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Archive for the ‘Matemática’ Category

A Escolha do X na Matemática

O ‘X’ está em nossa cultura, como Arquivo X, Projeto X e “o X nunca marca o local” – aquela frase famosa do Indiana Jones. Por que a letra ‘X’ foi escolhida para representar o desconhecido na matemática e não o ‘D’, o ‘U’ ou outra letra qualquer? Por que escolheram o ‘X’ e não uma forma icástica tal como os desenhos em cavernas? Em um vídeo curto para o TED, Terry Moore apresenta uma explicação.

O árabe é uma linguagem carregada de significado: cada parte é extremamente precisa e carrega um monte de informações. É o que buscamos quando fazemos semiose para chegar a um símbolo. Essa característica da linguagem dos árabes à assemelha a uma equação e pode ser efeito ou causa do nascimento da álgebra (al-jebr ou “o sistema para reconciliar partes díspares, fraturadas”) no Oriente Médio.

A álgebra encontrou seu caminho para a Europa com os Mouros seguindo a rota da expansão islâmica por volta dos séculos XI e XII. Houve forte interesse em absorver aquele conhecimento matemático árabe, mas os europeus encontraram dificuldades para traduzir os textos árabes para sua própria língua. O primeiro problema era fonético: é necessário muito treino para pronunciar algo no idioma arábico. O segundo, e maior problema, é que não existiam símbolos em línguas europeias capazes de expressar os sons árabes.

Figura 1 – Shīn (em árabe ﺷﻴﻦ, šīn, shīn, ou simplesmente ﺵ) tem som equivalente à “sh” e não há equivalente fonético em espanhol

“Shīn” também é a primeira letra da palavra “shalan”, que significa “alguma coisa” – no caso, alguma coisa indefinida ou desconhecida. Nos texto originais dos árabes, a palavra “al-shalan” (a coisa desconhecida) aparecia com muita frequência. Essa era a dor de cabeça dos tradutores, pois em espanhol não havia o “sh”.

Figura 2 – Shīn (som de “sh”), Shalan (alguma coisa) e Al-shalan (a coisa desconhecida)

Figura 3 – O Al-shalan destacado em vermelho em um texto sobre derivação de raízes

Para resolver esse problema – e criar outro -, os tradutores estabeleceram um critério: tomaram emprestado o som de “k” da letra “chi” minúscula do grego clássico. Quando esses textos foram traduzidos para o latim, simplesmente trocou-se o “chi” pelo “X” latino, o que se tornou a base dos livros de matemática pelos séculos seguintes.

Figura 4 – Conversão do “chi” minúsculo grego para o “X” latino

Terry Moore, de forma muito espirituosa, concluiu:

Por que ‘X’ é o desconhecido? ‘X’ é o desconhecido porque não podemos dizer “sh” em espanhol.

Referências

1. [https://www.youtube.com/watch?v=YX_OxBfsvbk]
2. [http://www.prof-edigleyalexandre.com/2013/05/porque-a-letra-x-foi-a-escolhida-para-representar-o-desconhecido-na-matematica.html]
3. [http://mailtoshashiprakash.blogspot.com.br/2015/05/why-x-is-unknown.html]
4. [https://kylecorrigan.wordpress.com/2012/09/06/why-is-x-the-unknown/]

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O Homem que Calculava: O Material e o Espiritual

No capítulo XXIX do livro O Homem que Calculava [1,2], Beremiz Samir (o Homem que Calculava) estava sendo sabatinado por sábios convidados pelo califa Al-Motacém. Um filósofo vindo de Toledo (Espanha) contou uma história muito interessante onde ele condicionou a sabedoria à capacidade de unir o material e o espiritual. Na história, o rei da Pérsia queria se certificar de que o verdadeiro sábio conhece perfeitamente a parte espiritual e a parte material da vida.

O monarca mandou chamar os três maiores sábios da Pérsia e entregou a cada um deles 2 dinares (moeda típica dos países árabes cujo nome foi adaptado do famoso denário, que era a moeda do Império Romano). Sem ultrapassar a quantia confiada, cada um deles deveria adquirir algo para preencher o espaço interno de uma das três salas idênticas existentes no palácio. Os três regressaram à sala do trono algumas horas depois e foram interrogados pelo monarca. O primeiro sábio falou assim:

– Senhor! Gastei 2 dinares, mas a sala que me coube ficou completamente cheia. A minha solução foi muito prática. Comprei vários sacos de feno e com eles enchi o aposento do chão até o teto.

– Muito bem! – exclamou o rei Astor, o Sereno. – A vossa solução, simples e rápida, foi realmente muito bem imaginada. Conheceis, a meu ver, a “parte material da vida”, e sob esse aspecto haveis de encarar todos os problemas que o homem deve enfrentar na face da terra.

O segundo sábio explicou sua solução:

– No desempenho da tarefa, gastei apenas meio dinar. Quero explicar como procedi. Comprei uma vela e acendi-a no meio da sala vazia. Agora, ó Rei, podeis observá-la. Está cheia, inteiramente cheia de luz.

– Bravo! – concordou o monarca. – Descobriste uma solução brilhante para o caso! A luz simboliza a parte espiritual da vida. O vosso espírito acha-se, pelo que me é dado concluir, propenso a encarar todos os problemas da existência do ponto de vista espiritual.

O terceiro sábio resolveu a questão dessa forma:

– Pensei, a princípio, ó Rei dos Quatro Cantos do Mundo, em deixar a sala entregue aos meus cuidados exatamente como se achava. Era fácil ver que a aludida sala, embora fechada, não se encontrava vazia. Apresentava-se (é evidente) cheia de ar e de trevas. Não quis, porém, ficar na cômoda indolência enquanto os meus dois colegas agiam com tanta inteligência e habilidade. Resolvi agir também. Tomei, pois, de um punhado de feno da primeira sala, queimei esse feno na vela que se achava na outra, e com a fumaça que se desprendia enchi inteiramente a terceira sala. Será inútil acrescentar que não gastei a menor parcela da quantia que me foi entregue. Como podeis verificar, a sala que me coube está cheia de fumaça.

– Admirável! – exclamou o rei Astor. – Sois o maior sábio da Pérsia e talvez do mundo. Sabeis unir, com judiciosa habilidade, o material ao espiritual para atingir a perfeição.

Referências

1. TAHAN, Malba, O Homem que Calculava, 63ª ed., Rio de Janeiro: Record, 2003
2. [http://josenorberto.com.br/o_homem_que_calculava.pdf]

Tributumulus Prandiano

√x

Sterilis Abreviatio

Sectio Prima: Introdução

Acabaram as aulas do curso Prandiano, ministrado no Museu da Matemática, que sem dúvida foi o melhor curso que fiz até hoje. Nem dá para comparar com a pós-graduação em Engenharia de Software e o MBA em Gestão da Segurança da Informação que fiz tempos atrás. Esse último, pelo menos, serviu para que eu fosse apresentado ao curso de matemática por intermédio do ótimo professor Ricardo Giorgi, que entregou um panfleto para cada aluno.

Estranho? Excêntrico? Sim, o professor Ricieri era, mas à medida que acompanhamos as demonstrações dos teoremas, as idéias que ele teve para montar seus modelos matemáticos, os fragmentos de suas experiências de vida, suas recordações, seu senso de humor e depois de ler alguns de seus livros, descobrimos que se trata de uma pessoa apaixonada pela matemática que, em busca do conhecimento necessário para realizar suas consultorias, descobriu coisas muito interessantes que ele compilou e formatou para montar o curso de matemática aplicada.

A última aula do curso me pareceu um pouco melancólica. Notei que algumas pessoas estavam emocionadas. Tá, era noite e estavam todos cansados após uma segunda-feira (18/12) de trabalho, mas o problema era a mudança iminente: depois de tantos finais de semana e algumas segundas-feiras dedicados ao curso, precisaremos inventar alguma nova rotina. Talvez alguns desenvolvam o hábito de derivar alguma coisa logo depois do café. Durante a aula, o professor fez uma ou outra menção mais ou menos longa a esse desfecho iminente talvez para evitar um final de aula muito dramático e provavelmente demorado.

Ficamos esperando alguma dedicatória especial no final da aula, mas ela não veio. O professor finalizou a aula dizendo que tudo que tinha que ser dito já havia sido dito. Ele acrescentou que nunca deixássemos de estudar e que se um dia estivéssemos passando pela região ou se precisássemos de uma cartinha de recomendação, era só passar lá. O professor fez questão de nos fazer refletir sobre nossa vida de empregados. Ele disse que a última vez na vida que trabalhou foi por volta dos 20 anos. Nos últimos 40 anos ele se divertiu, pois fazia o que gostava e não precisava dar satisfação a ninguém. O conselho dele foi para que se nosso conhecimento não fosse aproveitado ou não recebesse o devido valor pelas empresas, que seguíssemos nosso caminho enquanto éramos jovens.

Nesse artigo, preferi relembrar algumas frases e situações engraçadas contadas pelo professor. O conhecimento de matemática que ele nos legou já rendeu e ainda renderá muitos artigos nesse blog. Embora não dê para esquecer esse professor, a dinâmica das aulas e suas nuances se perderão com o tempo e ficarão apenas flashes meio desconexos – quase como um borrão de tinta, que nada mais é senão o despojo de uma pintura antiga e cheia de vida. Minha memória é muito limitada e eu não gostaria de deixar o que vi e vivi morresse comigo. Se alguém que fez o curso lembrar de mais alguma coisa ou tiver alguma correção para fazer, é só comentar que eu altero o texto.

Sectio Secunda: Sobre o Título do Artigo

A palavra cálculo vem de calculus (“pedrinha”), que é o diminutivo da palavra latina calx (“pedra calcária”), que por sua vez tem a mesma origem da palavra cálcio. Tangentibulus, a tangente mínima associada ao limite, traduz-se como “tangentezinha”. Alguns matemáticos, como o grande Euler, utilizavam uma versão latinizada de seus nomes em seus trabalhos. No caso dele, Eulero.

Sendo assim, embora não tenha estudado latim, procurei latinizar o título como forma de homenagear o curso que fiz. Tributumulus Prandiano vem de “Pequena Homenagem ao Prandiano” ou ainda “Homenagenzinha ao Prandiano”. Além disso, Prandiano, assim como Eulero, já é a versão latinizada do nome Prandini.

Sectio Tertia: Sobre a Estrutura do Artigo

Escrevíamos bastante durante as 6 horas médias de cada aula. Era “folha em branco pra cá” e “pinta xerox pra lá”. Com frequência, o professor estruturava aquilo que ele estava ditando em tópicos. Quando era um conceito ou uma demonstração, aparecia frequentemente o título Sectio Prima, Sectio Secunda, Sectio Tertia e etc. em vermelho e centralizado na folha. Os exemplos seguiam a mesma mecânica: Exemplum Prima, Exemplum Secunda, Exemplum Tertia e etc.

Sectio Quarta: Início da Aula

Toda aula começava com o professor falando alto enquanto subia as escadas talvez como forma de avisar que estava para começar. Adentrando a sala, ele parava e olhava do meio para o fundo da classe…

Vamo começar a aula ou não vamo?

Colocava as folhas e anotações da aula sob sua mesa e perguntava…

Tá calor aí? Quer que aumente o ar? Seis pagaram com ar. Gastei dez pau nessa porra desse ar condicionado e agora tem que usar!

Algumas aulas eram particularmente “especiais” para o professor…

Esse assunto é muito interessante. Já chego aqui excitado para dar essa aula!

Em seguida, ele sempre fazia um prólogo do que estaria por vir naquela aula.

Sectio Quinta: A Dinâmica da Aula

Uma resma era pouco para a quantidade de folhas que usávamos em aula….

Folha em branco! Centro da folha, tracejado em vermelho. Eu faço, depois você copia! Espera o tio! Eu faço sozinho! Tá bom, vai!

O material da aula era visualmente bem legal…

Xerox bonito! Olha, que lindo!

Mas o complemento do material da aula, nem tanto…

Xerox véio!

O material era nobre…

Isso é material de rico. Gramatura 90!

O material ficava bem colorido…

Só te peço uma coisa: pinte meu material. Mas cuidado para não borrar a retícula!

O material complementar não era muito apresentável….

Passe a limpo esse material. Faço bem bunda que é para você ficar com vergonha e passar a limpo com a sua letra para mostrar com orgulho para sua mãe

Algumas folhas do material da aula eram realmente fora de série….

Olha, que lindo! Eu adoro meu material! Se tivesse mais tempo, ficaria o dia inteiro pintando ele! Vocês sabiam que lápis de cor tem validade? E já estão utilizando a segundo caixa de 48 cores da Faber Castell?

Algumas equações mereciam mais que uma folha de papel…

Já pensou que sucesso você faria na balada com uma tatuagem dessas?

E a matemática ajuda o xaveco…

Você impressionaria qualquer uma que te visse estudando essa fórmula no metrô!

E também ajuda a melhorar a estética…

Imagina tatuar essa equação?

A famosa aula onze do P1 volta e meia era citada…

Aula ooooonze. Aula importantíssima! Se cê perder, pode se matar!

Mas havia outras aulas também imperdíveis…

Se perder essa aula pode se matar….onde cê estiver! Não faz mais nada depois disso.

O professor e seus queridos alunos…

Já comi todos esses viados aqui da frente. Você duas vezes!

Sobre o aprendizado…

Aos pouquinhos cê vai aprendendo

Sobre o Certificado de Conclusão do Curso Prandiano…

Não serve pra nada, mas é muito legal!

Quando algumas pessoas chegavam atrasadas e juntas…

Esses aí vieram no mesmo metrô.

A implicância com o Capão Redondo…

Tá com medo da chuva? Também, lá no Capão 2 cê só chega de barco!

Mais implicância com o Capão Redondo…

Mas isso que eu tô falando não é pra você do Capão 2.

Quando alguém apresentava uma dúvida básica ou quando o professor achava que a classe não estava entendendo algo elementar…

Ainda tem vaga no P0. Ainda tem vaga no trigolog.

Quando a classe ficava letárgica após alguma explicação particularmente difícil de digerir…

Claaaaasseeee!….Meninos!

Normalmente o professor se adiantava e explicava novamente um determinado assunto, mas se era esperado que aquele conhecimento já tivesse sido assimilado pela classe, ele era taxativo….

Não vou explicar isso de novo. Aula muito bem dada!

Mas ele tinha uma frase especial para a última aula do curso…

Rasguei mais um certificado!

Quando havia o risco de alguém voltar algum dia para tirar dúvida…

Presta atenção. Se não estiver entendendo, pergunta. E não vem me encher o saco no ano que vem pra te explicar isso outra vez!

Quando havia um erro no material…

Ê Altair! A reunião para discussão de salário está chegando! É bom que a gente vai juntando essas coisas e leva pra reunião.

O papel dos matemáticos…

O século XIX foi dos médicos. O século XX foi dos físicos. O século XXI é dos matemáticos.

Sobre a didática e o conteúdo….

Eu estou entendendo tudo

Sobre a didática e o conteúdo de um outro ponto de vista….

Seis tão entendendo mesmo?

Havia pouco tempo para digerir uma página….

Não tem pressa não, mas vai virando.

O curso P1:

O melhor curso da sua vida!

O curso P2:

O segundo melhor curso da sua vida!

O professor sempre usava os originais….

Tenho todos os originais. Se você me mostrar um livro ou artigo mais antigo onde isso aparece, mudo minha história amanhã.

A didática do professor….

Não tem como ser mais didático que isso!

Os assuntos mais difíceis ficavam até muito simples…

Isso eu ensino até para criança de 5 anos….por telefone!

Quando a matemática dava lugar à repetição…

Isso é pra cavalo fazer

Tínhamos aulas aos sábados, domingos e feriados, mas não no dia das mães…

Minha mãe só ganha bolsa Channel e Dior. Fundo de seda….mas vocês nem sabem do que eu tô falando!

Após ganhar um presente desses, a mãe do professor perguntava a ele sobre a crise. A resposta dele…

O povo reclama muito!

A adorada Valéria…

Aquela fila da p* daquela Valéria! Aquela biscate!

O motorista Elfo…

Ele já está comigo há mais de trinta de anos, mas se colocar música, mando embora!

A rotina de consultor…

Há mais de trinta anos recebo os clientes em minha salinha lá no ITA toda terça-feira de manhã. Eles têm 45 minutos para me explicar seus problemas, mas quando saem têm que deixar um chequezinho de R$50.000,00 na mesa da minha secretária. Comigo é assim, meu irmão! Aqui é tigrão!

Havia clientes vip…

Poucas vezes recebi cliente em meu castelo, mas uma vez o cliente desceu com seu helicóptero na ala oeste do castelo Jataí, perto do lago das carpas. É pra ele saber que estava tratando com um cara tão rico quanto ele.

Para o professor, o que consideramos rotina em assuntos de família era uma tortura e um desperdício de tempo….

Aí você vai na festinha daquele sobrinho, coloca o chapeuzinho e começa a bater palma e cantar: parabéns pra você! É pique! É pique! Ê ê ê ê ê !!! Não dá! Não dá! Não daria pra fazer todas essas merdas que eu faço!

A frase mais caricata do professor….

Uuuuumaaaa booosssta!

A vida de consultor em matemática…

Fico o dia inteiro fazendo essas merdas! Só faço isso da vida!

Chamada para o intervalo…

Vamos mijar?

Chamada para o intervalo com amigos…

Vamos mijar juntos e você vai me contando

Sobre o famoso e controverso matemático Nicolas Fatio…

Ele comeu todos os matemáticos da Europa!

Sectio Sexta: O Final da Aula

A homenagem aos matemáticos era póstuma….

Aqui só homenageamos os mortos. Ele ainda está vivo, mas se morrer amanhã, vai receber homenagem.

As dedicatórias do final da aula eram sempre especiais. Todas as aulas do curso Prandiano, com exceção da primeira e da última, foram dedicadas a algum matemático já falecido, conhecido ou não, que tenha descoberto algo importante para a história da matemática. Esse era o único momento da aula em que o professor tirava os óculos para ler! Após anunciar a personagem, o professor replicava a assinatura dela na lousa….

Vamos dedicar a aula de hoje? Infelizmente, chegamos ao fim de mais uma aula do curso Prandiano. A aula de hoje, com muito orgulho, é dedica a um dos maiores matemáticos de todos os tempos, embora desconhecido, mas não aqui na Prandiano. ‘X’ assina a aula de hoje. Era mais ou menos assim que ela assinava. Vamos conhecer um pouco da história dessa grande personagem. Uma história bonita. Uma história muito interessante!

Após a dedicatória, o professor relatava o que estava escrito na lápide do matemático homenageado. Se não houvesse algo escrito ou se não houvesse epitáfio, o professor acrescentava:

Se eu pudesse escrever alguma coisa, escreveria essas palavras….

Por exemplo, quando o professor enunciou o efeito borboleta, que originalmente foi um “efeito gaivota”, ele disse que escreveria o seguinte na lápide de Edward Lorenz:

O túmulo da lagarta é o berço da borboleta.

A dedicatória ao Fatio foi feita em uma das aulas do curso P-1 pelo professor Tales…

(…) o único homem que Newton amou

Após a dedicatória, vinha a frase de encerramento da aula…

Amigos, foi um prazer! Grande ‘X’!

Sectio Septima: Algumas Histórias

Essas são algumas histórias que me lembro de ouvir o professor contar. Não sei se eram exatamente como conto, mas minha memória é limitada.

O Melhor Sorvete do Mundo

O professor frequentemente passava próximo a Boituva. Quando ele passava por lá com o famoso Elfo ao volante, olhava pela janela do carro na direção da cidade e comentava consigo mesmo:

Aí tem sorvete bom!

Em certa ocasião, o professor convidou uma “amiga” para tomar sorvete na Avenida Paulista, no local onde hoje é o Shopping Center 3, pois dizia-se que ali tinha o melhor sorvete da cidade. Enquanto saboreavam o sorvete, o Elfo, que estava ali por perto, parecia incomodado. O professor perguntou o que estava acontecendo e o Elfo respondeu:

Não é verdade que esse é o melhor sorvete. O melhor sorvete é o de Boituva. O senhor disse!

E lá se foram, o Elfo, o professor e a “amiga” dele experimentar o “famoso” sorvete de Boituva. Chegando na cidade, perguntaram onde era a melhor sorveteria e logo chegaram lá. A Mercedes do professor causou alvoroço ao encostar na frente da pequena sorveteria. A garçonete arrumou uma mesa para tão distinta clientela e ofereceu o cardápio, que provavelmente não era nada vistoso. A amiga to professor tinha dúvidas sobre o que escolher, mas o professor não teve dúvidas para impressioná-la:

Traga um de cada sabor!

Eles se deliciaram com aquele maná. Chamaram a garçonete e elogiaram o sorvete. Ela revelou o segredo tão bem guardado:

Também, é Kibom!

O Homem de Barro

Na página 35 do livro Literocto Cartas aos Mortos o professor conta a conversa que teve com o escultor Michelangelo. Em aula, ele contou a história de forma um pouco diferente da que narra no livro. Vou tentar contar do jeito que ele contou em aula.

Em uma noite mau dormida, pensando ser Deus e ter o poder da criação, ele pensou em dar vida a seu próprio Adão. Utilizando terra mole e úmida, ele deu forma humana a seu fantoche e com um sopro o animou. De uma janela do castelo, o professor viu que a criatuara estava andando lá pelos lados do lago, tentando pescar as estimadas carpas. Contrariado, ele foi até sua criação e ordenou que seus braços se imobilizassem. Voltando aos seus aposentos, o professor percebeu que o fantoche estava pisoteando suas belas flores. Ele não gostou nem um pouco e imobilizou-lhe as pernas. Lá da janela, o professor percebeu que a criatura olhava e murmurava para os pássaros que a sobrevoavam e as espantava. O professor ficou desgostoso e tirou os dons da fala, da visão e da audição de sua criatura. Ele acordou, de sobressalto, e viu que a criatura de seus sonhos na verdade era uma estátua que ficava próxima ao lago.

A Criação de Clara

O professor adora suspiros. As funcionárias do castelo Jataí se desdobram para atender essas preferências do professor e preparam elas mesmas os suspiros. Em uma dada tarde, ele voltou mais cedo do que de costume para casa, pois estava cansado e pensava em mergulhar em sua piscina, que fica ao lado da única obra de arte que está em nome dele e não do museu – essa obra estava nas ruínas do castelo antes da restauração e era uma representação de figuras religiosas manipulando instrumentos astronômicos pintada à mão em porcelana portuguesa. Ao se aproximar da cozinha, o professor notou que as luzes estavam apagadas e havia pessoas conversando despreocupadamente. Ele adentrou o recinto e as funcionárias ficaram surpresas: “professor, o senhor chegou cedo!”. Ele perguntou o porquê delas estarem trabalhando no escuro. Clara, que era o nome de uma das funcionárias, explicou que que sabia que o professor prefere o suspiro branquinho, mas para que ele não escureça, era necessário que a massa não tivesse quaisquer contatos com fontes luminosas. Refletindo sobre essa situação e inspirado na criação de Adão, o professor produziu um pequeno poema chamado Gênese 1, que está na página 15 do livro Pá Lavra: Garimpo de Impressões:

Clara insuflada no escuro: Suspiro!

As Galinhas do Castelo

Escrever “as galinhas do castelo” e “as galinhas do professor” causaria o mesmo efeito negativo, mas aqui estou tratando das aves. Havia uma foto de galinhas no material. O professor disse que eram galinhas do famoso Castelo Jataí. Um colega disse que as galinhas estavam muito magrinhas e o professor não perdoou:

Magrinha sua bunda! Minhas galinhas têm até professor de Ioga particular!

A Foto de Descartes

René Descartes é o matemático mais importante do curso Prandiano – depois do Fátio, é claro. Uma foto dele segurando um esquadro e uma caveira ao lado “escutando” uma coisa e “falando” outra são representações do cogito ergo sum e ela aparece nas primeiras páginas do material. Comenta-se que um aluno interrompeu uma das últimas aulas do P1, levantou a tal foto e perguntou:

Já passou a foto do Descartes?

A Primeira Consultoria

Me lembro vagamente dessa história. Em algum momento de sua vida, ainda enquanto estudante da USP, ele andava meio deprimido. Às margens de uma estrada, chamou-lhe a atenção uma caixa de papelão de algum cereal matinal. Vindas de dentro da caixa, ele viu duas mãos fantasmagóricas que pareciam chamá-lo. Naquele momento, ele entendeu o sentido da vida dele. Pegou a caixa e ligou para a número que estava escrito na verso. Sem se apresentar, ele pôs-se a descrever para o atendente as medidas ótimas que tornariam o volume da caixa o maior possível.

A Consultoria Gratuita

Às margens de uma rodovia, nas proximidades de uma pequena cidade, o professor viu várias placas oferecendo mangas. Ele decidiu parar em uma dessas e pediu algumas mangas, mas ele percebeu que todas os mangas estavam machucadas. Ele chamou a “vendedora” e disse: “essas mangas não estão homogêneas!”. Então ele pediu para escolher do balde. Invariavelmente, todas as mangas estavam machucadas. Curioso, o professor perguntou como elas eram colhidas. A matrona da pequena família disse que os filhos dela pegavam as frutas do chão ou derrubavam do pé. O professor disse que daria uma consultoria gratuita: “por que vocês não estendem um lençol próximo ao chão em volta da mangueira?”. A mulher não entendeu a diferença entre o procedimento dela e o dele, mas disse que consultaria seu marido. Passando pelos arredadores no ano seguinte, o professor lembrou do jeito da placa e de alguns detalhes da casa da sua “cliente” e parou para ver o estado das mangas. Para sua surpresa, todas os mangas continuavam “não homogêneas”. Parece que algumas pessoas não entendem o valor de uma consultoria e muito menos de uma consultoria gratuita.

A Formatura de Páscoa

Na Prandiano, a formatura é feita no meio do curso, no P3 nas vésperas da Páscoa. Segundo o professor, nesse momento o aluno está formado. Após essa data simbólica, ele será informado. Para celebrar essa ocasião, o professor recita a Oração da Paz:

Senhor: Fazei de mim um instrumento de vossa Paz.
Onde houver Ódio, que eu leve o Amor,
Onde houver Ofensa, que eu leve o Perdão.
Onde houver Discórdia, que eu leve a União.
Onde houver Dúvida, que eu leve a Fé.
Onde houver Erro, que eu leve a Verdade.
Onde houver Desespero, que eu leve a Esperança.
Onde houver Tristeza, que eu leve a Alegria.
Onde houver Trevas, que eu leve a Luz!
Ó Mestre,
fazei que eu procure mais:
consolar, que ser consolado;
compreender, que ser compreendido;
amar, que ser amado.
Pois é dando que se recebe,
perdoando que se é perdoado,
e é morrendo que se vive para a vida eterna!

Nesse dia, o professor pediu que cada um trouxesse um ovo de páscoa, mas não um ovo pequeno, pois ele queria um ovo grande, bonito, vistoso; um “ovo de rico”. O meu era rico em lactose. Em seguida, ele propôs um desafio curioso: deveríamos dar esse ovo para alguém na rua e desejar feliz páscoa. Não participei disso, mas entendi a mensagem: o consultor em matemática iniciante deve dar consultoria sem pedir nada em troca. Se fizer um bom trabalho, ele será lembrado e procurado para que realize novos trabalhos, mas agora devidamente remunerado. Essa consultoria gratuita é o ovo de páscoa de São Francisco de Assis. Desde o início do curso, somos incentivados a conversar com as pessoas, mas primeiro com os nossos pais no almoço de domingo, pois:

(…) se você não consegue conversar com sua mãe, como um cavalo pode fazer consultoria? Alguém que não penteia o cabelo, não faz a barba, não corta as unhas e não se veste bem não serve para ser consultor, pois não transmite seriedade e confiança. Imagina só, chegar na casa do consultor, sem reboco, cachorro latindo, cueca estendida no varal, criança chorando. Aí vem a mãe do cara e pergunta: ‘aceita café?’. Não dá! Não dá!

O ovo de páscoa é a versão alegórica do trabalho do consultor em matemática, implícito na oração de São Francisco de Assis. O consultor melhora processos e cria ferramentas que tornam a vida das pessoas e das empresas melhor. Esse é o consolar, compreender e dar.

Sectio Octava: Fim

O professor aparentemente está bastante saudável. Ele até disse uma vez que um dia traríamos nossos filhos para ter aula com ele…

Como está o velho Ricieri, filho?

Está bem, pai. Tá comendo todo mundo

Mesmo assim, ele já deu pistas do que quer escrito em sua lápide. Ele escreveu essas palavras na página 107 do livro Literocto Cartas aos Mortos:

Nasci por milagre; ao acaso, homem. Conheci a pobreza e a riqueza, o celibato e a luxúria, o amor e o ódio, o fracasso e o sucesso, o certo e o errado. Agora, nesta cripta gelada e úmida, o meu corpo inerte esfarela-se entropicamente na velocidade exata do tempo. Busco passivamente outro milagre.

Interessante ele ter utilizado a palavra entropia para se referir à decomposição de seu corpo: à medida que o tempo avança, a entropia aumenta, pois os tecidos que uma vez trabalharam em sincronia para a manutenção da vida se desagregam e se desorganizam.

“Amigos, foi um prazer!” Prof. Aguinaldo Prandini Ricieri

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Mirabilis Abreviatio

Categorias:Matemática

Um Problema Relacionado a um Triângulo Retângulo

Um colega me enviou esse triângulo retângulo e pediu ajuda para provar que:

bc – ad = 1

Questões relacionadas a triângulos retângulos não são muito desafiadoras, mas sempre aparece alguma coisa interessante por aí, como aquele caso do MIT que compartilhei. O Teorema de Pitágoras é suficiente para atacar esse problema:

x2 + y2 = z2

O que permite escrever:

(c/d – a/b)2 + (1/2b2 – 1/2d2)2 = (1/2b2 + 1/2d2)2

Desenvolvendo as equações resultantes dos quadrados da soma e da diferença:

c2/d2 – 2ac/db + a2/b2 + 1/4b4 – 2/4d2b2 + 1/4d4 = 1/4b4 + 2/4b2d2 + 1/4d4

c2/d2 – 2ac/db + a2/b2 = 4/4b2d2

c2/d2(b2/b2) – 2ac/db(db/db) + a2/b2(d2/d2) = 1/b2d2

(b2d2)(c2b2 – 2abcd + a2d2)/(b2d2) = (b2d2)*1/(b2d2)

c2b2 – 2abcd + a2d2 = 1

Note que no lado esquerdo da igualdade há os componentes do quadrado da diferença:

(cb – ad)2 = 1

√[(cb – ad)2] = 1

bc – ad = 1

O Problema dos Três Números Consecutivos

O canal Mind Your Decisions enviou um desafio interessante:

Encontrei três números inteiros consecutivos tais que o produto é igual à soma deles. Quais poderiam ser os meus números? Resolva para todas as possibilidades.

Ou seja:

X.Y.Z = X + Y + Z

Eu parti da sequência abaixo e simplifiquei a expressão para trabalhar no segundo grau:

x.(x+1).(x+2) = x + (x+1) + (x+2)
x.(x+1).(x+2) = 3(x+1)
x2 + 2x – 3 = 0

E encontrei as respostas x1=1 e x2=-3, que são duas soluções válidas, mas o problema pede “todas” as soluções possíveis. Sendo assim, não podemos simplificar, pois inevitavelmente temos que trabalhar com uma equação do terceiro grau, que tem três soluções possíveis. O canal partiu de uma sequência um pouco diferente da minha e não simplificou:

(x-1).x.(x+1) = (x-1) + x + (x+1)

O interessante é que os passos que ele seguiu culminaram em um quadrado da diferença, o que simplifica a descoberta das soluções:

(x-1).x.(x+1) = (x-1) + x + (x+1)
x3 – 4x = 0
x(x2 – 4) = 0
x(x+2)(x-2) = 0

As respostas são: x1=0, x2=-2 e x3=2:

  • Para x1=0, a sequência (X,Y,Z) é (-1,0,1)
  • Para x2=-2, a sequência (X,Y,Z) é (-3,-2,-1)
  • Para x3=2, a sequência (X,Y,Z) é (1,2,3)
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Quando Quatro é igual à Cinco

Esse é mais um daqueles artigos da série “será que estou louco?”. O Reinaldo Azevedo escreveu mais um de seus muitos artigos sobre política, mas lá no meio do artigo ele inseriu uma imagem com uma equação que resultava 4=5 que ele utilizou para exemplificar o rigor matemático de uma associação que se opunha à reforma da Previdência. Aí me lembrei de um artigo em que induzo o leitor ao erro para provar que dois é igual à zero. Vamos identificar o erro na equação do Reinaldo.

0 = 0
20 – 20 = 25 – 25
5×4 – 5×4 = 5×5 – 5×5
4(5-5) = 5(5-5)
4 = 5

As três primeiras linhas estão corretas. O problema ocorre quando se divide os dois lados por (5-5), pois 5-5 resulta 0 e divisão por zero não existe.

4≠5

Como Realizar a Operação de Soma com Algarismos Romanos

Em uma cena do filme Indiana Jones e a Última Cruzada, o prof. Henry “Indiana” Jones Jr., em sua aula de História Antiga, explicou para os alunos que o X nunca marcava o local onde estava enterrado ou escondido o que quer que fosse. Ao longo da aventura, descobriu-se que a entrada para o túmulo de sir Richard, um cavaleiro das Cruzadas, ficava em uma igreja medieval adornada com artefatos do oriente médio roubados pelos cruzados que foi convertida em Biblioteca na cidade de Veneza, Itália. O professor tinha a posse de um papel onde se liam I, III, VII e X – respectivamente, 1, 3, 7 e 10 em algarismos romanos. Esses números apareciam no vitral e em colunas no interior da biblioteca, exceto o X, que estava no chão e marcava a entrada do túmulo. A evidência contradizia a crença do professor para dar um tom de comédia à história, mas o importante aqui é a importância que os algarismos romanos tiveram na cultura ocidental e a limitação que impuseram à matemática.

Figura 1 – O X quase nunca marca o local

Os algarismos romanos são compostos por sete letras maiúsculas (I, V, X, L, C, D e M) e foram amplamente utilizados pelo Império Romano para o registro de valores. Embora essas letras fossem suficientes para representar as centúrias (unidades de infantaria do exército romano), elas limitavam a evolução da matemática, pois não permitiam a realização das operações matemáticas e nem eram adequados para representar números fracionários. Foi por isso que esse sistema foi substituído pelos algarismos hindu-arábicos.

As ditas operações matemáticas eram meramente ilustrativas. Esse sistema que utiliza os algarismos romanos para indicar operações foi criado após a queda do império Romano do Ocidente. Para indicar uma subtração, um número menor era colocado à esquerda de um número maior enquanto para representar a adição, o número menor era posto á direita do número maior. Ex.: IV representa 4 (5-1) e VI representa 6 (5+1). Além disso, não se pode repetir o mesmo número mais de três vezes tanto á esquerda quanto á direita. Ex.: o nove é escrito como IX e não VIIII.

O prof. Ricieri nos mostrou uma técnica visual para representar a soma de dois algarismos romanos. Nas palavras dele, “não serve para nada, mas é muito interessante”. Primeiro, traçam-se duas colunas verticais com os números de I à X. Em seguida, traçasse uma coluna entre as duas primeiras começando em II, mas incrementando com um número inteiro a metade da distância que separa dois números inteiros nas colunas externas. Essa coluna vai de II à XX.

A soma de um número da primeira coluna com um número da última coluna será o ponto da coluna central em que uma reta traçada entre esses dois pontos intercepta a coluna central. Veja alguns exemplos.

Somar IV e VIII

Somar IX e III

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