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Dedução das Fórmulas das Áreas de Figuras Planas Através da Integral

Você já se perguntou por que a área de um triângulo é dada por “base vezes altura dividido por dois”? Com as integrais, podemos deduzir as famosas fórmulas de cálculo de área das figuras planas. Vamos deduzir algumas fórmulas de área de figuras planas, mas primeiro precisamos tratar do “ioiô-mixoxô”, pois ele vai ser útil em nossas deduções. Esse famigerado nome é a decoreba que nos remete à famosa equação fundamental da reta:

y – y0 = m(x – x0)

Nessa equação, a distância entre dois pontos P0(x1,y1) e P(x,y) é dada por m, que é chamado de coeficiente angular da reta. O coeficiente angular da reta nada mais é que a tangente de um ângulo que engloba os dois pontos hipotéticos citados. Lembramos que uma tangente é uma reta que pode ser segmentada e medida:

eq_reta

Da figura acima, deduzimos que:

tg α = sen α / cos α

ou

tg α = cateto oposto / cateto adjascente

tg α = (y – y0) / (x – x0)

Em cada demonstração, integraremos uma função dada pela equação da reta em intervalos pré-definidos [a,b]:

integral_deducao1

Dedução da Área do Triângulo

area_triangulo

Aplicando as relações extraídas da equação da reta no gráfico acima, temos:

y – y0 = m(x – x0)
y – 0 = (H/B)(x – 0)
y = (H/B)x

Por fim, a integral da função encontrada nos dá a área sob a função em determinado intervalo:

integral_deducao2

Dedução da Área do Quadrado

area_quadrado

Aplicando as relações extraídas da equação da reta no gráfico acima, temos:

y – y0 = m(x – x0)
y – 0 = 0(x – 0)
y = a

Por fim, a integral da função encontrada nos dá a área sob a função em determinado intervalo:

integral_deducao3

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Categorias:Matemática
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