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Aplicação de Derivada para Maximização de Área Útil

A derivada em um ponto para uma função f(x) representa a taxa de variação instantânea em relação ao ponto e pode ser deduzida através do limite da função na tangente daquele ponto como descrevi em outro artigo. A grande aplicação prática das derivadas é na maximização e na minimização de funções. Essa é uma das formas de demonstrar porque os matemáticos são tão necessários à economia.

Problema

Queremos construir uma horta retangular de pequeno porte que disponibilize a maior área útil possível. Para isso, dispomos de apenas uma táboa de 20 metros de comprimento que deve ser cortada para delimitar a horta.

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Figura 1 – Horta idealizada

Estruturação Matemática

Chamaremos os lados da horta de x e y e pensaremos na horta como um retângulo assim:

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Figura 2 – Visualização da área hipotética

1) À partir da figura acima, calculamos o valor de um dos lados em relação ao outro lado da horta:

2x + 2y = 20
x + y = 10
y = 10 – x

2) A área de um retângulo é dada por:

A = x.y

Substituindo (1) em (2):

A = x(10 – x)
A = -x2 + 10x

Primeira derivada

A primeira derivada vai nos permitir descobrir o valor máximo de “x”. No artigo sobre limites, demonstrei como surge a derivada de um polinômio através do limite da função:

f(x) = -x2 + 10x
f'(x) = -2x + 10

Segunda Derivada

A segunda deriva nos dirá se a função representa um ponto de máximo ou de mínimo:

f”(x) = -2

Como o sinal do maior expoente é negativo, temos um ponto de máximo.

Encontrando os Valores

Igualar uma função a 0 indica que queremos encontrar o ponto de máximo ou de mínimo. Como o sinal do argumento de maior grau do polinômio na segunda derivada é negativo, já sabíamos tratar-se de um ponto de máximo.

-2x + 10 = 0
x = 5m

x + y = 10
5 + y = 10
y = 5m

Conhecendo os valores de x e y, podemos calcular a área máxima:

A = x.y
A = 5.5
A = 25m2

Conclusão

Não é por acaso que x é igual a y: o quadrado é o retângulo que melhor otimiza área:

derivada3

Figura 3 – Visualização da area máxima

O resultado obtido indica que todas as hortas deveriam ser quadradas? Se possível, sim. Nesse exemplo, a única restrição era o tamanho da tábua, o que permitiu que a derivada nos indicasse o quadrado como solução ótima. No mundo real, várias outras restrições poderiam existir, como formato do terreno, presença de obstáculos naturais ou artificiais ou uma parede delimitando um dos lados.

Se você acha que o resultado poderia ser melhor, vamos fazer alguns testes para te convencer. Se os lados medissem 2m e 8m respectivamente, a área da horta seria de 16m2. Se os lados medissem 4m e 6m respectivamente, a área da horta seria de 24m2. Os lados devem valer 5m para que a área seja a maior possível (25m2). Não foi a intuição que nos mostrou isso, mas sim a matemática, pois quando pensamos em uma horta normalmente temos em mente um retângulo como aquele da Figura 1 – a altura maior que a base. Chutando valores podemos até chegar na solução ótima uma vez que esse é um problema simples, mas a derivada dá um “tiro certeiro” e irrefutável.

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Figura 4 – Deixe o chute para quem sabe

Essa idéia de lados iguais também vale para latas com base circular: as latas que têm diâmetro da base próximo da altura oferecem maior volume com menor custo para produção da lata do que aquelas que não apresentam essa relação. Compare uma lata de Nescau clássica à uma lata de goiabada ambas com capacidade de 500g. É necessário mais metal para produzir a lata de goiabada, o que aumenta o custo de produção.

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