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O Crescimento de Uma População de Bactérias

Se um grupo de bactérias dobra a cada minuto e em 40 minutos preenche todo um recipiente, quanto tempo é preciso para preencher metade desse recipiente?

Já vi problemas muito similares, mas diferente do Chaves, que só “sabia resolver essa com maças”, dá para resolver de forma genérica, pois trata-se de uma PG (Progressão Geométrica), que tem a forma geral:

an = a1 x qn-1

Como sei que o crescimento da população de bactérias é regido por uma PG? Pela própria natureza do problema que relaciona tempo (T) e crescimento da população de bactérias (B):

T0 = 1B
T1 = 1B = 1B x 21-1 = 2 x T0
T2 = 1B x 2 = 1B x 22-1 = 2 x T1
T3 = 1B x 2 x 2 = 1B x 23-1 = 2 x T2
T4 = 1B x 2 x 2 x 2 = 1B x 24-1 = 2 x T3

(…)

T40 = 1B x 240-1 = 2 x T39

Nessa PG, o elemento posterior é sempre o dobro do anterior. A PG permite acesso à qualquer um dos seus membros desde que tenhamos algumas informações, pois a estrutura é fixa. Conhecemos o primeiro membro (1) e a razão (2). Vamos descobrir, em primeiro lugar, a quantidade de bactérias existentes após 40 minutos, pois sabemos que nesse tempo o recipiente estará cheio:

T40 = 1 x 240-1
T40 = 240

Após 40 minutos, o recipiente conterá 239 bactéricas. Metade dessas bactérias ocuparão metade do recipiente:

239/21
239 – 1
238

Mas que elemento da PG resulta 238? 238 é o elemento imediatamente anterior ao último (T40):

T40 = 240-1
T39 = 240-1/21 = 240-1 x 2-1 = 240-1-1 = 238

Portanto, a metade do recipiente será preenchida em 39 minutos (T39) por um total de 238 bactérias.

Categorias:Matemática