Frases de Winston Churchill

Isto não é o fim. Não é sequer o princípio do fim. Mas é, talvez, o fim do princípio.

A frase acima é de Winston Leonard Spencer-Churchill (1874-1965), que a proferiu após primeira vitória aliada contra os nazistas na batalha de El Alamein no norte da África. Ele poderia ter dito simplesmente algo como “isso é apenas o começo”, mas se assim fosse, não sê-lo-ia, como diria o erudito presidente Michel Temer.

Figura 1 – Winston Churchill

Ele é considerado o maior estadista do século XX e se tornou primeiro ministro do Reino Unido já com a Segunda Guerra Mundial em curso. Ele substituiu o primeiro ministro Neville Chamberlain, que tentou uma política de apaziguamento com a Alemanha nazista em 1938: ele acreditou nas garantias oferecidas por Hitler para manter o equilíbrio europeu. Se referindo a esse acordo, Churchill disse:

Entre a desonra e a guerra, eles escolheram a desonra, e terão a guerra.

Destaco aqui algumas de suas frases de efeito e aforismos. Ele acreditava no poder das palavras e dizia que “frases nos fazem pensar”.

O sucesso é ir de fracasso em fracasso sem perder entusiasmo.

Uma mentira dá uma volta inteira ao mundo antes mesmo de a verdade ter oportunidade de se vestir.

A sorte não existe. Aquilo a que chamais sorte é o cuidado com os pormenores.

A política é quase tão excitante como a guerra e não menos perigosa. Na guerra a pessoa só pode ser morta uma vez, mas na política diversas vezes.

O orgulhoso prefere perder-se a perguntar qual é o seu caminho.

A desvantagem do capitalismo é a desigual distribuição das riquezas; a vantagem do socialismo é a igual distribuição das misérias.

Um pessimista vê uma dificuldade em cada oportunidade; um otimista vê uma oportunidade em cada dificuldade.

Vivemos com o que recebemos, mas marcamos a vida com o que damos.

Sucesso não é o final, falhar não é fatal: é a coragem para continuar que conta.

De uma maneira geral, os seres humanos podem ser divididos em três classes: aqueles que se matam com trabalho, os que se matam com preocupações e aqueles que se matam de tédio.

Se estiver passando pelo inferno, continue caminhando.

Um prisioneiro de guerra é um homem que tentou matá-lo, não conseguiu e agora implora para que você não o mate.

Todas as grandes coisas são simples. E muitas podem ser expressas numa só palavra: liberdade; justiça; honra; dever; piedade; esperança.

O que eu espero senhores, é que depois de um razoável período de discussão, todo mundo concorde comigo.

Se Hitler invadisse o Inferno, eu cogitaria de uma aliança com o Demônio.

É uma ideia tipicamente socialista considerar o ganho como um defeito. Eu penso que o verdadeiro defeito é ter perdas.

Não há delito maior que a audácia de se destacar.

Ninguém pretende que a democracia seja perfeita ou sem defeito. Tem-se dito que a democracia é a pior forma de governo, salvo todas as demais formas que têm sido experimentadas de tempos em tempos.

Não passamos de minhocas. Mas acredito ser uma minhoca que brilha.

A sorte não existe. Aquilo a que chamas sorte é o cuidado com os pormenores.

Quando se consegue alguma coisa que se deseja, é muito bom deixá-la onde está.

Não adianta dizer: “Estamos fazendo o melhor que podemos”. Temos que conseguir o que quer que seja necessário.

É bom ter livros de citações. Gravadas na memória, elas inspiram-nos bons pensamentos.

Os problemas da vitória são mais agradáveis do aqueles da derrota, mas não são menos difíceis.

A maior lição da vida é a de que, às vezes, até os tolos têm razão.

Quando se tem de matar um homem, não custa nada ser educado.

É preferível ser irresponsável e estar com a verdade do que ser responsável e no erro.

A imaginação consola os homens do que não podem ser; o sentido de humor consola-os do que são.

É melhor morrer em combate do que ver ultrajada a nossa nação.

Estou sempre disposto a aprender, mas nem sempre gosto que me ensinem.

Os homens tropeçam por vezes na verdade, mas a maior parte torna a levantar-se e continua depressa o seu caminho, como se nada tivesse acontecido.

Gosto de porcos. Os cães olham-nos de baixo, os gatos de cima. Os porcos olham-nos de igual para igual.

Engolir as más palavras que não se dizem nunca fez mal a ninguém.

Referências

1. [http://www.winstonchurchill.org/]
2. [http://www.citador.pt/frases/citacoes/a/winston-churchill]
3. [http://www.frasesfamosas.com.br/frases-de/winston-churchill/]
4. [https://pensador.uol.com.br/autor/winston_churchill/]

Piada: O Louco e seus Parafusos

Escrevi a Licão do Abacaxi nos primeiros meses de vida desse blog em 2009. Desde 2011 aquele artigo é, diariamente, o que tem a maior quantidade de visualizações. O interessante é que o artigo não tinha nada de pretensioso – apenas compartilhei uma história que meu pai contou. Como meu pai fez sucesso nesse espaço, segue uma piada que ele me contou faz muitos anos. Essa piada não é da autoria dele, assim como a história do abacaxi também não era.

O pneu de um fusca furou em frente à um manicômio. O motorista se descuidou enquanto colocava o estepe e os quatro parafusos da roda caíram em um bueiro.

– E agora, o que faço? – perguntou em voz alta o infeliz motorista.

Um louco observava a cena de cima do muro do manicômio. De lá ele disse:

– Amigo, por que você não tira um parafuso de cada uma das outras três rodas e segue viagem com três parafusos em cada uma das quatro rodas? Depois você compra quatro parafusos e recoloca.

– Boa ideia! Mas se você é tão inteligente, por que está aí?

– Sou louco, mas não sou burro.

A Divisão Simples, a Divisão Certa e a Divisão Justa

Sem a matemática não nos seria possível compreender muitas passagens das Santas Escrituras. Santo Agostinho

Possui a matemática uma força maravilhosa, capaz de nos fazer compreender muitos mistérios de nossa fé. São Jerônimo

As leis da natureza nada mais são que pensamentos matemáticos de Deus. Kepler

Nessa passagem do Homem que Calculava [1], Malba Tahan conta como Beremiz Samir (o Homem que Calculava) e seu amigo ajudam um viajante ferido e faminto. Beremiz tinha 5 pães e seu amigo 3. Os oito pães seriam divididos entre os três durante o restante da viajem. O novo companheiro, que dizia ser um rico cheique, se propôs a pagar 8 moedas de ouro pelos oito pães quando chegassem ao destino.

Ao entrar em Bagdá, encontraram um vizir, que era amigo do cheique. Ele entregou 8 moedas de ouro ao cheique que as repartiu entre seus salvadores de acordo com a quantidade de pães consumidos: 5 para o Homem que Calculava e 3 para o amigo dele.

Beremiz Samir disse que essa era a divisão simples, mas não era a divisão matematicamente correta. Durante a viajem, sempre que tinham fome, um dos amigos retirava um pão da caixa e o repartia em três. Beremiz ofereceu 15 pedaços (5 pães x 3 pessoas) e o amigo dele ofereceu 9 pedaços (3 pães x 3 pessoas). Dos 15 pedaços que deu, Beremiz consumiu 8 (24 pedaços / 3 pessoas) e deu 7 enquanto seu amigo consumiu 8 e deu apenas 1. Sendo assim, dos 8 pedaços de pão consumidos pelo cheique, 7 foram de Beremiz e apenas 1 de seu amigo. Logo, é justo que Beremiz receba 7 moedas de ouro e o amigo dele apenas 1.

A demonstração era matematicamente incontestável, mas não era justa aos olhos de Deus. Beremiz pegou das 8 moedas, entregou 4 ao seu amigo e reservou a outra metade para si.

O sábio que se mostra orgulhoso e pedante revela que não sabe honrar a ciência. Dr. Alfredo Guimarães Chaves

Referências

1. TAHAN, Malba, O Homem que Calculava, 63ª ed., Rio de Janeiro: Record, 2003
2. [http://josenorberto.com.br/o_homem_que_calculava.pdf]

A Partilha dos 35 Camelos

Felizes aqueles que se divertem com problemas que educam a alma e elevam o espírito. Fenelon

A escada da sabedoria tem os degraus feitos de números. Blavatsky

A matemática é o mais maravilhoso instrumento criado pelo gênio do homem para a descoberta da verdade. Laisant.

Júlio César de Mello e Souza (1895-1974), pseudônimo de Malba Tahan, foi um professor, educador, pedagogo, conferencista, matemático e escritor do modernismo brasileiro. Seu gosto por literatura e em particular pela arte de contar histórias remonta aos seus primeiros anos. No livro O Homem que Calculava [1], ele narra o interessante problema da partilha da herança de 35 camelos. Essa história é baseada em um conto de origem desconhecida que também serviu de inspiração para Ian Stewart, na página 23 do seu Almanaque das Curiosidades Matemáticas, criar um conto chamado História Para Cão Dormir.

A Partilha dos 35 Camelos

Beremiz Samir, o Homem que Calculava, viajando na garupa de um camelo junto com seu amigo, se deparam com três pessoas discutindo ao lado de um lote de camelos. O motivo da discórdia era a partilha dos camelos, deixados como herança aos três irmãos. O pai, antes de falecer, determinou como seria a divisão dos 35 camelos:

• O filho mais velho ficaria com a metade.
• O filho do meio ficaria com a terça parte.
• O filho caçula ficaria com a nona parte.

A metade, a terça e a nona partes de 35 não incorrem em um valor exato – não faz sentido dividir um camelo. Beremiz, com o apoio do seu amigo, propôs resolver o problema adicionando seu próprio camelo para totalizar 36. Dessa forma, a divisão proposta pelo pai seria respeitada:

• O filho mais velho ficaria com a metade de 36: 18.
• O filho do meio ficaria com a terça parte de 36: 12.
• O filho caçula ficaria com a nona parte de 36: 4.

Note que a soma totaliza 34 e não 36. O algebrista convenceu os irmãos de que com essa divisão eles obteriam lucro, pois na partilha de 35 camelos:

• O filho mais velho ficaria com 17 e pouco.
• O filho do meio ficaria com 11 e pouco.
• O filho caçula ficaria com 3 e pouco.

Como gratidão pela solução do problema, os irmãos entregaram 2 camelos ao inteligente Beremiz. Agora, ele e seu amigo poderiam seguir viagem juntos, mas cada um em seu camelo. Agora vamos entender o artifício utilizado por Beremiz para permitir a álgebra com valores inteiros.

A Solução do Homem que Calculava

A solução do problema se encontra no próprio livro [1]. Feita a divisão como desejado pelo pai:

• Irmão mais velho: 35 / 2 = 17,5 = 17 + 1/2
• Irmão do meio: 35 / 3 = 11,666… = 11 + 2/3
• Irmão mais novo: 35 / 9 = 3,888… = 3 + 8/9

x = (17 + 1/2) + (11 + 2/3) + (3 + 8/9)
x = 33 + 1/8

Como o total de camelos é 35, após a divisão, sobra 1 camelo mais 17/18 de camelo. 17/18 é o resultado da soma daquilo que falta para completar uma unidade na parte fracionária da divisão:

x = 1/2 + 1/3 + 1/9
x = 17/18

Note que a soma das frações não resultou em um número inteiro. Beremiz pensou em distribuir a diferença (1/18) ao acumulado de cada irmão para “inteirar” os valores, mas ainda assim sobraria 1 camelo:

x = (17 + 1/2 + 1/2) + (11 + 2/3 + 1/3) + (3 + 8/9 + 1/9)
x = 18 + 12 + 4
x = 34

Nesse ponto, o problema já estava resolvido, pois era esperado que sobrasse um camelo. Sabendo disso, Beremiz modificou o problema para que a divisão original resultasse valores inteiros e ainda obter algum lucro: ele passou a considerar a divisão de 36 camelos e não 35 para passar a impressão de que os irmãos estavam obtendo algum lucro com a divisão proposta pelo algebrista.

O artifício da adição para obtenção de divisões inteiras pode ser utilizado, por exemplo, para os números 17, 35, 53 e 71, mas as adições, assim como as sobras, seriam diferentes para cada número – para 18 sobra 1, para 36 sobram 2 e assim por diante.

Conclusão

Se você tem um conhecimento específico ou uma habilidade rara, é justo ganhar dinheiro com isso. Os matemáticos sentem prazer ao solucionar problemas, mas eles também precisam viver.

Referências

1. TAHAN, Malba, O Homem que Calculava, 63ª ed., Rio de Janeiro: Record, 2003
2. [http://topicosmatematicos.blogspot.com.br/2008/11/malba-tahan-dados-biogrficos.html]
3. [http://josenorberto.com.br/o_homem_que_calculava.pdf]

Multiplicação Russa

Admiro a maneira dos antigos matemáticos fazerem multiplicação – o sistema de multiplicação hindu-arábico é um dos mais interessantes. O método de divisões e multiplicações sucessivas que será explicado é atribuído aos antigos camponeses russos [1,2] e é equivalente ao método dos egípcios [3].

Suponha que você queira multiplicar dois números. O método russo consiste nos seguintes passos:

• Organizar os números em duas colunas (A e B).
• Dividir o valor da coluna A por 2 sucessivamente. Se o número que será dividido na iteração for ímpar, deve-se primeiro subtrair uma unidade antes de fazer a divisão.
• Multiplicar o valor da coluna B por 2 sucessivamente.
• Marque ou circule os valores da coluna B cuja mesma linha na coluna A apresente um valor ímpar.
• Some os valores marcados na coluna B.

Abaixo, o exemplo da multiplicação de 42 por 35 seguindo o método acima:

Referências

1. [http://topicosmatematicos.blogspot.com.br/2008/11/multiplicao-russa.html]
2. [http://www.profcardy.com/cardicas/multirussa.php]
3. [http://www.profcardy.com/cardicas/multiegito.php]

Donald no País da Matemágica

Em 1959, a Disney lançou um dos melhores curtas de animação já criados – pelo menos com relação ao conteúdo. Donald no País da Matemágica (Donald in Mathmagic Land) é uma aventura através das descobertas matemáticas e de suas aplicações em objetos e conceitos presentes no cotidiano. Vou falar brevemente dessa história e do que me chamou a atenção. Como se trata de um desenho antigo, praticamente todo mundo já viu.

Me pareceu que a história toda era na verdade a representação cômica de uma pessoa outrora leiga que estudou e se maravilhou com o poder da matemática. O início da história é bastante simbólico, com o perdão do trocadilho. Quando Donald entra naquele mundo vindo de seu próprio mundo, ele não percebe que essa escolha não dá margem a um caminho de volta: uma vez que ele optou pelo conhecimento, não há como desaprender aquilo que ele aprendeu. Ou seja, ele nunca mais voltará ao seu “mundo leigo”. Essa ideia fica clara quando sua sombra é projetada à frente, o que nos remete à alegoria da caverna de Platão. Entendi dessa forma porque ele estava confuso e até com um pouco de medo do desconhecido e parecia seguro com sua “muleta”, o rifle, ou melhor, aquilo que ele já conhecia bem e que ainda não era capaz de abandonar para aprender algo novo.

Enquanto Donald se enveredava por “raízes quadradas” e formas geométricas imersas no escuro da falta de compreensão, uma cachoeira de onde desciam algarismos hindu-arábicos se apresenta ao som, aparentemente, do Cravo Bem Temperado, de Bach. Faz sentido, pois essa coletânea de músicas tem acústica e significado matemático além de ser bem agradável aos ouvidos das pessoas envolvidas com as exatas.

Figura 1 – Cachoeira numérica

Conforme explicado pelo “espírito da descoberta”, foi Pitágoras o primeiro que estudou a música do ponto de vista matemático: ele atribuía pesos às medidas para montar a escala musical distribuída nas oitavas. Os pitagóricos se reuniam secretamente para compartilhar suas descobertas apenas entre os iniciados que eram identificados por um pentagrama e um código secreto. Embora na imagem abaixo Pitágoras esteja apontando para o pentagrama, a figura mais importante que aparece alí é o triângulo retângulo, que está no centro do Teorema de Pitágoras.

Figura 2 – Os pitagóricos

Um “ser” geométrico, que era uma combinação de um círculo, um triângulo e um retângulo, se apresenta e enuncia os primeiros dígitos do número Pi (Π ou 3,1415926….) como se fosse uma mensagem de boas vindas ao País da Matemática.

Figura 3 – Um “ser” geométrico

O “espírito” afirma que para entender a matemática, primeiro devemos “arrumar” nossa mente. Precisamos nos livrar das idéias antiquadas, dos preconceitos e de tudo aquilo que possa limitar nosso raciocínio e nosso pensamento crítico e impedir que assimilemos o conhecimento matemático.

Figura 4 – Uma mente bagunçada

Chama-se a atenção para a presença da matemática nas brincadeiras e jogos mais comuns: a justaposição de quadrados no jogo de amarelinha e os quadrados e círculos que formam uma quadra de basquete. Bastante atenção foi dada ao jogo de bilhar, onde se usam muitos cálculos de ângulos .

O curta traz muitas referências às formas geométricas encontradas na natureza e àquelas obtidas por revolução de eixo, como as esferas e os cones. Seccionando esferas podemos criar lentes para binóculos, lupas, microscópios, etc. Seccionando cones podemos criar certos arranjos de engrenagens, molas e é possível utilizá-los para traçar as órbitas dos planetas. Fala-se da beleza do equilíbrio do número de ouro e da sua relação com a sequência de Fibonacci embora não de forma direta.

Figura 5 – A faceta matemática das invenções

A mente não conhece limites quando bem utilizada e é apenas lá que podemos conceber a ideia de infinito. Apenas a matemática é capaz de destrancar as portas que encerram novos conhecimento. Para adquirir conhecimentos verdadeiros, devemos confiar mais na razão e na matemática e menos na intuição.

Figura 6 – O futuro

Discussão

A matemática é uma ciência que estuda objetos abstratos (números, figuras e funções) e as relações entre eles, procedendo por método dedutivo. Em um mundo assombrado pelos demônios, apenas o poder da ciência pode recuperar os valores da racionalidade. Essa era a visão de Carl Sagan presente em todo seu trabalho como cientista e divulgador da ciência: da série Cosmos aos livros de ciência, ficção científica e etc. Ele foi o maior divulgador da ciência no século XX e à tornou acessível aos leigos. Vale a pena assistir à nova versão da série Cosmos, que foi apresentada pelo físico Neil deGrasse Tyson.

Os grandes estúdios de animação não produzem mais nada capaz de despertar nas crianças o interesse pela ciência. Venceram os efeitos especiais maravilhosos que mascaram histórias fracas – se não ridículas – que contribuem para a formação de zumbis que não conseguem pensar criticamente e correm o risco de serem cooptados por demagogos que encontram naquelas mentes vazias terreno fértil para implantar uma visão de mundo que é igualitária por fora, mas autoritária e totalitária por dentro.

Hoje, com a hegemonia das esquerdas nas salas de aula, o nivelamento por baixo que pregam – todos devem ser iguais ao pior de todos – e a politização do ensino impedem que as crianças aprendam as matérias básicas ainda que de forma medíocre. Um dia, quem sabe, aqueles que detêm o poder serão capazes de entender a importância para a nação da valorização e do incentivo à ciência e a tecnologia.

Descomplicando a Raiz Quadrada

Encontrei duas formas de encontrar a raiz quadrada: uma exata, aplicada aos quadrados perfeitos, e outra que encontra qualquer raiz aproximada.

Encontrando a Raiz de Quadrados Perfeitos

Essa técnica funciona bem para números com três ou quatro dígitos. Primeiro, mantenha à mão uma referência rápida aos primeiros dez quadrados à partir do número 1, pois essa será a base para encontrarmos os quadrados maiores:

1² = 01
2² = 04
3² = 09
4² = 16
5² = 25
6² = 36
7² = 49
8² = 64
9² = 81

Vamos estudar alguns casos, mas primeiro precisamos definir um roteiro para proceder à análise.

(1) Divida os dígitos em dois grupos tomando o cuidado para manter juntos os dois últimos dígitos.
(2) Quais quadrados terminam com o mesmo dígito que finaliza o segundo grupo?
(3) Que valor tem o quadrado mais próximo do valor do primeiro grupo?
(4) Qual é o resultado desse número por seu consecutivo?
(5) O resultado é menor que o valor do primeiro grupo?
(6) Juntando (3) com (2) de acordo com (5), deduzimos o lado do quadrado procurado.

Raiz quadrada de 576

(1) Primeiro, divida os dígitos em dois grupos tomando o cuidado para manter juntos os dois últimos dígitos:

5 | 76

(2) Quais quadrados terminam com 6?

4, pois é o lado do quadrado √16
6, pois é o lado do quadrado √36

(3) Que valor tem o quadrado mais próximo de 5?

2, pois é o lado do quadrado √4

(4) Qual é o resultado desse número por seu consecutivo?

2 x 3 = 6

(5) O resultado é menor que 5?

Se sim, escolhemos 6. Se não, escolhemos 4. Portanto, escolhemos 4.

(6) Juntando (3) com (2) de acordo com (5), deduzimos o lado do quadrado √576:

24

Raiz quadrada de 784

(1) Primeiro, divida os dígitos em dois grupos tomando o cuidado para manter juntos os dois últimos dígitos:

7 | 84

(2) Quais quadrados terminam com 4?

2, pois é o lado do quadrado √4
8, pois é o lado do quadrado √64

(3) Que valor tem o quadrado mais próximo de 7?

2, pois é o lado do quadrado √4

(4) Qual é o resultado desse número por seu consecutivo?

2 x 3 = 6

(5) O resultado é menor que 7?

Se sim, escolhemos 8. Se não, escolhemos 2. Portanto, escolhemos 8.

(6) Juntando (3) com (2) de acordo com (5), deduzimos o lado do quadrado √784:

28

Raiz quadrada de 1225

(1) Primeiro, divida os dígitos em dois grupos tomando o cuidado para manter juntos os dois últimos dígitos:

12 | 25

(2) Quais quadrados terminam com 5?

5, pois é o lado do quadrado √25

(3) Que valor tem o quadrado mais próximo de 12?

3, pois é o lado do quadrado √9

(4) Qual é o resultado desse número por seu consecutivo?

3 x 4 = 12

(5) O resultado é menor que 12?

Além do resultado ser igual, só temos a opção de escolher o valor 5

(6) Juntando (3) com (2) de acordo com (5), deduzimos o lado do quadrado √1225:

35

Encontrando as Raízes Aproximadas de Qualquer Número

Há um truque [2] que permite encontrar as raízes aproximadas de qualquer número. A grande vantagem é que podemos utilizá-lo para encontrar raízes decimais:

√N ≅ √Q + (N – Q) / 2 x √Q

Onde:

N = Número qualquer
Q = Quadrado mais próximo e menor que N

Exemplos

Raiz quadrada aproximada de √18

√N ≅ √Q + (N – Q) / 2 x √Q
√18 ≅ √16 + (18 – 16) / 2 * √16
√18 ≅ 4 + (2) / 2 * 4
√18 ≅ 4 + 1/4
√18 ≅ 4,25

Raiz quadrada aproximada de √27

√N ≅ √Q + (N – Q) / 2 x √Q
√27 ≅ √25 + (27 – 25) / 2 * √25
√27 ≅ 5 + (2) / 2 * 5
√27 ≅ 5 + 1/5
√27 ≅ 5,2

Raiz quadrada aproximada de √138

√N ≅ √Q + (N – Q) / 2 x √Q
√138 ≅ √121 + (138 – 121) / 2 * √121
√138 ≅ 11 + 17 / 2 * 11
√138 ≅ 11 + 17 / 22
√138 ≅ 11,7727…

Raiz quadrada aproximada de √145

√N ≅ √Q + (N – Q) / 2 x √Q
√145 ≅ √144 + (145 – 144) / 2 * √144
√145 ≅ 12 + 1 / 2 * 12
√145 ≅ 12 + 1 / 24
√145 ≅ 12,04666…

Referências

1. [https://www.youtube.com/watch?v=nUyLnjgGumg]
2. [https://www.youtube.com/watch?v=RB72oh7Gn4w]
3. [https://www.youtube.com/watch?v=PJHtqMjrStk]
4. [https://youtu.be/CN1I81Suuks]

Dedução da Fórmula de Bhāskara

O termo Fórmula de Bhāskara foi cunhado para homenagear o matemático Bhāskara Akaria (1114-1185), considerado o mais importante matemático indiano do século XII. Embora a fórmula tenha entrado para a história com esse nome, na verdade foi Al-Khwārizmī (780-850) quem a concebeu. A fórmula de Bhāskara é utilizada para resolver equações quadráticas com coeficientes reais e com o termo de maior expoente acompanhado de uma constante diferente de 0.

Vamos deduzir Bhāskara recorrendo à Al-Khwārizmī e à técnica do lenço dobrado em quatro partes que era utilizada pelos árabes nos tempos desses dois personagens. Al-Khwārizmī reduzia os problemas à uma dentre seis formas canônicas:

1. Quadrados igual a raízes

ax² = bx

2. Quadrados igual a números

ax² = c

3. Raízes igual a números

bx = c

4. Quadrados e raízes igual a números

ax² + bx = c

5. Quadrados e números igual a raízes

ax² + c = bx

6. Raízes e números igual a quadrados

bx + c = ax²

Essas formas canônicas eram generalizações de problemas cotidianos de partilha de bens. De forma muito simplificada, era algo assim:

Tenho 36 camelos. Deixo para o Jacó uma determinada quantidade vezes essa mesma quantidade, pois ele é o mais sábio dos meus filhos e saberá como administrar. Para o Ezequiel deixo seis vezes aquela determinada quantidade.

Matematicamente:

x² + 6x = 36.

Partindo da forma abaixo, faremos manipulações algébricas para isolar o x:

ax² + bx + c

Vamos dividir todos os termos pela constante do termo de maior expoente. Assim, criamos uma relação de a com as constantes b e c e mantemos o x livre daquelas três constantes. Veremos mais à frente que essa manipulação é necessária para montar a primeira parte do “lenço”, pois trata-se de um quadrado de lado “x” – ou seja, “x²“:

x² + (b/a)x + c/a = 0

As três partes “conhecidas” do lenço” estão em função de “x”. Utilizando simples mereologia, dividimos o termo que está em função de b e a por dois para termos três das quatro partes necessárias para montar o “lenço”:

x² + (b/2a)x + (b/2a)x + c/a = 0

Vamos isolar o termo que não está em função de “x”, pois em princípio ele não será desenhado no “lenço”:

x² + (b/2a)x + (b/2a)x = – c/a

Ao montar o lenço com os três termos em função de “x”, a quarta parte será revelada:

Da equação resultante do estudo mereológico, deduzimos que o resultado da soma de três das partes é -c/a. Sendo assim, vamos substituir esse valor no “lenço” para concluir que há uma relação entre as constantes que independe do x:

Em seguida, vamos somar as áreas das duas figuras internas:

Por fim, deduzimos a área do “lenço” em função das constantes a, b e c. O lado desse quadrado revela a relação entre aquelas constantes:

Igualando os dois lados do “lenço”, que é um quadrado, a fórmula de Bhāskara se revela:

x + b ÷ 2a = ± √(b² -4ac) ÷ 2a

∴

x = [-b ± √(b² -4ac)] ÷ 2a

Referências

1. [http://www.infoescola.com/matematica/formula-de-bhaskara/]
2. [https://pt.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/solving-quadratics-using-the-quadratic-formula/a/quadratic-formula-explained-article]

Os Pilares da Fé

Nesse texto tratarei da fé entendida no sentido genérico de acreditar em alguma coisa, que pode ser um ser superior, imaterial, onipresente e onisciente ou uma ciência. Para acreditar em algo é necessário que ergamos alguns pilares: precisamos adquirir algumas virtudes para sustentar racionalmente aquilo que acreditamos. Essa é uma visão diferente daquela dos religiosos que procuram levantar edifícios tendo a fé por base. Vou tentar demonstrar que esses edifícios estão sendo erguidos sobre areia movediça: qualquer sopro de razão ou de humildade os derrubam, pois não têm a estrutura necessária para permanecerem de pé.

Primeiro, vamos refletir sobre a visão dos pilares. Sempre que pensamos em algo sendo sustentado por pilares, nos vem a mente alguma coisa parecida com a estrutura do Parthenon, um templo dedicado à deusa Atena construído na Acrópole de Atenas, na Grécia Antiga, em V a.c.:

Figura 1 – Parthenon

Note que no Parthenon os pilares estão dispostos lado a lado seguindo o perímetro da fundação e distribuem por igual o peso do teto. Se retirarmos um pilar, os outros dividirão o peso para cumprir a função daquele que faltou: sustentar o teto. Para “sustentar” a fé, essa relação entre os pilares não é boa, pois dá a impressão que a fé se sustenta com a falta de algumas virtudes.

Agora, veja a estrutura da Pont du Gard, um aqueduto construído pelo Império Romano no sul da França no século I a.c.:

Figura 2 – Pont du Gard

Perceba que os níveis inferiores dão suporte aos níveis superiores e a remoção de uma arcada pode causar o colapso de toda a estrutura. É assim que entendo a fé: uma relação hierárquica entre virtudes que “sustentam” virtudes cada vez mais elevadas e complexas. Uma virtude que está na base tem que ser cada vez mais sólida para sustentar o peso das virtudes de nível mais alto. Essa relação de sustentação é melhor visualizada na forma de uma pirâmide:

Figura 3 – Pilares

Essa visão não prega tabula rasa: todos têm algumas dessas virtudes mais ou menos desenvolvida. Ao longo da vida, deve-se trabalhar um pouco cada uma delas focando nas da base em um processo contínuo de “realimentação virtuosa”. Focar na aquisição de uma virtude sem ter adquirido ou reforçado os alicerces daquela ou daquelas que a sustentam causa um efeito negativo na formação moral e intelectual. Como será explicado, trabalhar a coragem sem ter adquirido humildade e paciência faz surgir imprudência e impetuosidade.

Figura 4 – Pilares sem sustentação

Você pode até trocar a ordem de algumas virtudes (determinação e coragem, por exemplo) e verificar se elas fazem sentido na nova ordem, mas entendo que fé e humildade estão nos lugares certos.

1. Humildade

Virtude daquele que conhece as suas próprias limitações e fraquezas e não tenta se projetar sobre as outras pessoas nem mostrar ser superior a elas. A modéstia e a simplicidade são qualidades do humilde.

2. Paciência

Virtude daquele que tem equilíbrio emocional, tolera erros e fatos indesejados, suporta as dificuldades, espera o momento certo para agir e não é ansioso. Sem humildade, paciência é apenas passividade.

3. Coragem

Virtude daquele que age apesar do medo, do temor e da intimidação. A pessoa sem temor motiva-se a ir mais além. Enfrenta os desafios com confiança e não se preocupa com o pior. O medo pode ser constante, mas o impulso nos leva adiante. Coragem é a confiança que temos em momentos de temor ou situações difíceis; é o que nos faz viver lutando, enfrentando os problemas e derrubando as barreiras impostas pelo medo. Sem humildade, coragem é apenas impetuosidade. Sem paciência, coragem é apenas imprudência.

4. Conhecimento

É ter ideia ou a noção de alguma coisa. É o saber. É a instrução e a informação adquiridas pelo estudo ou pela experiência. Sem humildade, conhecimento é vaidade. Sem paciência, o conhecimento adquirido é raso e incompleto. Sem coragem, novos conhecimentos não são adquiridos e os velhos não são abandonados.

5. Determinação

Determinação é a certeza íntima de direcionamento. Ser determinado é ter metas claras e definidas e uma convicção plena de que irá alcançá-las. A pessoa determinada possui uma vontade inquebrantável de atingir seus objetivos e tira sua motivação dessa fonte inesgotável de energia. Sem humildade, a determinação nos leva a estabelecer metas inatingíveis e pode nos causar muitos infortúnios. Sem paciência, a determinação pára no primeiro contratempo. Sem coragem, não se seguem as metas estabelecidas e não se enfrentam os desafios. Sem conhecimento, não se estabelecem metas claras e não se sabe quando parar e quando prosseguir.

6. Sabedoria

É a capacidade de determinar o melhor caminho a seguir e a melhor atitude a adotar nos diferentes contextos que a vida apresenta. Não é possível ser sábio se não tiver um vasto conhecimento em alguma área, se não tiver tido determinação para aprender, se não tiver tido coragem para enfrentar os desafios da vida, se não tiver tido paciência para passar pelas provações e se não tiver tido humildade para saber que nada sabia e continua sem saber.

7. Fé

É a convicção da existência de algum fato ou da veracidade de alguma asserção. A verdadeira fé só é compreendida por aqueles que ganharam muitos calos erguendo os demais pilares. Sem base moral e intelectual, “fé” é apenas fanatismo.