite a simplificação do tratamento matemático do problema.

Na formulação da mecânica lagrangeana, cada sistema mecânico é caracterizado por uma determinada função. No caso geral, esta função depende das coordenadas generalizadas (q), das suas derivadas temporais (q0) e também do tempo (t). Esta função designa-se lagrangeana do sistema, sendo representada habitualmente por ℒ(q,q0,t).

Isso posto, vamos analisar as energias que atuam no momento em que a caneta é liberada.

Coordenadas generalizadas

Nosso sistema só tem um grau de liberdade, pois a caneta só pode se deslocar na vertical. Vamos chamar essa coordenada vertical de x.

q = x
qo = xo

Energia cinética

A energia cinética, conforme notação adaptada por Gaspard-Gustave de Coriolis, é expressa assim:

T = 1/2 mV2

Você poderia substituir o T da equação por Ec. Agora, atenção para uma conexão importante entre a equação do espaço e fórmula da energia cinética. Vamos derivar a equação do espaço em função da velocidade (V).

S = S0 + Vt
So = V

A primeira derivada do espaço (So) é a velocidade (V) e a velocidade influencia diretamente o valor da energia cinética. Como estamos trabalhando com a coordenada x (espaço) e sua primeira derivada, que é velocidade (V) como acabamos de deduzir, podemos afirmar que:

V = xo

Sendo assim, nossa equação da energia cinética será adaptada para trabalhar com a primeira derivada do espaço na coordenada x, o que será importante para substituição no lagrangeano:

T = 1/2 mxo2

Energia potencial

Daniel Bernoulli, em seu trabalho sobre hidrodinâmica, descobriu que a força é derivada da energia potencial em uma coordenada qualquer:

F = – [∂V/∂qo]

Modernamente, expressamos energia potencial como:

V = mgx

Por que a energia potencial é importante para nosso estudo? Porque um corpo que tem energia potencial é capaz de converter essa energia em energia cinética – cada energia atuante nos interessa. Como assumimos que nosso referencial está na parte superior do sistema, a equação fica negativa:

V = – mgx

Se você preferir, pode substituir o V por Ep, mas vamos respeitar os originais.

Lagrangeana

A langrangeana pode ser escrita na forma ℒ = T − U onde T é a soma das energias cinéticas das partículas do sistema e U é a sua energia potencial, onde se incluem os efeitos de todas as forças conservativas.

ℒ = T – V
ℒ = 1/2 mxo2 – (-mgx)

Lagrangeano

O lagrangeano, conforme a mecânica analítica de Lagrange, é expresso como:

d/dt[∂ℒ/∂qo] – ∂ℒ/∂q = 0

Como estamos trabalhando em função da coordenada espacial x:

d/dt[∂ℒ/∂xo] – ∂ℒ/∂x = 0
d/dt[mxo] – mg = 0
mxoo = mg

xoo = g

Conclusão

Como o sistema está sob a ação da gravidade “g”, a caneta “cai”.

Referências

1. [http://paginas.fe.up.pt/~mines/publicacoes_pedagogicas/apontamentos/IMC_Lagrange.pdf]

Quando Dois é igual à Zero

No artigo Quando Dois é Igual à Um, te induzi a concluir que dois é igual à um sem que você percebesse que havia um erro na condição inicial do problema. Nesse artigo, provarei que dois é igual à zero baseado em um vídeo interessante que assisti no canal MindYourDecisions. Partiremos da verdade que “2 = 2” e trabalharemos o lado direito da equação com simples mereologia algébrica:

2 = 2
2 = 1 + 1
2 = 1 + √1
2 = 1 + √[(-1)(-1)]
2 = 1 + √-1√-1
2 = 1 + (i)(i)
2 = 1 + i2
2 = 1 + -1
2 = 0

Encontrou o erro? A substituição de √-1 pelo número imaginário (i) está correta. O erro está um passo antes dessa substituição. Uma das regras que a função raiz quadrada deve respeitar é essa:

∀ a,b ∈ R ∃ a,b ≥ 0, √ab = √a√b

Sendo assim, embora os passos da resolução pareçam corretos, não podemos afirmar que:

√[(-1)(-1)] = √-1√-1

Pois a premissa de que (a,b ≥ 0) não seria respeitada.

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Dedução das Fórmulas das Áreas de Figuras Planas Através da Integral

Você já se perguntou por que a área de um triângulo é dada por “base vezes altura dividido por dois”? Com as integrais, podemos deduzir as famosas fórmulas de cálculo de área das figuras planas. Vamos deduzir algumas fórmulas de área de figuras planas, mas primeiro precisamos tratar do “ioiô-mixoxô”, pois ele vai ser útil em nossas deduções. Esse famigerado nome é a decoreba que nos remete à famosa equação fundamental da reta:

y – y0 = m(x – x0)

Nessa equação, a distância entre dois pontos P0(x1,y1) e P(x,y) é dada por m, que é chamado de coeficiente angular da reta. O coeficiente angular da reta nada mais é que a tangente de um ângulo que engloba os dois pontos hipotéticos citados. Lembramos que uma tangente é uma reta que pode ser segmentada e medida:

eq_reta

Da figura acima, deduzimos que:

tg α = sen α / cos α

ou

tg α = cateto oposto / cateto adjascente

tg α = (y – y0) / (x – x0)

Em cada demonstração, integraremos uma função dada pela equação da reta em intervalos pré-definidos [a,b]:

integral_deducao1

Dedução da Área do Triângulo

area_triangulo

Aplicando as relações extraídas da equação da reta no gráfico acima, temos:

y – y0 = m(x – x0)
y – 0 = (H/B)(x – 0)
y = (H/B)x

Por fim, a integral da função encontrada nos dá a área sob a função em determinado intervalo:

integral_deducao2

Dedução da Área do Quadrado

area_quadrado

Aplicando as relações extraídas da equação da reta no gráfico acima, temos:

y – y0 = m(x – x0)
y – 0 = 0(x – 0)
y = a

Por fim, a integral da função encontrada nos dá a área sob a função em determinado intervalo:

integral_deducao3

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Quando Dois é Igual à Um

Você, eu e, acredite, até mesmo os participantes de reality shows sabem que 2 não é igual à 1. Há uma demonstração que já vi em vários lugares que vai te fazer duvidar da realidade. A ideia é ir conduzindo o leitor “pela mão” passo a passo até que ele seja obrigado a reconhecer que 2 é igual à 1, mas isso se deve à inspiração da dialética erística, que causa confusão em uma pessoa desatenta: você é induzido ao erro quando concorda com uma afirmação falsa inserida em um conjunto de afirmações verdadeiras. Vamos à ela.

∀ a e b ∈ R | a ≠ 0 e b ≠ 0, podemos afirmar algo como:

a=b

De agora em diante, faremos manipulações algébrica mantendo a equivalência dos dois lados da equação. Preste atenção em cada passagem e tente descobrir onde está o erro. Multiplique os dois lados por a:

a2=ab

Subtraia b2:

a2-b2=ab-b2

Evidencie o quadrado da diferença no lado esquerdo da igualdade:

(a+b)(a-b)=ab-b2

Coloque b em evidência no lado direito da igualdade:

(a+b)(a-b)=b(a-b)

Divida os dois lados por (a-b):

a+b=b

Como a=b:

a+a=a
2a=a

2=1

Identificando o Erro

Identificou o erro? Dê uma olhada na etapa em que evidenciamos o quadrado da diferença de um lado e evidenciamos o b do outro lado:

(a+b)(a-b)=b(a-b)

O erro está no ponto em que dividimos os dois lados da igualdade por (a-b). Como partimos da hipótese de que a=b, temos que aceitar de forma coercitivo que a-b=0 e já sabemos que divisão por zero não existe. Portanto, aqui e em qualquer lugar do universo:

2≠1

Referências

1. [http://www.somatematica.com.br/absurdos/doisigualaum.php]

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Os Hábitos das Pessoas Altamente Matemáticas

Nos relacionamentos humanos, muitas vezes a maneira precisa de tratar os problemas evitando ambiguidades simplesmente não funciona se estamos lidando com pessoas que não têm formação em exatas. O matemático precisa de maturidade para agir como um chefe de cozinha, que com segurança e eficiência fatia idéias e argumentos em suas formas essenciais. É o que afirma Jeremy Kun em um artigo em que ele analisa as características de uma pessoa ligada de alguma forma à matemática.

1. Discutir definições

Como um matemático se preocupa com provas e refutações definitivas, é importante que definições sejam feitas com precisão. Antes de iniciar uma conversa, as definições dos termos relevantes para aquilo que será debatido devem ser expostas de forma clara e discutidas para que todos os envolvidos cheguem a um consenso.

2. Produzir contra-exemplos

Contra-exemplos mostram que alguma coisa não funciona ou simplesmente está errada. Exemplo: o número 5 é um contra-exemplo da afirmação de que 10 seja um número primo, pois 5 sempre o divide.

3. Errar com frequência e admitir os erros

Os matemáticos colocam de lado o orgulho e estão prontos a aceitar um argumento melhor do que o deles. Às vezes, um bom argumento é capaz de fazer o matemático abandonar sua ideia e adotar a visão de outra pessoa sem constrangimento. O mais importante é a aquisição do conhecimento verdadeiro (epistemologia).

4. Avaliar várias consequências possíveis de uma afirmação

O matemático testa os limites de um argumento para desenvolver um princípio que envolva a afirmação original. Com a utilização de contra-exemplos, pode-se simplesmente chegar a conclusão de que a afirmação está errada.

5. Desembaraçar as premissas que sustentam um argumento

Matemáticos detestam ambiguidade, mas as palavras, assim como os relacionamentos humanos, estão cheios de ambiguidades. Eles costumam perguntar o que essas palavras significam em determinado contexto, porque uma determinada questão é importante e por quais motivos certa linha de investigação está sendo seguida.

6. Subir a escada da abstração

À partir de uma definição, de teoremas e de exemplos, os matemáticos verificam se há um contexto matemático mais abrangente ou ainda se estão tratando de alguma tendência em seu campo de estudo.

Referências

1. [https://medium.com/@jeremyjkun/habits-of-highly-mathematical-people-b719df12d15e]
2. [http://www.implicante.org/colunas/ceder-silva/os-fracassos-da-esquerda-se-explicam-pelo-seu-horror-matematica/]

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O Retângulo Áureo e sua Mítica Relação com os Papéis da Série A

Você já se perguntou por quê uma folha de papel A4 tem exatamente 210 milímetros de altura e 297 milímetros de largura? Essa é uma daquelas coisas que raramente questionamos em nosso cotidiano. Questionar mantém o cérebro “afiado” e aumenta nosso conhecimento, assim como fazer exercícios físicos ajudam a manter o corpo equilibrado. Antes de entrarmos no assunto do papel, abramos um parêntese para “aquecer” nossos neurônios: você já pensou por que é frio nas montanhas e quente ao nível do mar supondo que estamos na mesma latitude?

Nossa intuição diz que no alto de uma montanha, e portanto mais próximo do Sol, deveria ser mais quente que ao nível do mar. Até pouco tempo atrás eu não sabia a resposta porque nunca questionei, mas de uns tempos para cá me tornei muito crítico sobre tudo que me cerca e resolvi pesquisar. Descobri que na verdade o Sol não nos aquece diretamente. A luz solar, mais precisamente a luz ultravioleta, um tipo de radiação eletromagnética, faz vibrar os átomos das moléculas que compõe o ar (oxigênio, nitrogênio e etc), os líquidos e os sólidos e estes emitem radiação infravermelha, uma luz “quente”. É por isso que há diferenças de temperatura na mesma latitude: ao nível do mar, sob pressão de uma atmosfera, há maior concentração de ar sendo aquecido pelo Sol enquanto nas altas montanhas o ar é rarefeito e, portanto, há menos partículas para serem aquecidas – a energia térmica é transferida entre partículas, o que explica porque no vácuo do espaço é frio. Quando incidem sobre a superfície da Terra, os raios solares são refletidos de volta para o espaço, mas parte é refletida novamente para a superfície pela atmosfera e pelas nuvens, o que complementa o processo de aquecimento. Caso exista concentração de CO2, vapor d’água, metano e etc, forma-se o efeito estufa.

Por que abri aquele parêntesis para divagar sobre aquecimento antes de entrar no assunto que nos interessa, o papel? Primeiro, porque esse tipo de conhecimento faz parte daquilo que Carl Sagan considerava importante para que as pessoas fossem cientificamente alfabetizadas. Em segundo lugar, e mais importante, porque caí na armadilha de acreditar e ainda disseminar o que li em vários lugares que afirmavam que as dimensões do A4 estavam relacionadas ao número de ouro. Apenas quando li dois artigos [1, 4] com argumentos muito convincentes reforçados por demonstrações matemáticas, fui capaz de refutar aquela informação. Fica a dica: tenha em mente o método científico para validar o conhecimento – isso vale, é claro, para os artigos desse blog.

Vamos deduzir o porquê das dimensões do A4 e também vamos tratar brevemente de alguns padrões históricos de medidas dos papéis antes de entrar na polêmica da relação entre as proporções dos papéis da série A – proporção ≅ 1:1,414 ou ≅ 1:√2 – e do retângulo áureo – proporção ≅ 1:1,618 ou ≅ 1:Φ.

Deduzindo as Proporções da Série A

Os papéis da série A (A0, A1,…,A4, A5,…,A9 ,A10) resolvem um problema de minimização de utilização de papel: qual deve ser a largura e a altura de uma folha retangular de modo que quando ela for dividida ao meio, os dois novos retângulos obtidos mantenham a proporção entre altura e a largura da folha original?

quad

Figura 1 – Retângulo de razão 1:√2 (série A)

Das relações entre os lados da figura acima, tem-se:

L/A = A/(L/2)
L2 = 2*A2
L = A*√2, onde √2 ≅ 1,414

Quando dividida ao meio, a folha retangular com razão entre largura e altura (L/A) igual à √2 (≅ 1,414) resultará em retângulos semelhantes ao da folha original. No caso dos quadriláteros, a semelhança só se garante se os ângulos forem congruentes e se a razão entre os lados das figuras for preservada. No A4, 297/210 é uma aproximação racional para √2. A classificação de papéis da qual A4 faz parte chama-se série A, que começa com o A0 (1m², ou 841 x 1189) e vai até o A10 e têm por característica comum a razão √2 entre a largura e a altura. Vamos descobrir as dimensões de alguns elementos da série à partir sas relações matemáticas que identificamos anteriormente.

Papel A0

Dados:

L = A*√2
Área do A0 = L*A = 1

Tem-se:

L*L = L*A*√2
L2=1*√2
L=21/4

A=2-1/4

Aproximando-se as potências em milímetros, temos que as dimensões do A0 são 841 mm de altura por 1189 mm de largura.

Papel A1

Dividindo-se um A0 ao meio, encontramos as dimensões do A1:

Dados:

L = A*√2 = A*21/2
Área do A1 = Área do A0/2 = (L*A)/2 = 1/2 = 2-1

Tem-se:

L*L = L*A*21/2
L2=2-1*21/2
L2=2-1/2
L=2-1/4

A=2-3/4

Aproximando-se as potências em milímetros, temos que as dimensões do A1 são 594 mm de altura por 841 mm de largura.

Papel A4

Dividindo-se um A0 em quatro, encontramos as misteriosa dimensões do A4 (210 x 297):

L = A*√2 = A*21/2
Área do A4 = Área do A0/4 = (L*A)/4 = 1/4 = 2-2

Tem-se:

L*L = L*A*21/2
L2=2-2*21/2
L2=2-3/2
L=2-3/4

A=2-5/4

De A0 (área 1m2) à A10, o processo de formação da série A (L=A*√2, 1:√2 ou 1:1,414) pode ser representado pela figura abaixo [4]:

hojas-a

Figura 2 – Processo de formação dos retângulos de razão 1:√2 (série A)

A Série A e as Vantagens da Proporção 1:√2

Para produção de livros em série, a proporção 1:√2 é a ideal. A máquina que corta e imprime as páginas do livro, ao dobrar uma folha ao meio, obterá uma nova folha que contém a mesma proporção, pois o novo retângulo deriva de seu anterior. Outra vantagem sobre essa proporção é nas fotocópias: duas folhas de A4, por exemplo, lado a lado podem ser copiadas sem desperdício para uma folha de A3 [1].

A proporção 1:√2 foi utilizada durante a Alta Idade Média para transcrição de livros em duas colunas, mas Gutenberg (1398-1468) preferia a proporção 2:3. A economia foi o motivador da padronização dos formatos de papel: com um padrão, as bibliotecas poderiam planejar de forma mais eficiente as alturas de suas prateleiras, as gráficas poderiam trabalhar com ajustes de máquina pré definidos e as fotocopiadoras e impressoras poderiam padronizar programas para redução e ampliação etc [1].

O padrão internacional para o tamanho de papéis é o ISO 216 (International Organization for Standartization, norma 216), que é adotado por todos os países industrializados do mundo, exceto EUA, Canadá e partes do México. Essa norma regulamenta o formato de algumas séries básicas de papel, como as séries A, B e C. As séries B e C destinam-se, entre outras aplicações, aos formatos de envelopes que podem ser usados para conter folhas da série A [1].

O Retângulo Áureo

O retângulo áureo é aquele que mantém a proporção 1:1,618 entre a largura e a altura. Deduzi o número áureo em outro artigo e vale a pena dar uma olhada. O número áureo 1,618 deriva da divisão de F(n)/F(n-1) onde F é um número da sequência de Fibonacci. Essa proporção harmônica é muito utilizada nas artes e na arquitetura conforme expliquei nesse artigo.

Repetindo-se o processo de formação do retângulo áureo indefinidamente, encontramos retângulos cada vez menores, e neles podemos inscrever uma espiral logarítmica. A espiral logarítmica converge para um pólo localizado no ponto de encontro da diagonal do retângulo maior com a diagonal do retângulo obtido após a primeira divisão [1].

slide10

Figura 3 – Processo de formação dos retângulos de razão 1:Φ (retângulo áureo)

Conclusão

Como demonstrado, a série A e o retângulo áureo são diferentes quanto ao objetivo e à semiose – têm diferentes epistemes. Quanto ao objetivo, os lados dos retângulos da série A mantém as proporções quando dobrados ao meio. Já o retângulo de ouro tem como objetivo manter a harmonia entre seus lados. Quanto à semiose, a série A tem como base um retângulo hipotético, fixa a área do papel A0, o primeiro da série, em 1m2 e os demais componentes da série são formados por “n dobras” de A0 ou de algum dos outros elementos. O retângulo áureo tem as proporções do número áureo (1,618 ou Φ), que é extraído de uma relação entre os números da sequência de Fibonacci quando esta tende ao infinito.

A outra conclusão, ainda mais importante, é que você não deve acreditar naquilo que se lê por aí – nem nesse blog. Entenda o que o autor está tentando demonstrar ou informar e depois questione.

Referências

1. [http://www.nilsonjosemachado.net/sema20080325.pdf]
2. [http://topicosmatematicos.blogspot.com.br/2008/11/o-retngulo-ureo.html]
3. [https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio]
4. [http://www.proyectosandia.com/2010/07/de-donde-proviene-el-formato-de-hojas.html]

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