Início > Matemática > Dedução da Fórmula de Bhāskara

Dedução da Fórmula de Bhāskara

O termo Fórmula de Bhāskara foi cunhado para homenagear o matemático Bhāskara Akaria (1114-1185), considerado o mais importante matemático indiano do século XII. Embora a fórmula tenha entrado para a história com esse nome, na verdade foi Al-Khwārizmī (780-850) quem a concebeu. A fórmula de Bhāskara é utilizada para resolver equações quadráticas com coeficientes reais e com o termo de maior expoente acompanhado de uma constante diferente de 0.

Vamos deduzir Bhāskara recorrendo à Al-Khwārizmī e à técnica do lenço dobrado em quatro partes que era utilizada pelos árabes nos tempos desses dois personagens. Al-Khwārizmī reduzia os problemas à uma dentre seis formas padrão, que eram generalizações de problemas cotidianos de partilha de bens. De forma muito simplificada, era algo assim:

Deixo para o José 5 vezes a quantidade de camelos que vou deixar para o Pedro; para a Sofia, deixo o que o Pedro vai receber vezes o que ele vai receber; para o Marcos, vou deixar 2 camelos. x2 + 6x + 2.

Partindo da forma abaixo, faremos manipulações algébricas para isolar o x:

ax2 + bx + c

Vamos dividir todos os termos pela constante do termo de maior expoente. Assim, criamos uma relação de a com as constantes b e c e mantemos o x livre daquelas três constantes. Veremos mais à frente que essa manipulação é necessária para montar a primeira parte do “lenço”, pois trata-se de um quadrado de lado “x” – ou seja, “x2“:

x2 + (b/a)x + c/a = 0

As três partes “conhecidas” do lenço” estão em função de “x”. Utilizando simples mereologia, dividimos o termo que está em função de b e a por dois para termos três das quatro partes necessárias para montar o “lenço”:

x2 + (b/2a)x + (b/2a)x + c/a = 0

Vamos isolar o termo que não está em função de “x”, pois em princípio ele não será desenhado no “lenço”:

x2 + (b/2a)x + (b/2a)x = – c/a

Ao montar o lenço com os três termos em função de “x”, a quarta parte será revelada:

bhaskara0

Da equação resultante do estudo mereológico, deduzimos que o resultado da soma de três das partes é -c/a. Sendo assim, vamos substituir esse valor no “lenço” para concluir que há uma relação entre as constantes que independe do x:

bhaskara1

Em seguida, vamos somar as áreas das duas figuras internas:

bhaskara2

Por fim, deduzimos a área do “lenço” em função das constantes a, b e c. O lado desse quadrado revela a relação entre aquelas constantes:

lenco4

Igualando os dois lados do “lenço”, que é um quadrado, a fórmula de Bhāskara se revela:

x + b/2a = ± √(b2 -4ac) ÷ 2a

x = [-b ± √(b2 -4ac)] ÷ 2a

Referências

1. [http://www.infoescola.com/matematica/formula-de-bhaskara/]
2. [https://pt.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/solving-quadratics-using-the-quadratic-formula/a/quadratic-formula-explained-article]

Anúncios
  1. 21/12/2016 às 2:17 PM

    Olá, Rodrigo!

    A dedução geométrica é uma das minhas preferidas.

    Sugiro usar linguagem Latex em seu blog. As simbologias matemáticas agradecem.

    Abraço!

  2. 21/12/2016 às 2:51 PM

    Olá, Edigley.

    Obrigado pela dica. Vi um artigo no seu blog com referências de ferramentas. Vou estudar como integrá-las ao WordPress.

    Abs

  1. 08/12/2016 às 7:40 AM

Deixe um comentário

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair / Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair / Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair / Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair / Alterar )

Conectando a %s

%d blogueiros gostam disto: