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Aplicação de Derivada Parcial Com Vínculo

O formalismo de Lagrange permite que utilizemos as derivadas parciais e a ideia de solução ótima com restrição – ou a melhor solução possível dadas as restrições (vínculos) – para abordar até problemas simples que poderiam ser resolvidos por trivial derivação. Os vínculos deslocam a solução ótima em alguma direção:

Figura 1 – Solução ótima e solução vinculada

Problema

Propus um problema de otimização da área útil de uma horta em que utilizei simples derivada. Nesse artigo, vou utilizar o método de Lagrange para resolver o mesmo problema:

Queremos construir uma horta retangular de pequeno porte que disponibilize a maior área útil possível. Para isso, dispomos de apenas uma tábua de 20 metros de comprimento que deve ser cortada para delimitar a horta.

Figura 2 – Visualização da área hipotética

Funções do Problema

A = x.y

2x + 2y = 20
x + y = 10

x + y = 10 é o vínculo Φ que deve ser maximizado ou minimizado. Sendo assim, essa função deve ser explicitamente igualada à zero – a deixis am phantasma deve dar lugar a deixis ad oculos:

x + y = 10
x + y – 10 = 0
Φ = x + y – 10

Grande Função

G = x.y + λΦ
G = x.y + λ[x + y – 10]

Condições de Otimização

∂G/∂x = 1.y + λ[1 + 0 – 0] = 0 (A)
∂G/∂y = x.1 + λ[0 + 1 – 0] = 0 (B)
∂G/∂λ = 0 + 1.[x + y -10] = 0 (C)

Solução Otimizada

X* = 5

Y* = 5

λ = -5

Cálculo da Área Ótima

Vamos utilizar os valores obtidos para calcular a área ótima:

A = x.y
A = 5.5
A = 25m2

Conclusão

Como x é igual à y, concluimos, pelo método de Lagrange, que a solução ótima do problema é uma horta quadrada de lado 5.

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