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O Problema da Probabilidade de Tirar um Número em um Dado Não Viciado

Um dado clássico é um pequeno poliedro cúbico – seis faces – gravado com números de 1 a 6. Em um dado do tipo padrão, a frequência com a qual qualquer um dos seis números – ou seis faces – se apresenta após uma jogada é a mesma: 1/6, ou 0,1666666666666667. Um dado viciado é aquele cuja probabilidade de se tirar um determinado número é maior que 1/6 e são vários os métodos disponíveis para viciá-lo, como aquecer e perfurar.

Figura 1 – Dado padrão: um poliedro cúbico

Vamos considerar um dado padrão. O canal MindYourDecisions fez a seguinte pergunta:

Se o dado for modificado para que o número 6 apareça com a metade da frequência dos outros números, qual é a nova probabilidade de tirar um número 6?

O número escolhido não importa, pois sabemos que todos têm a mesma probabilidade: 1/6. Você, assim como eu em princípio, pode estar pensando que basta dividir a probabilidade de tirar um número por 2:

P(6) = (1/2)(1/6) = 1/12

Sabemos que o somatório das probabilidades de se tirar todos os números em um conjunto tem que ser 1 (100%), pois:

P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1

O problema é que se dividirmos uma dessas probabilidade por 2, o somatório será menor que 1:

(1/2)*(1/6) + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 11/12

Método de Resolução 1

Esse método usa simples mereologia. A ideia é “inteirar” a fração 11/12 multiplicando os dois lados da igualdade por 12/11, o que mantém a equação balanceada:

(12/11)(1/12 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6) = (12/11)(11/12)
(12/11)(1/12) + (12/11)(1/6) + (12/11)(1/6) + (12/11)(1/6) + (12/11)(1/6) + (12/11)(1/6) = (12/11)(11/12)
1/11 + 2/11 + 2/11 + 2/11 + 2/11 + 2/11 = 1

P(6) = (1/2)(1/6)(12/11) = 1/11

Método de Resolução 2

Esse método assume que se P(6) é p, a probabilidade de qualquer outro número será 2p:

P(6) = p
P({1,2,3,4,5}) = 2p

Somando-se os valores, o resultado “aparece”:

p + 2p + 2p + 2p + 2p + 2p = 1
11p = 1
p = 1/11

P(6) = p = 1/11

Método de Resolução 3

Esse método é bem parecido com o anterior. Consiste em fazer uma análise comparativa das frequências com as quais cada face se apresentará: para P(6) será 1:

P(6) = 1
P({1,2,3,4,5}) = 2

O que permite a seguinte comparação:

2:2:2:2:2:1

Em seguida, somamos as frequências de cada número para encontrar o total de vezes em que serem tirados:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 11

Por último, basta multiplicar cada frequência por 1/11 para encontrar a probabilidade de cada número:

2(1/11) + 2(1/11) + 2(1/11) + 2(1/11) + 2(1/11) + 1(1/11) = 11(1/11)
2/11 + 2/11 + 2/11 + 2/11 + 2/11 + 1/11 = 1

P(6) = 1/11

Multiplicar por 1/11 não é o mesmo que dividir por 11? Faz alguma diferença? Se você estiver fazendo álgebra, não faz diferença, mas se você está fazendo semiótica para decodificar a natureza em busca de símbolos, faz toda a diferença, pois uma marca de qualidade deve evidenciar (dêixis ad oculos) a que se propõe, como expliquei aqui.

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