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Ao Infinito e Além

O João de Barro é uma ave muito popular entre as regiões Sul, Sudeste e Centro-Oeste do Brasil. Ele é mais conhecido pelo seu ninho de barro com formato de forno:

Ninho-do-João-de-Barro

Figura 1 – Um João de Barro e seu ninho

Em uma das aulas do curso de matemática que estou assistindo, o professor descreveu uma pesquisa que visava comprovar a hipótese de que o João de Barro era capaz de contar e qual era o limite da sua suposta capacidade de contar. Não encontrei referências para essa pesquisa na Internet, mas vamos acreditar no professor. Por causa da analogia entre essa história e o conceito de infinito aplicado à matemática, o museu tem alguns ninhos de João de Barro espalhados pela área de visitação.

Para a pesquisa feita com o João de Barro, foi instalada uma área de observação camuflada em uma árvore próxima à árvore onde estava o ninho:

  1. Primeiro teste: um pesquisador escalou a árvore de observação e verificou-se que a ave se afastou do ninho ao perceber a presença do estranho. A ave só retornou ao ninho depois que o pesquisador desceu.
  2. Segundo teste: subiram dois pesquisadores. A ave novamente se afastou ao suspeitar dos invasores em seu perímetro de segurança. O primeiro pesquisador desceu, mas a ave não voltou. Após a descida do segundo observador, a ave regressou, o que era um indício de que o João de Barro estava fazendo algum tipo de contagem.
  3. Terceiro teste: o teste continuou com três pesquisadores. O comportamento foi análogo: a ave só retornou após a descida do terceiro pesquisador.
  4. Quarto teste: com quatro pesquisadores, a memória do passarinho o traiu: após a descida do terceiro pesquisador, o João de Barro voltou ao ninho, mas ainda havia um pesquisador na área de observação suspensa!
  5. A capacidade de contar é uma vantagem evolutiva que ajuda o João de Barro a escapar de seus principais predadores, como a Coruja Caburé, o Gavião Carijó e o “Pesquisador do Papo Amarelo”. Pense comigo: o que uma criatura tão frágil quanto esse passarinho ganharia sabendo que há mais de três predadores à espreita? Para a relação do João de Barro com seus predadores e levando em conta que ele não teria como fugir de uma “associação criminosa” de elementos de alta periculosidade, três parece até ser um número elevado demais. Até 3 o João de Barro sabe contar, mas o que seriam para ele 4, 5 ou 1000000? Para ele, qualquer coisa maior que 3 é o infinito, pois está além de sua capacidade de contagem.

    Assim como o João de Barro, nós também temos limites para nossa capacidade de contagem, mas esse limite varia de pessoa para pessoa e costuma estar associado às idéias e pouco de muito. Faça o seguinte teste: imagine uma caixa de 1m x 1m x 1m no centro de um auditório. Multiplique-a por dois e assim sucessivamente. Em algum momento, o número de caixas será tão grande que você achará tratar-se de um absurdo. Outro teste: pegue dez balas e coloque sobre uma mesa em frente a uma criança pequena e diga que as balas são dela. Distraia a criança e tire uma bala. Ela não vai perceber que a quantidade diminuiu, pois nove, dependendo da criança, pode ser um número elevado. Se tirar cinco balas de uma vez ela vai acabar notando.

    Embora o conceito de infinito encontre uma definição em vários campos como na filosofia e na religião, a matemática é o campo que mais contribuiu para sua compreensão. Nesse campo, um dos maiores contribuidores foi Georg Cantor com seu conceito de Infinito Absoluto. Na matemática, o infinito é uma abstração que representa tudo aquilo que está além do limite da nossa capacidade de compreensão de um problema. Como o infinito não é um número, não faz muito sentido pensar que ∞ + 1 seria um número maior que o infinito ou que ∞ / 2 seria a metade do caminho entre 0 e o infinito. O símbolo de infinito ∞ foi criado por John Wallis em 1655 e é por vezes chamado de Lemniscata de Bernoulli.

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    Figura 2 – Símbolo do Infinito – Formato análogo ao da Lemniscata de Bernoulli

    Os povos da antiguidade já tinham matemática desenvolvida – a álgebra dos árabes, por exemplo. A matemática para esses povos visava resolver problemas do cotidiano como o cálculo de áreas e a partilha de bens. Como tudo era passível de contagem, o infinito ainda não estava pronto para ser compreendido.

    05 - L'infinito

    Figura 3 – Em busca do infinito

    O Infinito e os Limites

    O infinito é muito utilizado para compreensão dos limites. Veja esse exemplo para x → ∞:

    lim x→∞ 1/x = 0

    Quando ∞ aparece no denominador, o valor resultante é infinitamente pequeno. Para o estudo dos limites, podemos afirmar que aquilo que é infinitamente pequeno é zero. Veja esse outro exemplo para x → 0:

    lim x→0 1/x = ∞

    Os limites laterais de uma função f(x) em um ponto existem se eles forem finitos. Nesse exemplo, os limites laterais em torno de zero não existem e acabamos incorrendo no ∞, o que indica que está além da nossa capacidade de compreensão. Sendo assim, dizemos que a função f(x) não possui limite quando x = 0.

    Referências

    1. [https://www.youtube.com/watch?v=WYijIV5JrKg]
    2. [https://www.youtube.com/watch?v=dDl7g_2x74Q]
    3. [https://www.youtube.com/watch?v=elvOZm0d4H0]
    4. [https://jhcruz.mat.ufg.br/up/39/o/Cap%C3%ADtulo_3.pdf]
    5. [http://www.somatematica.com.br/superior/limites/limites4.php]

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  1. Carol
    05/10/2016 às 11:15 AM

    Excelente post! Sua explicação do experimento foi fiel ao que o professor citou na aula.

  1. 04/10/2016 às 8:06 AM
  2. 13/10/2016 às 7:57 AM
  3. 04/11/2016 às 6:27 AM
  4. 01/12/2016 às 6:54 AM
  5. 02/12/2016 às 7:13 AM
  6. 09/12/2016 às 7:06 AM

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