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O Método da Exaustão e o Surgimento da Constante Pi (π)

Desde os tempos de Tales e Pitágoras, os matemáticos se dedicam à investigação das propriedades das figuras geométricas e dos números inteiros positivos, que eram utilizados para calcular as razões (proporções) entre as áreas daquelas figuras. No mundo antigo só existiam grandezas comensuráveis provenientes da relação entre os números inteiros. O conhecimento matemático passou por milênios de lapidações e contradições até chegar ao nosso tempo.

Exaustão era um método utilizado para encontrar a área de uma figura através da inscrição e n polígonos cujas somas das áreas convergiam para a área da figura onde estavam inscritos. Quanto menores fossem as áreas dos polígonos inscritos, maior precisão teria a área da figura.

Calcular áreas por exaustão é uma ideia atribuída originalmente à Antífon (481-411 a.C.), mas não se sabe se ele realmente a entendeu. A teoria foi aplicada com sucesso para o cálculo das áreas dos círculos por Eudoxo de Cnido (408-355 a.C.) e Arquimedes (287-212 a.C.). Hipatia (372-415 d.C.) utilizou o método da exaustão com sucesso para calcular áreas de elipses, parábolas e hipérboles.

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Figura 1 – Eudoxo de Cnido (408-355 a.C.)

A prova do método da exaustão costumava ser feita por contradição (reductio ad absurdum). Partia-se da hipótese de que a área real de uma figura é a maior área que pudesse ser encontrada por exaustão de polígonos. Em seguida, tentava-se provar que outras áreas encontradas por exaustão eram menores do que a área real. O problema é que isso só funcionaria se conhecêssemos previamente a área da figura, o que invalidaria o uso do método da exaustão como ferramenta de descoberta.

O método da exaustão é o fundamento de um dos processos essenciais do cálculo infinitesimal. No entanto, enquanto no cálculo se soma um número infinito de parcelas, os antigos nunca consideraram que as somas tivessem infinitos termos. Para poder definir uma soma de uma série infinita seria necessário desenvolver o conceito de número real, mas os gregos não o possuíam. Sendo assim, não se pode afirmar que o método da exaustão é um processo geométrico de passagem para o limite, pois a noção de infinito – um dos itens básicos para a compreensão de limites – ainda não existia. Mesmo sem um parentesco direto, as idéias trazidas pelo método da exaustão incentivaram o desenvolvimento das ideias de limite e infinito.

O Surgimento da Constante π

O número π é uma proporção numérica proveniente da relação entre o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro. Arquimedes usou o método da exaustão para tentar calcular o valor de π preenchendo o círculo com polígonos de um número cada vez maior de lados. O quociente formado pela área desses polígonos dividido pelo quadrado do raio do círculo pode ser tão arbitrariamente próximo do real valor de π quanto for grande o número de lados do polígono.

arquimedes-metodo-exaustao

Figura 2 – Polígonos com n lados

Nas figuras acima, foram inscritos polígonos de 4 a 9 lados. Note que quanto maior a quantidade de lados maior a precisão da área do círculo, pois podemos inserir mais figuras geométricas – como triângulos:

inscribed-octagon-triangle

Figura 3 – Um triângulo inscrito em uma circunferência

Para figuras exauridas por triângulos, podemos definir:

tri

Figura 4 – Relações trigonométrica

Das relações fundamentais do triângulo, deduzimos que:

A = (b * h)/2, h = a * sen α

Portanto,

A = 1/2 * a * b * sen α

Nas aproximações abaixo, o π apresentado é apenas a representação de 180°. Para n = 4, podemos inscrever 4 triângulos idênticos:

A4 = 4 * 1/2 * R * R * sen 2π/4
A4 = 2,0000R2

Para n = 8, podemos inscrever 8 triângulos idênticos:

A8 = 8 * 1/2 * R * R * sen 2π/8
A8 = 2,8284R2

Para n = 256, podemos inscrever 256 triângulos idênticos:

A256 = 256 * 1/2 * R * R * sen 2π/256
A256 = 3,1411R2

Por fim, generalizando n = ∞, podemos inscrever infinitos triângulos idênticos:

An = n * 1/2 * R * R * sen 2π/n
An = πR2

Inspirado pela origem grega da constantente 3,14…, William Jones utilizou pela primeira vez a forma conhecida hoje (π), que consiste em uma viga apoiada sobre duas colunas.

grego

Figura 5 – A inspiração arquitetônica do π

Referências

1. [http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/ecm/metodo%20de%20exaustao.pdf]
2. [http://dicionario.sensagent.com/M%C3%A9todo%20da%20exaust%C3%A3o/pt-pt/]
3. [http://www.ucb.br/sites/100/103/tcc/12006/maurolopesalvarenga.pdf]
4. [http://www.dm.ufscar.br/hp/hp527/hp527001/hp527001.html]
5. [http://nonagon.org/ExLibris/archimedes-pi]
6. [http://courseware.cemc.uwaterloo.ca/11/106/assignments/63]
5. [http://www.sbm.org.br/docs/coloquios/SE-1.02.pdf]

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Categorias:Matemática
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  1. 02/12/2016 às 7:14 AM
  2. 14/08/2017 às 9:30 AM

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