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O Retângulo Áureo e sua Mítica Relação com os Papéis da Série A

Você já se perguntou por quê uma folha de papel A4 tem exatamente 210 milímetros de altura e 297 milímetros de largura? Essa é uma daquelas coisas que raramente questionamos em nosso cotidiano. Questionar mantém o cérebro “afiado” e aumenta nosso conhecimento, assim como fazer exercícios físicos ajudam a manter o corpo equilibrado. Antes de entrarmos no assunto do papel, abramos um parêntese para “aquecer” nossos neurônios: você já pensou por que é frio nas montanhas e quente ao nível do mar supondo que estamos na mesma latitude?

Nossa intuição diz que no alto de uma montanha, e portanto mais próximo do Sol, deveria ser mais quente que ao nível do mar. Até pouco tempo atrás eu não sabia a resposta porque nunca questionei, mas de uns tempos para cá me tornei muito crítico sobre tudo que me cerca e resolvi pesquisar. Descobri que na verdade o Sol não nos aquece diretamente. A luz solar, mais precisamente a luz ultravioleta, um tipo de radiação eletromagnética, faz vibrar os átomos das moléculas que compõe o ar (oxigênio, nitrogênio e etc), os líquidos e os sólidos e estes emitem radiação infravermelha, uma luz “quente”. É por isso que há diferenças de temperatura na mesma latitude: ao nível do mar, sob pressão de uma atmosfera, há maior concentração de ar sendo aquecido pelo Sol enquanto nas altas montanhas o ar é rarefeito e, portanto, há menos partículas para serem aquecidas – a energia térmica é transferida entre partículas, o que explica porque no vácuo do espaço é frio. Quando incidem sobre a superfície da Terra, os raios solares são refletidos de volta para o espaço, mas parte é refletida novamente para a superfície pela atmosfera e pelas nuvens, o que complementa o processo de aquecimento. Caso exista concentração de CO2, vapor d’água, metano e etc, forma-se o efeito estufa.

Por que abri aquele parêntesis para divagar sobre aquecimento antes de entrar no assunto que nos interessa, o papel? Primeiro, porque esse tipo de conhecimento faz parte daquilo que Carl Sagan considerava importante para que as pessoas fossem cientificamente alfabetizadas. Em segundo lugar, e mais importante, porque caí na armadilha de acreditar e ainda disseminar o que li em vários lugares que afirmavam que as dimensões do A4 estavam relacionadas ao número de ouro. Apenas quando li dois artigos [1, 4] com argumentos muito convincentes reforçados por demonstrações matemáticas, fui capaz de refutar aquela informação. Fica a dica: tenha em mente o método científico para validar o conhecimento – isso vale, é claro, para os artigos desse blog.

Vamos deduzir o porquê das dimensões do A4 e também vamos tratar brevemente de alguns padrões históricos de medidas dos papéis antes de entrar na polêmica da relação entre as proporções dos papéis da série A – proporção ≅ 1:1,414 ou ≅ 1:√2 – e do retângulo áureo – proporção ≅ 1:1,618 ou ≅ 1:Φ.

Deduzindo as Proporções da Série A

Os papéis da série A (A0, A1,…,A4, A5,…,A9 ,A10) resolvem um problema de minimização de utilização de papel: qual deve ser a largura e a altura de uma folha retangular de modo que quando ela for dividida ao meio, os dois novos retângulos obtidos mantenham a proporção entre altura e a largura da folha original?

quad

Figura 1 – Retângulo de razão 1:√2 (série A)

Das relações entre os lados da figura acima, tem-se:

L/A = A/(L/2)
L2 = 2*A2
L = A*√2, onde √2 ≅ 1,414

Quando dividida ao meio, a folha retangular com razão entre largura e altura (L/A) igual à √2 (≅ 1,414) resultará em retângulos semelhantes ao da folha original. No caso dos quadriláteros, a semelhança só se garante se os ângulos forem congruentes e se a razão entre os lados das figuras for preservada. No A4, 297/210 é uma aproximação racional para √2. A classificação de papéis da qual A4 faz parte chama-se série A, que começa com o A0 (1m², ou 841 x 1189) e vai até o A10 e têm por característica comum a razão √2 entre a largura e a altura. Vamos descobrir as dimensões de alguns elementos da série à partir sas relações matemáticas que identificamos anteriormente.

Papel A0

Dados:

L = A*√2
Área do A0 = L*A = 1

Tem-se:

L*L = L*A*√2
L2=1*√2
L=21/4

A=2-1/4

Aproximando-se as potências em milímetros, temos que as dimensões do A0 são 841 mm de altura por 1189 mm de largura.

Papel A1

Dividindo-se um A0 ao meio, encontramos as dimensões do A1:

Dados:

L = A*√2 = A*21/2
Área do A1 = Área do A0/2 = (L*A)/2 = 1/2 = 2-1

Tem-se:

L*L = L*A*21/2
L2=2-1*21/2
L2=2-1/2
L=2-1/4

A=2-3/4

Aproximando-se as potências em milímetros, temos que as dimensões do A1 são 594 mm de altura por 841 mm de largura.

Papel A4

Dividindo-se um A0 em quatro, encontramos as misteriosa dimensões do A4 (210 x 297):

L = A*√2 = A*21/2
Área do A4 = Área do A0/4 = (L*A)/4 = 1/4 = 2-2

Tem-se:

L*L = L*A*21/2
L2=2-2*21/2
L2=2-3/2
L=2-3/4

A=2-5/4

De A0 (área 1m2) à A10, o processo de formação da série A (L=A*√2, 1:√2 ou 1:1,414) pode ser representado pela figura abaixo [4]:

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Figura 2 – Processo de formação dos retângulos de razão 1:√2 (série A)

A Série A e as Vantagens da Proporção 1:√2

Para produção de livros em série, a proporção 1:√2 é a ideal. A máquina que corta e imprime as páginas do livro, ao dobrar uma folha ao meio, obterá uma nova folha que contém a mesma proporção, pois o novo retângulo deriva de seu anterior. Outra vantagem sobre essa proporção é nas fotocópias: duas folhas de A4, por exemplo, lado a lado podem ser copiadas sem desperdício para uma folha de A3 [1].

A proporção 1:√2 foi utilizada durante a Alta Idade Média para transcrição de livros em duas colunas, mas Gutenberg (1398-1468) preferia a proporção 2:3. A economia foi o motivador da padronização dos formatos de papel: com um padrão, as bibliotecas poderiam planejar de forma mais eficiente as alturas de suas prateleiras, as gráficas poderiam trabalhar com ajustes de máquina pré definidos e as fotocopiadoras e impressoras poderiam padronizar programas para redução e ampliação etc [1].

O padrão internacional para o tamanho de papéis é o ISO 216 (International Organization for Standartization, norma 216), que é adotado por todos os países industrializados do mundo, exceto EUA, Canadá e partes do México. Essa norma regulamenta o formato de algumas séries básicas de papel, como as séries A, B e C. As séries B e C destinam-se, entre outras aplicações, aos formatos de envelopes que podem ser usados para conter folhas da série A [1].

O Retângulo Áureo

O retângulo áureo é aquele que mantém a proporção 1:1,618 entre a largura e a altura. Deduzi o número áureo em outro artigo e vale a pena dar uma olhada. O número áureo 1,618 deriva da divisão de F(n)/F(n-1) onde F é um número da sequência de Fibonacci. Essa proporção harmônica é muito utilizada nas artes e na arquitetura conforme expliquei nesse artigo.

Repetindo-se o processo de formação do retângulo áureo indefinidamente, encontramos retângulos cada vez menores, e neles podemos inscrever uma espiral logarítmica. A espiral logarítmica converge para um pólo localizado no ponto de encontro da diagonal do retângulo maior com a diagonal do retângulo obtido após a primeira divisão [1].

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Figura 3 – Processo de formação dos retângulos de razão 1:Φ (retângulo áureo)

Conclusão

Como demonstrado, a série A e o retângulo áureo são diferentes quanto ao objetivo e à semiose – têm diferentes epistemes. Quanto ao objetivo, os lados dos retângulos da série A mantém as proporções quando dobrados ao meio. Já o retângulo de ouro tem como objetivo manter a harmonia entre seus lados. Quanto à semiose, a série A tem como base um retângulo hipotético, fixa a área do papel A0, o primeiro da série, em 1m2 e os demais componentes da série são formados por “n dobras” de A0 ou de algum dos outros elementos. O retângulo áureo tem as proporções do número áureo (1,618 ou Φ), que é extraído de uma relação entre os números da sequência de Fibonacci quando esta tende ao infinito.

A outra conclusão, ainda mais importante, é que você não deve acreditar naquilo que se lê por aí – nem nesse blog. Entenda o que o autor está tentando demonstrar ou informar e depois questione.

Referências

1. [http://www.nilsonjosemachado.net/sema20080325.pdf]
2. [http://topicosmatematicos.blogspot.com.br/2008/11/o-retngulo-ureo.html]
3. [https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio]
4. [http://www.proyectosandia.com/2010/07/de-donde-proviene-el-formato-de-hojas.html]
5. [https://www.youtube.com/watch?v=G1Zkiytd8vE]

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Categorias:Matemática
  1. 15/06/2017 às 10:17 PM

    Não utilizei essa referência para escrever o artigo, mas achei interessante:

    http://super.abril.com.br/ciencia/a-incrivel-relacao-entre-o-papel-a4-e-o-tamanho-da-terra/

  1. 03/10/2017 às 6:03 AM

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