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O Número Áureo

Há um fenômeno simétrico relacionado às proporções que pode ser encontrado sob diferentes formas na natureza. Esse fenômeno é tão inexplicavelmente abundante que chegou a ser associado à marca ou assinatura de um Criador de todas as coisas. Aqui cabe lembrar: a falta da evidência não é evidência da falta e, por indução, utilizando esse fenômeno como premissa, não chegamos à conclusão de que existe um arquiteto universal. Cuidado com os argumentos falaciosos.

Esse dito fenômeno da natureza é representado por um número chamado de número de ouro, rácio dourado ou proporção divina – esse último devido à sua associação com um suposto Criador. Ele é representado pela letra grega maiúscula φ (se escreve phi e se lê “fi”), que é um número irracional dado pela dízima infinita não periódica 1,61803398… e que está intimamente relacionado à série ou frequência de Fibonacci – isso será demonstrado mais adiante.

A escolha da letra grega para representação da dízima se deve ao matemático Mark Barr (1910) em homenagem ao arquiteto Phideas (+/- 450 a.C.), que é o projetista do Pathernon. Phideas utilizou a proporção 1:1,61803398… para projetar a estrutura do Pathernon.

Devido às propriedades matemáticas relacionadas com a harmonia das formas naturais e a frequência com a qual se apresenta na natureza, esse número atraiu o interesse de pesquisadores, cientistas, artistas e escritores. O número de ouro é utilizado nas artes e na arquitetura de um modo geral como uma forma de encontrar a harmonia entre as dimensões dos objetos. O argumento subjetivo para a escolha dessa proporção nas artes e na arquitetura é justamente o equilíbrio ou a harmonia entre as formas.

A “proporção dourada” é encontrada nas articulações ósseas e nas feições dos seres humanos. Peça para qualquer pessoa te dar uma definição de beleza. As respostas vão desde as mais particulares e subjetivas até as que beiram à metafísica, mas há estudos que afirmam que uma pessoa tem um rosto bonito quando os diferentes elementos que o compõem são simétricos e proporcionais ao número de ouro. Veja algumas medições feitas sobre o Homem Vitruviano de Leonardo da Vinci:

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Figura 1 – Proporcionalidade no Homem Vitruviano

Esta sequência numérica também foi uma das principais marcas do Renascimento. A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, usa a proporção 1:1618 na relação entre o tronco e a cabeça e entre elementos do rosto. Na pirâmide de Gizé, cada bloco é 1,618 vezes maior que o bloco do nível imediatamente acima. Em algumas pirâmides, as câmaras internas têm comprimento 1,618 vezes maior que a sua largura.

O Retângulo Áureo

O retângulo de ouro é qualquer retângulo cuja divisão da base pela altura resulta no número de ouro (1,618..). Da demonstração da seção anterior, deduzimos que a proporção entre os segmentos de reta é 1:1,618…, e essas são as laterais desse retângulo.

O retângulo de ouro é o resultado da interligação dos números da sequência de Fibonacci: quando é divido por quadrados proporcionais à Sequência de Fibonacci, ele alarga o seu conjunto consoante a sucessão de Fibonacci. Os gregos antigos o consideravam o formato retangular mais belo e apropriado de todos.

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Figura 2 – Sequência de Fibonacci

Número Áureo Φ Como o Limite da Sequência de Fibonacci

Quando se divide indefinidamente um número de Fibonacci pelo seu antecessor, nos aproximamos do valor de Φ:

5/3 = 1,6666…
8/5 = 1,6000
13/8 = 1,6250
21/13 = 1,6153…

(…)

987/610 = 1,6180…

lim n→∞ F(n+1)/Fn = 1,618… = Φ

Número Áureo Φ Como a Solução Positiva de uma Equação do Segundo Grau

A consequência da utilização do número de Fibonacci para construir o retângulo de ouro é que dois retângulos internos e adjacentes são semelhantes:

ret_aureo

Figura 3 – Retângulo de ouro

Considere o seguimento A, B, C:

AC/AB = AB/BC

Como AC = AB + BC:

 (AB + BC)/AB = AB/BC
AB/AB + BC/AB = AB/BC
    1 + BC/AB = AB/BC

Se denominarmos AB/BC de x, encontraremos a forma familiar de uma equação do segundo grau:

1 + 1/x = x
x(1 + 1/x) = x*x
x + 1 = x2
x2 – x – 1 = 0

Como expliquei na dedução da fórmula de Bhāskara, os antigos algebristas árabes reduziam os problemas à uma dentre seis formas. Uma delas se parece muito com a que alcançamos acima:

ax2 + bx + c = 0

Sendo assim, podemos utilizar a fórmula de Bhāskara para encontrar o valor de Fi, que é a solução positiva daquela equação:

x = [-b ± √(b2 -4ac)] ÷ 2a

x = [-(-1) ± √((-1)2 -4*1*(-1))] ÷ 2*1
x = [1 ± √(4 + 1)] ÷ 2
x = [1 ± √(5)] ÷ 2

Φ = 1,61803398…

Referências

1. [http://slideplayer.com.br/slide/1784580/]
2. [http://topicosmatematicos.blogspot.com.br/2008/11/o-retngulo-ureo.html]
3. [http://topicosmatematicos.blogspot.com.br/2011/02/o-numero-de-ouro.html]
4. [http://topicosmatematicos.blogspot.com.br/2011/03/o-pi-e-o-phi.html]
5. [https://www.youtube.com/watch?v=XM-o0HsjkV8]
7. [http://www.goldennumber.net/what-is-phi/]
8. [https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio]
9. [http://artenarede.com.br/blog/index.php/o-homem-vitruviano-e-o-numero-phi-a-matematica-da-beleza/]
10. [http://www.infoescola.com/matematica/sequencia-de-fibonacci/]
11. [http://www.entreculturas.com.br/2011/03/curso-de-fotografia-aula-4/]

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