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A Partilha dos 35 Camelos

Felizes aqueles que se divertem com problemas que educam a alma e elevam o espírito. Fenelon

A escada da sabedoria tem os degraus feitos de números. Blavatsky

A matemática é o mais maravilhoso instrumento criado pelo gênio do homem para a descoberta da verdade. Laisant.

Júlio César de Mello e Souza (1895-1974), pseudônimo de Malba Tahan, foi um professor, educador, pedagogo, conferencista, matemático e escritor do modernismo brasileiro. Seu gosto por literatura e em particular pela arte de contar histórias remonta aos seus primeiros anos. No livro O Homem que Calculava [1], ele narra o interessante problema da partilha da herança de 35 camelos.

A Partilha dos 35 Camelos

Beremiz Samir, o Homem que Calculava, viajando na garupa de um camelo junto com seu amigo, se deparam com três pessoas discutindo ao lado de um lote de camelos. O motivo da discórdia era a partilha dos camelos, deixados como herança aos três irmãos. O pai, antes de falecer, determinou como seria a divisão dos 35 camelos:

  • O filho mais velho ficaria com a metade.
  • O filho do meio ficaria com a terça parte.
  • O filho caçula ficaria com a nona parte.

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A metade, a terça e a nona partes de 35 não incorrem em um valor exato – não faz sentido dividir um camelo. Beremiz, com o apoio do seu amigo, propôs resolver o problema adicionando seu próprio camelo para totalizar 36. Dessa forma, a divisão proposta pelo pai seria respeitada:

  • O filho mais velho ficaria com a metade de 36: 18.
  • O filho do meio ficaria com a terça parte de 36: 12.
  • O filho caçula ficaria com a nona parte de 36: 4.

Note que a soma totaliza 34 e não 36. O algebrista convenceu os irmãos de que com essa divisão eles obteriam lucro, pois na partilha de 35 camelos:

  • O filho mais velho ficaria com 17 e pouco.
  • O filho do meio ficaria com 11 e pouco.
  • O filho caçula ficaria com 3 e pouco.

Como gratidão pela solução do problema, os irmãos entregaram 2 camelos ao inteligente Beremiz. Agora, ele e seu amigo poderiam seguir viagem juntos, mas cada um em seu camelo. Agora vamos entender o artifício utilizado por Beremiz para permitir a álgebra com valores inteiros.

A Solução do Homem que Calculava

A solução do problema se encontra no próprio livro [1]. Feita a divisão como desejado pelo pai:

  • Irmão mais velho: 35 / 2 = 17,5 = 17 + 1/2
  • Irmão do meio: 35 / 3 = 11,666… = 11 + 2/3
  • Irmão mais novo: 35 / 9 = 3,888… = 3 + 8/9
(17 + 1/2) + (11 + 2/3) + (3 + 8/9) = 33 + 1/8

Como o total de camelos é 35, após a divisão, sobra 1 camelo mais 17/18 de camelo. 17/18 é o resultado da soma daquilo que falta para completar uma unidade na parte fracionária da divisão:

1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18

Note que a soma das frações não resultou em um número inteiro. Beremiz pensou em distribuir a diferença (1/18) ao acumulado de cada irmão para “inteirar” os valores, mas ainda assim sobraria 1 camelo:

(17 + 1/2 + 1/2) + (11 + 2/3 + 1/3) + (3 + 8/9 + 1/9) = 34

Nesse ponto, o problema já estava resolvido, pois era esperado que sobrasse um camelo. Sabendo disso, Beremiz modificou o problema para que a divisão original resultasse valores inteiros e ainda obter algum lucro: ele passou a considerar a divisão de 36 camelos e não 35 para passar a impressão de que os irmãos estavam obtendo algum lucro com a divisão proposta pelo algebrista.

O artifício da adição para obtenção de divisões inteiras pode ser utilizado, por exemplo, para os números 17, 35, 53 e 71, mas as adições, assim como as sobras, seriam diferentes para cada número – para 18 sobra 1, para 36 sobram 2 e assim por diante.

Conclusão

Se você tem um conhecimento específico ou uma habilidade rara, é justo ganhar dinheiro com isso. Os matemáticos sentem prazer ao solucionar problemas, mas eles também precisam viver.

Referências

1. TAHAN, Malba, O Homem que Calculava, 63ª ed., Rio de Janeiro: Record, 2003
2. [http://topicosmatematicos.blogspot.com.br/2008/11/malba-tahan-dados-biogrficos.html]
3. [http://josenorberto.com.br/o_homem_que_calculava.pdf]

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  1. 07/11/2016 às 6:39 AM

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