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Por Que o Céu é Azul?

A luz é composta de partículas (fótons) e se comporta como uma onda. A junção de uma série de ondas de diferentes comprimentos (distância entre as cristas ou vales) e frequências (quantidade de ondas por unidade de tempo – para onda, 1 Hertz, ou seja, uma onda por segundo) é o que chamamos luz e quanto maior o comprimento da onda menor será a sua frequência e por conseguinte a quantidade de radiação transportada por ela. Aqui cabe uma observação: onda não transporta matéria, mas apenas energia. A maior parte da energia que recebemos por meio da luz vem de nossa estrela mais próxima, o Sol, mas há ondas que vêm de estrelas moribundas em galáxias longínquas. Essa energia carrega informação que nos permite saber por exemplo a temperatura e a composição química dessas galáxias.

A luz que vem do Sol é branca porque é a união de todas as cores variando do violeta ao vermelho e cada uma é uma onda que possui sua própria frequência e comprimento. Lembre-se dessa informação, pois essa característica da luz vai ser importante para explicar o que ocorre na nossa atmosfera quando ela chega.

Figura 1Espectro visível da luz

Se a luz vem de fora da Terra e os objetos ao nosso redor não emitem luz própria, por que os enxergamos? Todas as coisas absorvem algumas frequências de onda e refletem outras. Uma folha precisa de várias das ondas que compõe a luz para realizar fotossíntese, mas ela não precisa da onda verde. O que entendemos como cor é a onda refletida pelo objeto. O campo gravitacional dos buracos negros é tão intenso que absorve a luz. É por isso que não conseguimos observá-lo diretamente. Preto é a ausência de cor que resulta da absorção de todas as ondas do espectro luminoso.

Figura 2Fotossíntese

Até agora sabemos de onde a luz vem, do que ela é composta, como se comporta e por que a enxergamos. Nesse momento, dá até para deduzir o porquê da cor do céu ser azul, pois estamos imersos em “algo” ainda que esse “algo” seja invisível para nós, mas vamos continuar a explicação observando o que acontece quando uma luz vinda do espaço chega à nossa atmosfera. Nossa atmosfera é composta por diversos gases. Dentre esses gases, destacam-se o oxigênio (O2, 21%) e o nitrogênio (N2, 78%). Essas moléculas oferecem obstáculo à passagem da luz formando uma barreira que causa o espalhamento da luz em diferentes direções em um fenômeno chamado de Espalhamento de Rayleigh.

Havíamos comentado que as ondas que compõem a luz têm diferentes frequências e comprimentos. A luz vermelha tem maior comprimento – e a maior frequência – e por isso não sofre grande variação em sua trajetória uma vez que é mais difícil que ela “bata” em alguma partícula de nossa atmosfera. A luz azul tem pequeno comprimento – e uma frequência alta – muito próximo das moléculas de oxigênio e nitrogênio – ela entra em ressonância com esses átomos e movimenta com facilidade os elétrons das camadas atômicas. Devido a essa afinidade, o azul será mais refletido (espalhado) que as demais cores. O que vemos quando olhamos para o céu é o resultado do atraso, vamos dizer assim, da passagem daquelas ondas que tendem para o azul. O mesmo acontece quando observamos a Terra do espaço – por isso temos a impressão de que a Terra é azul. Tudo bem, mas por que no alto do Everest, à 8.848 metros do solo, o céu é mais escuro? Como expliquei em outro artigo, naquela altitude há menos partículas no ar, o que implica em menos obstáculos e menos espalhamento da luz azul: a luz do espaço chega quase que diretamente aos nossos olhos.

Até aqui tudo bem, mas porque vemos o Sol como um disco amarelo alaranjado se a atmosfera, onde a luz azul está se espalhando, está entre ele e nós? Como a onda mais próxima do vermelho chega até nós sem muito esforço devido ao seu maior comprimento, recebemos mais ondas desse tipo quando olhamos para sua fonte, o Sol.

A pergunta que se segue é “por que o céu é vermelho ao entardecer?”. A explicação segue o mesmo caminho do motivo pelo qual o céu é azul durante o dia. Ao entardecer, o ângulo do Sol em relação à Terra é oblíquo. Sendo assim, os raios solares atravessarão uma quantidade maior de partículas na atmosfera. A luz azul será espalhada quase que integralmente ao longo da atmosfera e a luz vermelha será menos espalhada. Parte dela chegará diretamente aos nossos olhos e outra parte será refletida pelas partículas de poeira que têm comprimento próximo ao dela.

Temos tratado das cores azul e vermelho, mas por que o arco-íris é colorido, ou melhor, tem todas as cores do espectro visível? Quando há gotículas de água na atmosfera, a água atua como uma prisma e separa a luz branca em seus diversos elementos: vermelho, laranja, amarelo, verde, azul, anil (ou índigo) e violeta.

Olhando para o céu, surge uma última pergunta: por que as nuvens são brancas? Nas nuvens existem gotículas de tamanhos muito maiores que o comprimento das ondas da luz. Sendo assim, haverá uma espécie de espalhamento generalizado e as cores espalhadas serão dispersadas em todas as direções e em seguida reintegradas como a cor branca.

Referências

1. [http://escolakids.uol.com.br/por-que-o-ceu-e-azul.htm]
2. [Por que o céu é azul? Dúvida Cruel #1. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=bTJBpSWNiiM. Acessado em: 23-09-2017]

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Categorias:Geral

Como Realizar a Operação de Soma com Algarismos Romanos

Em uma cena do filme Indiana Jones e a Última Cruzada, o prof. Henry “Indiana” Jones Jr., em sua aula de História Antiga, explicou para os alunos que o X nunca marcava o local onde estava enterrado ou escondido o que quer que fosse. Ao longo da aventura, descobriu-se que a entrada para o túmulo de sir Richard, um cavaleiro das Cruzadas, ficava em uma igreja medieval adornada com artefatos do oriente médio roubados pelos cruzados que foi convertida em Biblioteca na cidade de Veneza, Itália. O professor tinha a posse de um papel onde se liam I, III, VII e X – respectivamente, 1, 3, 7 e 10 em algarismos romanos. Esses números apareciam no vitral e em colunas no interior da biblioteca, exceto o X, que estava no chão e marcava a entrada do túmulo. A evidência contradizia a crença do professor para dar um tom de comédia à história, mas o importante aqui é a importância que os algarismos romanos tiveram na cultura ocidental e a limitação que impuseram à matemática.

Figura 1 – O X quase nunca marca o local

Os algarismos romanos são compostos por sete letras maiúsculas (I, V, X, L, C, D e M) e foram amplamente utilizados pelo Império Romano para o registro de valores. Embora essas letras fossem suficientes para representar as centúrias (unidades de infantaria do exército romano), elas limitavam a evolução da matemática, pois não permitiam a realização das operações matemáticas e nem eram adequados para representar números fracionários. Foi por isso que esse sistema foi substituído pelos algarismos hindu-arábicos.

As ditas operações matemáticas eram meramente ilustrativas. Esse sistema que utiliza os algarismos romanos para indicar operações foi criado após a queda do império Romano do Ocidente. Para indicar uma subtração, um número menor era colocado à esquerda de um número maior enquanto para representar a adição, o número menor era posto á direita do número maior. Ex.: IV representa 4 (5-1) e VI representa 6 (5+1). Além disso, não se pode repetir o mesmo número mais de três vezes tanto á esquerda quanto á direita. Ex.: o nove é escrito como IX e não VIIII.

O prof. Ricieri nos mostrou uma técnica visual para representar a soma de dois algarismos romanos. Nas palavras dele, “não serve para nada, mas é muito interessante”. Primeiro, traçam-se duas colunas verticais com os números de I à X. Em seguida, traçasse uma coluna entre as duas primeiras começando em II, mas incrementando com um número inteiro a metade da distância que separa dois números inteiros nas colunas externas. Essa coluna vai de II à XX.

A soma de um número da primeira coluna com um número da última coluna será o ponto da coluna central em que uma reta traçada entre esses dois pontos intercepta a coluna central. Veja alguns exemplos.

Somar IV e VIII

Somar IX e III

Categorias:Matemática

Uma Teoria Bovina Sobre Governos

O Instituto Mises publicou um artigo que explica o funcionamento de vários sistemas de governo utilizando duas vacas. Nos comentários, o pessoal compartilhou outros exemplos.

Socialismo

Você tem duas vacas. O governo confisca uma e dá para seu vizinho.

Comunismo

Você tem duas vacas. O governo confisca as duas e promete dar a você um pouco de leite. Mas você morre de fome.

Fascismo

Você tem duas vacas. O governo confisca as duas e vende o leite para você.

Burocracia

Você tem duas vacas. O governo confisca as duas, mata uma, ordenha a outra até ela morrer, paga a você pelo leite, e então o joga pelo ralo.

Capitalismo sem capital

Você tem duas vacas. Vende uma, força a outra a produzir leite equivalente ao de quatro vacas, e então fica surpreso quando ela cai morta.

Capitalismo avançado

Você tem duas vacas. Vende uma, compra um touro, e se torna proprietário de um rebanho.

Estado de bem-estar social

Você tem duas vacas. O governo lhe tributa pesadamente até o ponto em que você tem de vender as duas para sustentar outra pessoa que já ganhou uma vaca grátis do governo.

Democracia representativa

Você tem duas vacas. Seus vizinhos marcam uma eleição para escolher quem irá dizer como o seu leite será repartido.

Social-Democracia brasileira

Você tem duas vacas. Elas nada produzem, pois estão estudando para concurso.

Sindicalismo

Você tem duas vacas. Você paga uma ao vaqueiro pelo salário combinado e a outra para o mesmo na ação que ele move contra você na justiça do trabalho.

Petismo

Você tem duas vacas. As duas são roubadas por companheiros seus. Mas você não sabe de absolutamente nada.

Contribuições dos Comentários

Keynesianismo

Você tem duas vacas e o governo imprime a terceira. As vacas se desvalorizam e há uma crise econômica.

Governos populistas latino-americanos

Você tem duas vacas. O governo toma uma e manda pra Suíça. Confisca a outra e distribui entre empresários amigos.

Socialismo Brazuca

Você tem duas vacas, o governo lhe toma uma e dá para um fazendeiro que já tem um milhão de cabeças.

Mercantilismo petista

Você tem duas vacas. O governo confisca as duas e repassa pra Friboi.

Corporativismo Social Brasileiro

Você tem duas vacas. O governo confisca uma e repassa para fazendeiros amiguinhos. A outra é forçada produzir por 4 vacas para sustentar a burocracia e acaba morrendo.

Castrismo

Você tinha duas vacas. Elas fugiram pra Miami.

Socialismo Venezuelano

Não há vacas ou leite. O governo divulga dados comemorando o fim da obesidade no país

Protecionismo

Você deseja ter duas vacas holandesas. O governo tributa a importação do animal em 60% e você é obrigado a se contentar com uma mula de origem nacional.

Categorias:Atitude

A Matemática é Eterna

O TED é uma organização sem fins lucrativos e aparentemente sem filiação partidária ou bandeira ideológica. Eles se dedicam à divulgação do conhecimento na forma de palestras feitas por pessoas influentes em suas áreas, como o prof. Eduardo Sáenz de Cabezón, PhD em Matemática e também professor de Matemática Discreta e Álgebra pela Universidad de La Rioja, na Espanha.

Figura 1 – Prof. Eduardo Sáenz de Cabezón

O prof. Cabezón iniciou sua palestra com aquela pergunta clássica feita pelas pessoas ligadas às “ciências humanas” ou em geral pelos leigos em ciências exatas: “para que serve a matemática?”. Eu, particularmente, responderia que sem a matemática você ainda estaria caçando animais e coletando frutas no meio da floresta. Fiz essa reflexão depois de ler alguns capítulos do até agora ótimo livro Sapiens, de Yuval Noah Harari, mas vamos seguir com a linha de raciocínio do professor.

A pessoa que pergunta a utilidade da matemática na verdade está perguntando porque é que ela teve que estudar isso todos esses anos se pretendia seguir uma carreira que não tinha nada a ver com as exatas. Para responder à essa pergunta, os matemáticos se posicionam no ataque ou na defesa. Os atacantes basicamente utilizam Dialética Erística para te convencer de que a matemática tem um fim em si própria e não precisa necessariamente servir a um propósito. Os que ficam na defensiva vão dizer que a matemática está na natureza e em todos os aspectos da vida – prédios, computadores, pontes, etc. Para o prof. Cabezón, ambos estão certos, mas ele também apresentou uma terceira vertente, na qual ele mesmo se inclui.

Figura 2 – Professor sincero

A matemática controla a intuição e comanda a criatividade. A intuição nos engana e já tratei desse assunto várias vezes aqui no blog, como por exemplo no problema da geodésica da aranha. O professor utilizou aquele exemplo conhecido da pilha de papel que chega à Lua: se você dobrar uma folha de 0,01mm de espessura 50 vezes, a soma das espessuras cobrirá a distância daqui até à Lua. Em outro vídeo, o mesmo professor disse que se dobrássemos aquela folha de papel 54 vezes, a pilha teria tamanho suficiente para cobrir a distância da Terra ao Sol. Duvida? Cada vez que uma folha é dobrada, ela fica 2 vezes mais “alta”. Dobrando 54 vezes, a pilha terá altura de 254x0,01mm. Convertendo tudo para base 10, 2×1016x10-2mm, ou seja 2×1014mm. Convertendo para quilômetros, resulta 2×108km, ou seja, 200.000.000 km, o que supera a distância da Terra ao Sol, que vale por volta de 149.600.000 km. Dobrando o papel 103 vezes, a altura superará o universo observável. Tudo isso contradiz a intuição, mas o resultado é provado pela matemática. A matemática é o suporte de todas as ciências e tudo o que faz a ciência ser ciência é o rigor matemático que apresenta resultados eternos.

Figura 3Mapa da Matemática

Caminhando para a conclusão, o professor utilizou a comparação entre um diamante e um teorema para explicar como nossa noção de eterno é relativa. Um diamante é eterno enquanto esse mundo durar, mas se o mundo for destruído, o diamante, que é parte dele, também será destruído. Um teorema, como o de Pitágoras, nasce de uma hipótese, mas se torna uma verdade eterna provada e demonstrada matematicamente que poderá sobreviver por milênios enquanto não aparecer uma teoria que a refute. O prof. de Matemática Rogério Martins, em outra palestra no TED, também concorda com essa ideia de matemática como algo eterno e acrescenta que é por isso que ela não é atingida pelo tempo. E o prof. Cabezón terminou com a seguinte reflexão:

Então, se você quiser dizer para alguém que o amará por toda a vida, dê-lhe um diamante. Mas se você quiser dizer que o amará para todo o sempre, dê-lhe um teorema, mas você terá que provar que o seu amor não é apenas uma conjectura.

Desafio das Idades

O blog O Desafio: Aprender compartilhou um pequeno problema algébrico:

Imagine duas pessoas, um pai, de 30 anos, e um filho. E o filho, bastante curioso, pergunta: ‘Pai, se hoje eu tenho um quinto da sua idade, quantos anos eu terei quando eu tiver a metade da sua idade?’

Primeiro, precisamos descobrir quantos anos o filho (F) tem hoje. Sabemos que ele tem 1/5 da idade do pai (P):

F=P/5
F=30/5
F=6

Criança esperta, não? Em seguida, o filho pergunta para o pai quantos anos ele terá quando sua idade for a metade da idade do pai:

F = P/2

Hoje, a metade da idade do pai é 15. Por indução, sabemos que um dia a idade do filho será exatamente igual a idade do pai, pois a metade da idade do pai é regida por uma PA (Progressão Aritmética) de constante 0,5 e a idade do filho é uma PA de constante 1:

A) Relação entre a idade do pai e a metade da idade do pai com o passar dos anos:

[30, 15.0], [31, 15.5], [32, 16.0], [33, 16.5], [34, 17.0], …, [48, 24]

B) Evolução da idade do filho com o passar dos anos:

[6, 7, 8, 9, 10, …, 24]

Por indução, já descobrimos que o filho terá 24 anos quando atingir a metade da idade do pai, mas isso não é matemática. Vamos descobrir a lei, válida para esse cenário, que correlaciona a idade do pai e a do filho com o passar dos anos. Como tanto a idade do filho quanto a do pai são incrementadas de uma unidade ao ano, depois de um tempo (T), o filho atingirá metade da idade do pai:

(F + T) = (P + T)/2

Basta resolver essa equação:

(6 + T) = (30 + T)/2
2*(6 + T) = 2*(30 + T)/2
12 + 2T = 30 + T
T = 18

Cuidado. 18 é o tempo que demorará para que a idade do filho coincida com a metade da idade do pai. A idade do filho daqui T anos é dada por (6 + T):

F = 6 + T
F = 6 + 18
F = 24
Categorias:Matemática

As Cores dos Olhos das Escravas

No capítulo XXXIII de O Homem que Calculava [1], o califa desafiou Beremiz Samir, o Homem que Calculava, a encontrar a solução para um curioso problema, que é mais complexo que o Problema das Três Caixas. O califa tinha 5 escravas: 2 tinham olhos negros e 3 tinham olhos azuis. As escravas que tinham olhos negros sempre diziam a verdade, mas as escravas que tinham olhos azuis nunca diziam a verdade e todas tinham os rostos cobertos por véu. Fazendo apenas 3 perguntas, uma para cada uma das 3 garotas escolhidas pelo próprio calculista, deveria-se descobrir, com apenas 3 respostas, as cores dos olhos das 5 escravas.

Figura 1 – As 5 escravas: 2 têm olhos negros e 3 têm olhos azuis

As garotas foram posicionadas lado a lado e o calculista fez a primeira pergunta para garota que estava na extrema esquerda dele: “de que cor são os teus olhos?” A resposta foi dada em chinês, língua inacessível para o calculista. Algumas escravas não eram de origem Árabe. Atendendo ao protesto contido do calculista, todas as respostas seguintes deveriam ser dadas em árabe. Porém, só lhe restavam duas perguntas. Como ele conseguiria descobrir as cores dos olhos de todas as escravas com apenas duas perguntas e duas respostas? A primeira resposta teve algum proveito?

Sem esboçar desânimo, o calculista interpelou a segunda garota na ordem em que estavam postas nesses termos: “qual foi a resposta que a sua companheira acabou de proferir?” A garota respondeu com clareza: “as palavras dela foram “os meus olhos são azuis”. Essa resposta aparentemente ainda não esclarecia o que quer que fosse. O quê Beremiz pretendia com essas perguntas tão vagas? Fique atento à capacidade de uma mente puramente lógica. Sigamos para a terceira pergunta.

A terceira pergunta foi feita para a escrava que estava no centro: “de que cor são os olhos dessas duas jovens à dua direita que acabo de interrogar?” A resposta foi: “a primeira tem os olhos negros e a segunda tem os olhos azuis!”. Após alguns minutos de reflexão, Beremiz respondeu:

“- A primeira escrava (à direita) tem olhos negros; a segunda tem os olhos azuis; a terceira tem os olhos negros e as duas últimas têm olhos azuis!”

Após erguerem-se os véus, verificou-se, para espanto de todos os presentes, que as escravas tinham os olhos das cores informadas e na ordem indicada pelo calculista. Mas como ele fez tanto com tão pouco? Ele fez três perguntas, mas apenas as duas últimas respostas foram inteligíveis – a primeira resposta veio em chinês. A explicação foi dada na sequência do livro, mas vou resumir a abordagem do personagem.

Para a primeira pergunta só havia uma resposta – “os meus olhos são negros” -, pois independente da índole da escrava, sendo sincera ou mentirosa, ela responderia a mesma coisa. Sendo assim, não importaria se a primeira escrava respondesse em chinês ou mesmo se fosse muda. O protesto do calculista foi um simples blefe para fazer parecer que o problema tornara-se mais complexo. Como a primeira resposta era fixa, “meus olhos são negros”, a segunda resposta, “os olhos dela são azuis”, era certamente uma mentira. Nesse momento, o calculista já sabia que a primeira escrava tinha olhos negros (sincera) e a segunda tinha olhos azuis (mentirosa). A terceira resposta, “a primeira tem os olhos negros e a segunda tem os olhos azuis!”, provou que a terceira escrava falara a verdade, ou seja, tinha olhos negros. Por indução, as duas últimas escravas tinham olhos azuis:

| negros | azuis | negros | azuis | azuis |

Crítica

Perceba que o calculista teve sorte ao encontrar a segunda escrava com olhos negros depois de ouvir a terceira resposta. Se a terceira escrava tivesse mentido (olhos azuis), como ele saberia qual das duas últimas escravas tinha olhos azuis e qual tinha olhos negros? Não saberia. Nesse cenário, ele precisaria fazer uma quarta pergunta para ter certeza ou utilizar algum outro artifício que me espaca:

| negros | azuis | azuis | ? | ? |

Há outras combinações fortuitas que dariam a vitória ao calculista, como três mentirosas seguidas ou duas sinceras seguidas, mas o fato é que ele teve sorte ao escolher as três escravas que deveriam responder suas perguntas. Beremiz deveria ter feito a terceira pergunta para a última escrava da esquerda: “quais as cores todos olhos das quatro moças à sua direita?”. Se fosse mentirosa, ele saberia qual era a cor dos olhos dela (azuis) e onde estava a segunda escrava de olhos negros (terceira posição), pois ela responderia assim:

| azuis | negros | azuis | negros | ? |

Referências

1. TAHAN, Malba, O Homem que Calculava, 63ª ed., Rio de Janeiro: Record, 2003
2. [http://josenorberto.com.br/o_homem_que_calculava.pdf]

O Problema da Galeria de Arte

Figura 1 – Visibilidade de uma câmera em uma galeria de arte [1]

A Geometria Computacional [2] é um ramo da Matemática que busca soluções computacionais para problemas geométricos. Galeria de Arte é um problema derivado da Geometria Computacional proposto originalmente por Victor Klee em 1973 [1] que oferece uma resposta matemática para a pergunta: qual é a quantidade mínima de câmeras de vigilância necessárias para monitorar inteiramente uma Galeria de Arte? Essa é a forma mais comum de formular esse problema, mas ele se aplica a qualquer cenário em que exista um ambiente delimitado por paredes e que precisa ser monitorado – seja por câmeras de segurança, vigias armados com posição fixa, unidades ED-209, etc – de forma que não sobrem quaisquer partes do ambiente sem monitoramento.

Figura 2 – Onde as câmeras devem ser posicionadas?

Para tornar as coisas um pouco mais simples, vamos trabalhar em duas dimensões (2D) assumindo que a planta baixa da galeria de arte é um polígono simples: uma forma geométrica delimitada por seguimentos de linhas retas que não cruzam umas as outras – não tem paredes internas – e que não contém “buracos” (polígonos dentro de um polígono maior ou o possível resultado da intersecção interna de pelo menos três linhas). Sendo uma câmera um ponto, um conjunto de câmeras cobre o polígono se todo ponto do polígono é monitorado por alguma câmera [1]. Se fossem vigilantes e não câmeras, assumiríamos que eles ficam fixos nos vértices (ponto de encontro de dois segmentos laterais).

Isso normalmente é válido nas galerias de arte, pois as obras de arte ficam nas paredes (arestas ou seguimentos de reta do polígono) e teoricamente uma câmera deveria filmar a máxima extensão de uma parede e a máxima quantidade de paredes possível, o que só se consegue posicionando as câmeras nos vértices. As obras raras não se enquadram nessa regra, pois devido ao seus valores às vezes inestimáveis, como no caso da Mona Lisa, é necessária vigilância exclusiva independente de quanto isso custe.

Figura 3 – Mona Lisa – obra insubstituível

Matematicamente, dado um conjunto de câmeras C, uma câmera cn vigia um polígono P se existe um segmento de reta que liga a câmera ao ponto p e tanto o segmento de reta quanto o ponto p são internos ao polígono:

C{c1, c2, c3, …, cn} → p ∀ p ∈ C | cp ∈ P

Como a planta baixa da galeria é um polígono, o problema consiste em colocar pontos nesse polígono e à partir deles traçar linhas para as paredes opostas sem sair do polígono, que pode ser convexo (aquele em que dois pontos quaisquer, quando unidos, nunca passam pelo lado de fora do polígono) ou não convexo. Um polígono convexo precisa apenas de uma câmera, pois sua simetria permite que de um dos vértices se possa enxergar todos os outros vértices:

Figura 4 – Octógono – um polígono convexo regular (todos os lados e ângulos têm a mesma medida) de oito lados

Para que o problema se apresente de forma mais genérica, vamos trabalhar com polígonos não convexos, como o da figura abaixo, pois são mais comuns de encontrar do que os convexos:

Figura 5 – Um polígono não convexo

O Teorema de Chvátal diz que para todo polígono de n vértices, n/3 câmeras são sempre suficientes e ocasionalmente necessárias. Para o Pente de Chvátal, n/3 câmeras são necessárias. Como o pente abaixo tem 15 vértices, 5 câmeras são necessárias para monitorar sua área interna:

Figura 6 – Pente de Chvátal com 15 vértices

Além do Teorema de Chvátal, os teoremas abaixo serão utilizados no exemplo que apresentaremos a seguir:

  • Todo polígono possui pelo menos um vértice estritamente convexo.
  • Teorema de Jordan: toda curva plana fechada simples divide o plano em duas regiões: o interior e o exterior da curva.
  • Teorema de Meister: Todo polígono com n ≥ 4 vértices possui uma diagonal.
  • Teorema da Triangularização: Todo polígono n vértices pode ser particionado em triângulos pela adição de (zero ou mais) diagonais.
  • Toda triangularização de um polígono P de n vértices usa n − 3 diagonais e consiste de n − 2 triângulos.

Demonstração

Para fazer uma demonstração, vou utilizar o exemplo do canal Derivando e a didática do prof. Eduardo Sáenz de Cabezón, PhD em Matemática e também professor de Matemática Discreta e Álgebra pela Universidad de La Rioja, na Espanha.

O exemplo do prof. Eduardo faz triangularização por adição de diagonais para dividir o polígono internamente em n triângulos – essa é a Prova de Suficiência de Fisk. O problema seria um pouco mais complexo se o prof. tentasse remover as “orelhas” com triangularização por remoção de orelhas [1], o que é possível pelo teorema de Meister, mas vamos ficar no caso mais simples – adição de diagonais -, que vale para qualquer polígono com mais de 3 lados, pois o triângulo (3 lados) é o único polígono que não possui diagonais (N<4) e uma câmera colocada em qualquer um dos vértices pode monitorar todo o perímetro interno, uma vez que ele respeita a regra das n/3 câmeras – como ele tem 3 lados, uma câmera é suficiente e no caso necessária.

Nossa demonstração partirá de um polígono não convexo com 10 lados e 10 vértices:

Vamos triangular esse polígono, pois sabemos que todo polígono com mais de três lados pode ser triangulado pela adição de diagonais. Necessariamente, encontraremos 8 triângulos, pois para triangular um polígono de 10 lados, precisamos de (10-2) triângulos:

Agora, vamos construir um grafo dual colocando um vértice em cada face de cada triângulo e unindo todos esses vértices. Esse grafo serve apenas para verificar se os triângulos inscritos no polígono podem ser 3-colorados. Só haverá 3-coloração se o grafo for do tipo árvore e não cíclico:

Por último, vamos aplicar a 3-coloração aos triângulos inscritos. O processo consiste em escolher três cores diferentes e pintar cada vértice com uma cor sem que dois vértices adjacentes tenham a mesma cor:

Enfim, onde serão instaladas as câmeras? Vamos fazer algumas considerações. O Teorema de Chvátal afirma que (n/3) câmeras são suficientes e ocasionalmente necessárias para cobrir a área interna do polígono. No nosso caso, 3 câmeras (10/3) são suficientes, mas ainda não sabemos se as 3 são necessárias.

As câmeras serão posicionadas em todos os vértices de mesma cor. Podemos instalar 4 câmeras nos vértices vermelhos, 4 câmeras nos vértices azuis ou apenas 2 câmeras nos vértices verdes. 2 é o mínimo de câmeras que precisamos para monitorar toda a área interna do polígono. Sendo assim, precisamos de apenas 2 câmeras e essas serão instaladas nos vértices verdes:

Essa é uma prova de que sempre podemos economizar recursos utilizando matemática. Dificilmente conseguiríamos um resultado melhor no chute, como provei em outro artigo.

Referências

1. [https://www.ime.usp.br/~cpq/main/arquivos/teoremadagaleriadearteetriangularizacaodepoligonos.pdf]
2. [http://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ftp_pub/lfm/CIV2802-GeometriaComputacional.pdf]
3. [https://brilliant.org/wiki/guarding-a-museum/]
4. [https://plus.maths.org/content/art-gallery-problem]
5. [https://www.youtube.com/watch?v=nEFYpwofbbk]
6. [http://sweet.ua.pt/leslie/GeoCom/Slides/GC_0708_6_Galeria_Arte.pdf]
7. [http://www.ic.unicamp.br/~rezende/ensino/mo619/ArtGallery-PJR-Handout.pdf]
8. [http://www.inf.ufrgs.br/~comba/cmp189-files/class03.pdf]
9. [https://www.inf.ufrgs.br/~prestes/Courses/Graph%20Theory/GrafosA10.pdf]
10. [https://www.ime.usp.br/~cris/aulas/09_2_331/slides/aula3.pdf]