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Utilizando o Lagrangeano para Provar Matematicamente que um Objeto Livre no Espaço Cairá

Você poderia dizer que é óbvio que se uma caneta for solta ela vai cair, ou melhor, vai cair até que encontre um obstáculo que a impeça de chegar ao centro da Terra. Sendo ainda mais preciso (e chato), a caneta não “cai”, mas sim “viaja” no espaço-tempo curvado pela massa da Terra segundo a Teoria da Relatividade de Einstein. Para Einstein, a gravidade é uma força que empurra e não uma força diferente de todas as outras e que “puxa” como Newton a entendia – ou não entendia. Como complemento, para uma simples medição feita por uma balança, a força que empurra é a normal, que é cancelada pelo peso.

Você sabe que a caneta vai cair porque já viu muitas canetas e objetos similares se comportando da mesma forma quando soltos a uma determinada altura. A caneta que cai é a caneta ideal tal como definido no mundo das idéias de Platão. O que de fato determina se um corpo vai cair – independente de gostarmos mais de Newton ou de Einstein – é o que convencionamos como aceleração da gravidade (g).

A atração gravitacional e a quantidade de massa de um objeto é o que determina a intensidade da força peso. A gravidade não é idêntica em todos os pontos da Terra embora na escola convenciona-se que ela vale 10m/s2, o que se lê como: “para se deslocar 10 metros, um corpo demorará o quadrado do tempo em segundos”. Na verdade, a gravidade depende da composição do solo (tipos de materiais, presença de aquedutos, distância para o centro da Terra, etc). Se você não está precisando lançar um foguete, um bom valor médio para a aceleração da gravidade é 9,7/s2.

Mecânica Clássica

De acordo com a Segunda Lei de Newton:

A mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida, e é produzida na direção de linha reta na qual aquela força é aplicada

Figura 1 – Isaac Newton

Ou seja:

F=m*a

Podemos utilizar a Segunda Lei de Newton conforme previsto pela mecânica clássica para estudar a aceleração da caneta. Como a força que está atuando em um corpo em queda livre é o peso (P=m*g), podemos afirmar que:

P=F
m*g = m*a

g = a

Conclusão

Sendo assim, de acordo com a mecânica clássica e conforme previsto pela Segunda Lei de Newton, o corpo cai porque sua aceleração é igual à aceleração da gravidade – o vetor aceleração está orientado para baixo.

Mecânica Analítica

Todo símbolo, toda notação, revela algumas coisas e esconde várias outras. Esse é o resultado do processo epistêmico. As setas (→) acima dos símbolos de aceleração e força foram introduzidas séculos depois de Newton para indicar que são grandezas vetoriais, ou seja, têm direção, orientação e intensidade. Isso aumentou a noésis da marca, mas não revelou o principal: ela trata das forças que atuam em um sistema, mas esconde as energias que se transformam nessas forças para dar movimento ao sistema – a força é derivada da energia. Podemos provar que a caneta cai estudando as energias que estão atuando no sistema por meio da lagrangeana.

A Mecânica Analítica de Lagrange é a mecânica de Newton escrita com a matemática de Leibnitz. O formalismo lagrangeano permite obter as equações de movimento de um sistema de um modo elegante de acordo com sua natureza geométrica – uma coordenada para cada dimensão. Contrariamente aos métodos baseados nas leis de Newton, este formalismo não exige a identificação das forças envolvidas, o que torna a análise mais abstrata. Dessa forma, é possível simplificar o tratamento de sistemas de maior complexidade, especialmente quando não é relevante ou não é diretamente possível a determinação das forças associadas às restrições ao movimento das suas partículas.

Figura 2 – Joseph Louis Lagrange

Para definir completamente a posição de um sistema com n graus de liberdade são necessárias n variáveis independentes. Essas variáveis são designadas coordenadas generalizadas (q) e a forma como são selecionadas (parametrizadas) permite a simplificação do tratamento matemático do problema.

Na formulação da mecânica lagrangeana, cada sistema mecânico é caracterizado por uma determinada função. No caso geral, esta função depende das coordenadas generalizadas (q), das suas derivadas temporais (q0) e também do tempo (t). Esta função designa-se lagrangeana do sistema, sendo representada habitualmente por ℒ(q,q0,t).

Isso posto, vamos analisar as energias que atuam no momento em que a caneta é liberada.

Coordenadas generalizadas

Nosso sistema só tem um grau de liberdade, pois a caneta só pode se deslocar na vertical. Vamos chamar essa coordenada vertical de x.

q = x
qo = xo

Energia cinética

A energia cinética, conforme notação adaptada por Gaspard-Gustave de Coriolis, é expressa assim:

T = 1/2 mV2

Você poderia substituir o T da equação por Ec. Agora, atenção para uma conexão importante entre a equação do espaço e fórmula da energia cinética. Vamos derivar a equação do espaço em função da velocidade (V).

S = S0 + Vt
So = V

A primeira derivada do espaço (So<) é a velocidade (V) e a velocidade influencia diretamente o valor da energia cinética. Como estamos trabalhando com a coordenada x (espaço) e sua primeira derivada, que é velocidade (V) como acabamos de deduzir, podemos afirmar que:

V = xo

Sendo assim, nossa equação da energia cinética será adaptada para trabalhar com a primeira derivada do espaço na coordenada x, o que será importante para substituição no lagrangeano:

T = 1/2 mxo2

Energia potencial

Daniel Bernoulli, em seu trabalho sobre hidrodinâmica, descobriu que a força é derivada da energia potencial em uma coordenada qualquer:

F = – [∂V/∂qo]

Modernamente, expressamos energia potencial como:

V = mgx

Por que a energia potencial é importante para nosso estudo? Porque um corpo que tem energia potencial é capaz de converter essa energia em energia cinética – cada energia atuante nos interessa. Como assumimos que nosso referencial está na parte superior do sistema, a equação fica negativa:

V = – mgx

Se você preferir, pode substituir o V por Ep, mas vamos respeitar os originais.

Lagrangeana

A langrangeana pode ser escrita na forma ℒ = T − U onde T é a soma das energias cinéticas das partículas do sistema e U é a sua energia potencial, onde se incluem os efeitos de todas as forças conservativas.

ℒ = T – V
ℒ = 1/2 mxo2 – (-mgx)

Lagrangeano

O lagrangeano, conforme a mecânica analítica de Lagrange, é expresso como:

d/dt[∂ℒ/∂qo] – ∂ℒ/∂q = 0

Como estamos trabalhando em função da coordenada espacial x:

d/dt[∂ℒ/∂xo] – ∂ℒ/∂x = 0
d/dt[mxo] – mg = 0
mxoo = mg

xoo = g

Conclusão

Como o sistema está sob a ação da gravidade “g”, a caneta “cai”.

Referências

1. [http://paginas.fe.up.pt/~mines/publicacoes_pedagogicas/apontamentos/IMC_Lagrange.pdf]

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