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O Cálculo Integral

O cálculo integral, assim como as noções de limite, derivada e infinito, foi inspirado no método da exaustão, que era utilizado pelos antigos matemáticos gregos para aproximação de valores de áreas. Integrais são úteis em vários campos [3]: na geometria, elas possibilitam o cálculo das áreas entre curvas e a determinação do volume dos sólidos de revolução; na física, utilizam-se integrais para calcular o trabalho realizado por uma força, o momento, centros de massa, inércia, etc.

Integral Definida é uma generalização do processo de cálculo de área. Nos intervalos em que a função que será integrada é positiva, a integral definida dessa função coincide com o valor da área sob a curva f(x) no intervalo considerado [a,b] como mostrado na figura abaixo:

slide2

Figura 1 – A área sob uma curva

Assim como na dedução da derivada através do limite e no método da exaustão, a dedução da integral parte de uma figura geométrica básica: o retângulo. Poderia ser um triângulo ou qualquer outra figura plana básica, mas pelas imagens que seguem você perceberá que o retângulo é a melhor escolha – observe a área ocupada pelo retângulo.

A ideia de encontrar a área de uma determinada forma considerando-a como a soma de um grande número de formas pequenas originou-se entre os gregos, mas foi Fermat quem a utilizou com sucesso desenhando retângulos para calcular a área sob uma curva. Infelizmente, Fermat é mais lembrado por ter legado ao mundo um problema que demorou trezentos anos para ser resolvido e que foi chamado de O Último Teorema de Fermat.

A área sob um gráfico é obtida discretizando a área em n retângulos. Tomando-se como base a abcissa de um plano cartesiano, deve-se inscrever retângulos com alturas que toquem a curva determinada por f(x):

integral7

Figura 2 – A área do retângulo

A área de um retângulo é o produto da base pela altura. Na figura, a base é representada pela variação dos valores de x no intervalo definido para o retângulo e expressa por Δx e a altura é a própria função f(x), que é a coordenada do plano cartesiano. Note que, ao discretizar, os retângulos não preenchem integralmente a área desejada. Por isso, é necessário que esses retângulos sejam infinitamente pequenos:

slide5

Figura 3 – Figura discretizada

Em seguida, somam-se as áreas desses n retângulos em um intervalo definido de [a, b] para obtermos a integral definida:

A=f(x1)Δx + f(x2)Δx + … + f(xn)Δx

Ou seja,

soma

Quando a quantidade de retângulos discretizados tende ao infinito (n→∞), dizemos que a soma é infinita:

integral6

Figura 4 – Soma infinita

A soma infinita é denotada por:

soma_infinita

O Teorema Fundamental do Cálculo

O conceito de integral está relacionado ao cálculo da área de uma figura. Para calcular a área, inserimos n retângulos na região compreendida entre o gráfico da função f(x) e o intervalo [a,b] conforme a Figura 1. Porém, foi o Teorema Fundamental do Cálculo – a relação inversa entre diferenciação e integração – que transformou o novo cálculo em uma ferramenta tão poderosa.

O teorema fundamental do cálculo torna o cálculo de integrais mais simples e estabelece a importante conexão entre o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O primeiro surgiu à partir do problema de se determinar a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu à partir do problema de se encontrar a área de uma figura plana.

O teorema permite calcular a integral de uma função utilizando uma primitiva daquela função – essa é a chave para calcular integrais. De forma simples, F(x) é a integral de f(x) e f(x) é a derivada de F(x). Formalmente, se a função f(x) é integrável no intervalo fechado [a,b] e se F(x) é a primitiva de f(x) neste intervalo, então:

integral_regua_3

Ou:

integral_regua_4

Para facilitar a descoberta da função primitiva F(x), podemos utilizar a régua de integração. Note que é dessa régua que vem a barra vertical com os intervalos de integração utilizada no teorema fundamental. A região destacada em azul no gráfico de F(x) é numericamente igual a área ou integral do gráfico de f(x).

integral_regua_1

Figura 5 – Régua de integração para uma função polinomial

Note que xn+1/n+1 é o formato pelo qual descobrimos a primitiva de uma função polinomial, pois basta “inverter” o que foi feito para derivar. No caso, a derivada de um polinômio tem o formato n*xn-1 conforme explicado aqui.

Exemplo

Vamos ver um exemplo de resolução descritiva e gráfica utilizando a integral do polinômio abaixo:

integral_regua_5

Vamos organizar o problema para deixar claro que a integral pedida será o resultado da diferença da função primitiva F(x) no intervalo [2,4] conforme o teorema fundamental do cálculo:

integral_regua_6

O mais importante é descobrir a função primitiva para f(x) = x. Para descobrir a integral de um polinômio, basta adicionar uma unidade ao expoente e uma unidade ao denominador. Sendo assim, F(x) = x2/2. A resolução descritiva fica assim:

integral_regua_7

A resolução gráfica utilizando a régua de integração fica assim:

integral_regua_2

Figura 6 – Resolução gráfica com régua de integração

Referências

1. [https://jhcruz.mat.ufg.br/up/39/o/Cap%C3%ADtulo_7.pdf]
2. [https://jhcruz.mat.ufg.br/up/39/o/Cap%C3%ADtulo_8.pdf]
3. [https://jhcruz.mat.ufg.br/up/39/o/Cap%C3%ADtulo_11.pdf]
4. [http://cead.ufpi.br/conteudo/material_online/disciplinas/matematica/download/unidade6.pdf]
5. [http://www.eeweb.com/toolbox/math-help]

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