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Deduzindo Derivadas Através do Limite da Função

O limite é um conceito que nos ajuda a entender como uma função se comporta à medida que seu argumento se aproxima de certo valor. Esse conceito também pode ser interpretado como o limite de nossa compreensão sobre determinada função.

A matemática tem cenários que são verdadeiros “buracos negros” (divisão por zero, infinito). Um limite é a nossa melhor predição de um ponto observando a sua vizinhança próxima quando não podemos calcular esse ponto diretamente.

Limites nos permitem perguntar “e se…?”. Se nós pudéssemos observar uma função em um dado valor (como x=0 ou crescendo até o infinito), nós não precisaríamos de uma predição. Quando nossa predição é consistente e melhora à medida que nos aproximamos de um valor, nós nos sentimos confiantes.

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Figura 1 – Limite de uma função

Mesmo se não soubéssemos que função gerou esse gráfico, poderíamos utilizar algum artifício para estudá-la. Poderíamos assumir a hipótese de que há uma reta tangente a essa função em um ponto P e a partir daí analisar o comportamento daquela função naquele ponto, mas ainda assim não teríamos informações suficientes para extrair algum princípio dessa relação. Guarde essa idéia por enquanto, pois ela será a meta que atingiremos por outro caminho.

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Figura 2 – Tangente

Dois pontos P1 e P2 e uma secante nesses dois pontos é um bom começo, pois é possível medir a distância em linha reta entre esses dois pontos:

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Figura 3 – Secante

Dependendo da distância entre esses dois pontos, nosso erro pode ser maior ou menor. Para minimizarmos o erro da medição da distância, os pontos P1 e P2 devem ser muito…muito…muito…muito…está me acompanhando?…muito…muito…mas muito próximos um do outro até que a distância seja tão desprezível que a secante possa ser interpretada como a tangente de um dos pontos, o que nos remete à nossa primeira hipótese e possibilita atingirmos a meta.

Como estamos trabalhando com distâncias infinitamente pequenas, podemos utilizar uma figura geométrica simples e bem conhecida que nos permita inferir relações fundamentais entre os dois pontos observados. A figura mais interessante que podemos utilizar é o triângulo retângulo, pois Pitágoras já nos contou como os lados se relacionam: já conhecemos dois pontos cuja distância chamamos de tangente e, observando o plano cartesiano, sabemos o suficiente sobre os catetos:

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Figura 4 – Relações Trigonométricas

A derivada da função é a tangente desse triângulo, mas agora que mudamos o nosso foco também mudaremos a nomenclatura: chamaremos a tangente de um ângulo α em P1 de Δf/Δx. Foi Leibnitz quem propôs essa simbologia, pois ela é mais poderosa (tem mais semiose) que aquelas propostas por Newton (fofluxion ou fluxo), Lagrange (f’ – de-rivus, dérivés ou derivada) ou Arbogast (F). Descartes, se ainda fosse vivo naquela época, interpretaria essa notação como “a diferença daquilo que falo – f( ) – dividida pela diferença daquilo que ouço – ( )”. Sendo assim:

tg α = Δf/Δx

Finalmente, à partir das relações trigonométricas, abstraímos o limite genérico de uma função qualquer para Δx tendendo a zero:

limΔx→0 [f(x + Δx) – f(x)] ÷ Δx

Embora a derivada sirva para medir a taxa de variação de uma função em um ponto, seu grande poder está na possibilidade de maximizar ou minimizar a função. Para encontrar o ponto de máximo ou mínimo de uma função, basta igualá-la a zero (zephirum). Esse zero é o ponto em que um nível (fluxômetro) se estabiliza. No caso dos níveis de bolha, é o ponto e que a bolha está bem no centro da marcação:

nivel

Figura 5 – Nível de Bolha

É por esse motivo que igualávamos as equações a zero lá no ensino fundamental e no ensino médio, mas nossos professores nunca nos contaram. É provável que eles não soubessem, mas eles estavam nos ensinando a achar mínimos e máximos de funções sem que soubéssemo o que era uma derivada.

Derivadas das Funções

Podemos reduzir todas as derivadas possíveis a cinco grupos básicos: polinômio, seno, cosseno, logarítmo e exponencial. Com nosso limite genérico de uma função, podemos deduzir a derivada de cada um daqueles grupos.

limΔx→0 [f(x + Δx) – f(x)] ÷ Δx

Essas deduções visam satisfazer a curiosidade de quem não aceita fórmulas prontas para resolver os problemas – no caso, as derivadas. É claro que na prática você utilizará apenas o resultado de cada uma dessas deduções para aplicar na resolução de derivadas e integrais mais complexas.

Dedução da Derivada de Polinômio (xn)

Para um polinômio de grau dois:

f'(x) = limΔx→0 [f(x + Δx) – f(x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [(x + Δx)2 – x2] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [x2 + 2xΔx + Δx2 – x2] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 Δx[2x1 + Δx] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 2x1 + Δx

f'(x) = 2x + 0 = 2x

Para um polinômio de grau três:

f'(x) = limΔx→0 [f(x + Δx) – f(x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [(x + Δx)3 – x3] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [x3 + 3x2Δx + 3xΔx2 + Δx3 – x3] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 Δx[3x2 + 3xΔx + Δx2] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 3x2 + 3xΔx + Δx2

f'(x) = 3x2 + 3×0 + 02 = 3x2

Comentários:

  1. Para o polinômio de grau dois, desenvolvemos o quadrado da soma. Para o polinômio de grau três, desenvolvemos o cubo da soma.
  2. Se continuássemos a demonstração para polinômios de grau mais alto, deduziríamos uma regra geral para derivar qualquer polinômio:
nXn-1

Dedução da Derivada do Seno (sen)

f'(x) = limΔx→0 [f(x + Δx) – f(x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [sen(x + Δx) – sen(x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [(sen(x).cos(Δx) + sen(Δx).cos(x)) – sen(x)] ÷ Δx

f'(x) = [(sen(x).cos(0) + sen(0).cos(x)) – sen(x)] ÷ 0
f'(x) = [sen(0).cos(x)] ÷ 0
f'(x) = cos(x)

Comentários:

  1. Utilizamos o seno do arco duplo para remover a indefinição do Δx.
  2. “[sen (0)] / 0” é um limite fundamental que resulta 1. Para chegar a essa conclusão você deve observar o círculo trigonométrico em direção ao 0. Para um valor tendendo a 0, o seno, que é o cateto oposto de um triângulo retângulo centrado nesse círculo, é muito pequeno, mas não é zero – apenas tende a 0 e o comprimento do trecho do arco que encosta nesse cateto é numericamente equivalente a ele. Dois números iguais, sejam eles quais forem, divididos um pelo outro, resulta 1.
  3. O interessante dessa dedução é que do seno chegamos no cosseno.

Dedução da Derivada do Cosseno (cos)

f'(x) = limΔx→0 [f(x + Δx) – f(x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [cos(x + Δx) – cos(x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [(cos(x).cos(Δx) – sen(x).sen(Δx)) – cos(x)] ÷ Δx

f'(x) = [(cos(x).cos(Δx) – sen(x).sen(Δx)) – cos(x)] ÷ Δx
f'(x) = [(cos(x).cos(0) – sen(x).sen(0)) – cos(x)] ÷ 0
f'(x) = [(cos(x).1 – sen(x)) – cos(x)]
f'(x) = – sen(x)

Comentários:

  1. Utilizamos o cosseno do arco duplo para remover a indefinição do Δx.
  2. “[sen (0)] / 0” é um limite fundamental que resulta 1. Para chegar a essa conclusão você deve observar o círculo trigonométrico em direção ao 0. Para um valor tendendo a 0, o seno, que é o cateto oposto de um triângulo retângulo centrado nesse círculo, é muito pequeno, mas não é zero – apenas tende a 0 e o comprimento do trecho do arco que encosta nesse cateto é numericamente equivalente a ele. Dois números iguais, sejam eles quais forem, divididos um pelo outro, resulta 1.
  3. O interessante dessa dedução é que do cosseno chegamos no seno.

Dedução da Derivada de Logarítmo Natural (ln)

Essa dedução é atribuída a Euler. As passagens nos levam a pensar que ele não está chegando a lugar algum, mas a medida em que um limite fundamental vai se apresentando, nós entendemos tratar-se de um mestre em ação.

f'(x) = limΔx→0 [f(x + Δx) – f(x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [ln(x + Δx) – ln(x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 ln[(x + Δx) ÷ x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 (1 ÷ Δx) * ln[(x + Δx) ÷ x)]
f'(x) = limΔx→0 (1 ÷ Δx) * ln[1 + Δx ÷ x]
f'(x) = limΔx→0 (1 ÷ Δx) * ln[1 + (1 ÷ x) ÷ Δx)]
f'(x) = limΔx→0 (1 ÷ x)(x ÷ Δx) * ln[1 + (1 ÷ x) ÷ Δx]
f'(x) = limΔx→0 (1 ÷ x) * ln[1 + (1 ÷ x) ÷ Δx)]x ÷ Δx

f'(x) = limΔx→0 (1 ÷ x) * ln(1 + 1 ÷ ∞)
f'(x) = limΔx→0 (1 ÷ x) * ln(e)
f'(x) = 1 ÷ x

Comentários:

  1. Essa dedução nos lembra que para resolver um problema matemático é necessário ter uma meta bem clara: deve-se saber onde se quer chegar.
  2. limn→∞ (1 + 1÷n)n é um limite fundamental que resulta “e”. Mostrei em outro artigo como chegar nesse número.
  3. A derivada de “ln x” é “1/x”. A derivada de “sen (x)” é “1/sen(x)”. A derivada de “ln abacaxi” é “1/abacaxi”. A derivada de “ln pamonha” é “1/pamonha”. De forma geral, a derivada da coisa resulta no inverso da própria coisa.

Dedução da Derivada de Exponencial (ex)

A dedução da derivada da exponencial é um caso a parte. Vamos mostrar duas formas de deduzí-la: uma partindo do limite fundamental e utilizando um artifício para eliminar a indeterminação do Δx e outra com o uso de logarítimo.

Primeira Dedução: Limite Fundamental

f'(x) = limΔx→0 [f(x + Δx) – f(x)] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [ex + Δx – ex] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [ex.eΔx – ex] ÷ Δx
f'(x) = limΔx→0 [ex(eΔx – 1)] ÷ Δx
f'(x) = ex(e0 – 1) ÷ 0

f'(x) = ex

Segunda Dedução: Logarítimo Natural

Não por acaso, essa dedução da derivada da exponencial foi feita com logarítimos naturais, que nos remetem a noção de infinito determinado pela letra “e”, ou seja, essa classe de logarítimos está intimamente relacionada com as funções exponenciais. Essa relação fica mais clara se você observar o gráfico das duas funções:

exp_log_plot

Figura 6 – Relação entre exponencial e logarítmo

Note a simetria das duas funções. É como se uma das funcões fosse o reflexo da outra em um espelho. Sabendo dessa relação e levando em conta que “logarítimos são do bem”, vamos utilizar logarítimos naturais para que possamos usufruir das suas propriedades fundamentais em nossa dedução da exponencial:

f(x) = ex
ln f(x) = ln ex
ln f(x) = xln e
ln f(x) = x1
[1 ÷ f(x)] f'(x) = 1
f'(x) = f(x)

f'(x) = ex

Comentários:

  1. Veja que curioso: a derivada da exponencial é a própria exponencial.
  2. Na primeira demonstração, utilizamos o limite fundamental (ex -1) ÷ x que resulta 1, mas perceba que, naquele caso, se Δx tende a 0, não estamos lidando com o 0, mas sim um número infinitamente pequeno.

Referências

1. [http://www.eeweb.com/toolbox/math-help]

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