Início > Matemática > Questão do MIT Sobre Triângulo Retângulo

Questão do MIT Sobre Triângulo Retângulo

O canal MindYourDecisions propõe desafios matemáticos interessantes. Eles compartilharam uma questão de admissão do MIT (Massachusetts Institute of Technology) proposta em 1869:

A perpendicular traçada do vértice de um triângulo retângulo até a hipotenusa divide-a em dois segmentos de 9 e 16 respectivamente. Encontre o comprimento da perpendicular e os dois catetos do triângulo.

A resolução deles, que está no vídeo do canal, usa semelhança de triângulos. Eu cheguei à solução usando só álgebra, mas primeiro desenhei o triângulo descrito para poder visualizar o problema:

xyz

Figura 1 – Um triângulo retângulo formado por dois outros triângulos retângulos

“x” e “y” são os catetos e “z” é a perpendicular como foi descrita. Da figura, extraí as seguintes relações:

(1) y2 = 625 – x2
(2) z2 = x2 – 256
(3) z2 = y2 – 81

Substituindo (2) em (3) com o objetivo de tirar a dependência de “z”:

x2 – 256 = y2 – 81
(4) y2 = x2 – 175

Substituindo (4) em (1) para descobrir o valor de “x”:

x2 – 175 = 625 – x2
2x2 = 800
(5) x = 20

Substituindo (5) em (1) para descobrir o valor de “y”:

y2 = 625 – 400
y = 15

Por fim, basta aplicar Pitágoras em um dos dois triângulos retângulos ou fazer as substituições diretamente em qualquer uma das três equações que trabalhamos em função de “x”, “y” e “z” para deduzir o valor de “z”, que é a perpendicular:

z2 = 400 – 256
z = 12

Solução

Das relações algébricas, concluímos que o cateto do triângulo maior (hipotenusa valendo 16) tem comprimento 20, o cateto do triângulo menor (hipotenusa valendo 9) tem comprimento 15 e o comprimento da perpendicular vale 12.

Anúncios
  1. Nenhum comentário ainda.
  1. No trackbacks yet.

Deixe um comentário

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair / Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair / Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair / Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair / Alterar )

Conectando a %s

%d blogueiros gostam disto: