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O Último Teorema de Fermat

A matemática não é uma caminhada cuidadosa através de uma estrada bem conhecida; é uma jornada por uma terra selvagem e estranha onde os exploradores frequentemente se perdem. A exatidão deve ser um sinal aos historiadores de que os mapas já foram feitos e os exploradores se foram para outras terras. W. S. Anglin

A prova é o ídolo diante do qual o matemático se tortura. Sir Arthur Eddington

Os padrões criados pelo matemático, como os do pintor ou do poeta, devem ser belos; as ideias, como as cores ou as palavras, devem se encaixar de modo harmonioso. A beleza é o primeiro desafio: não existe lugar permanente no mundo para a matemática feia. G. H. Hardy

Pierre de Fermat (1601-1665) foi um magistrado francês. As contribuições para a matemática que fez em seus momentos de lazer o fizeram passar para a história com a alcunha de Príncipe dos Amadores, mas Blaise Pascal o considerava o maior matemático de seu tempo. Embora tenha deixado grandes contribuições para o cálculo integral em particular, ficou mais conhecido por aquilo que ele não fez.

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Figura 1 – Pierre de Fermat

O Último Teorema de Fermat tem esse nome porque foi o último de muitos problemas que Fermat legou à posteridade e que foram solucionados ao longo dos séculos. Trata-se de uma generalização do Teorema de Pitágoras “anotada” na margem da página 61 da cópia do livro Aritmética, de Diofante, que Fermat possuía. Essa anotação foi publicada pelo filho mais velho de Fermat em 1670. Embora a anotação de Fermat caracterize uma hipótese, pois era apenas uma expeculação extraída da observação de alguns casos particulares, passou para a história como um teorema porque demorou mais de 300 anos para ser solucionada.

O curioso é que qualquer aluno do ensino fundamental é capaz de entender o Teorema de Pitágoras, que foi o objeto de interesse do Último Teorema. O Teorema de Pitágoras afirma:

A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa

Ou seja,

x2 + y2 = z2

Lê-se essa expressão como: “a soma de dois quadrados resulta em um terceiro quadrado”. O famoso triângulo “3,4,5”, ou “Triângulo Pitagórico”, é expresso assim:

32 + 42 = 52

Apresentação1

Figura 2 – Triângulo Pitagórico

Note que a soma das áreas dos quadrados vermelho (42) e amarelo (32) resulta no quadrado de área 52. Os números que satisfazem o Teorema de Pitágoras são chamados de trios pitagóricos ou ternos pitagóricos. A expressão abaixo também é uma possível solução:

(x2 – y2)2 + (2xy)2 = (x2 + y2)2

Fermat, variando as potências da equação de Pitágoras, chegou a uma conclusão e a anotou em seu livro:

É impossível para um cubo ser escrito como a soma de dois cubos ou uma quarta potência ser escrita como a soma de duas quartas potências ou, em geral, para qualquer número que é uma potência maior do que a segunda, ser escrito como a soma de duas potências com o mesmo expoente

Ou seja,

xn + yn ≠ zn, ∀ n > 2 e n ∈ Z

A afirmação de que “n” pertence ao conjunto dos inteiros fica implícita se observarmos os testes que Fermat fez, mas teoricamente a hipótese se aplica também aos números racionais. Podemos generalizar a afirmação assim:

xn + yn ≠ zn, ∀ n > 2 e n ∈ Q

Na continuação da “anotação”, Fermat alega:

Descobri uma demonstração maravilhosa desta proposição que, no entanto, não cabe nas margens deste livro

O problema é que essa demonstração nunca foi encontrada. Muitos matemáticos, inclusive o grande Leonhard Euler, desafiaram o Teorema, mas foram vencidos por ele. As tentativas de solução do Teorema ao longo da história foram responsáveis pela criação de muitas ferramentas matemáticas utilizadas até hoje. Kummer, em 1847, ao tentar demonstrar o Teorema, criou o método dos divisores complexos que ele chamou de números complexos ideais. Essa contribuição possibilitou o desenvolvimento da teoria dos números.

Em meados do século XX, os matemáticos japoneses Yutaka Taniyama e Goro Shimura elaboraram uma conjectura onde se postulava que para cada equação elíptica havia uma forma modular correspondente. Se a conjectura estivesse correta, ela poderia ser aplicada ao Último Teorema de Fermat – a prova da conjectura implicaria Fermat, pois acreditava-se que o Último Teorema descrevia curvas elípticas modificadas.

As curvas elípticas não são curvas nem elipses, entretanto, receberam este nome porque no passado eram usadas para medir o perímetro de elipses e os comprimentos das orbitas dos planetas. Simplificadamente vamos definir curvas elípticas como o conjunto de pontos que satisfazem um certo tipo de equação polinomial.

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Figura 3 – Exemplos de Curvas Elípticas

Uma forma modular é uma função analítica complexa sobre o semiplano superior que satisfaz um certo tipo de equação funcional e condição de crescimento. A simetria das formas modulares pode ser observadas nas construções metamórficas de Maurits Cornelis Escher. Na imagem abaixo, observe a transformação de morcegos em anjos:

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Figura 4 – Círculo Limite IV, de Mauritz Escher: a simetria das formas modulares

Em 23 de junho de 1993, em uma Conferência no Sir Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences em Cambridge, o britânico Andrew Wiles, passados 356 anos desde a apresentação do teorema, anuncia que tem uma demonstração, para assombro de todos os presentes. Havia uma falha na demonstração, mas ela foi corrigida em Outubro de 1994. Na Universidade de Cambridge, na Inglaterra, ele levou uma hora para escrever sua comprovação no quadro-negro e encerrou a apresentação dizendo:

Toda curva elíptica e semi-estável é modular. Acho que vou parar por aqui.

Wiles provou um caso particular – para curvas ditas semi-estáveis – da Conjectura de Taniyama-Shimura, pois sabia-se já havia algum tempo que este caso implicava o Teorema. A prova utilizava ferramentas matemáticas bastante elaboradas da Teoria dos números, como as curvas elípticas, as formas modulares e representações galoisianas. Essa matemática não existia na época em que viveu Fermat.

Questionado sobre a existência da demonstração feita por Fermat, Andrew Wiles disse que duvidava que ela existisse. Wiles utilizou muitos conceitos matemáticos que só foram inventados no século XX. Ainda que Fermat tivesse uma prova, é provável que ela estivesse incorreta.

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Figura 5 – Andrew Wiles

Eu tive o raro privilégio de conquistar, em minha vida adulta, o que fora o sonho da minha infância. Sei que este é um privilégio raro, mas se você puder trabalhar, como adulto, com algo que significa tanto para você, isto será mais compensador do que qualquer coisa imaginável. Tendo resolvido este problema, existe um certo sentimento de perda, mas ao mesmo tempo há uma tremenda sensação de liberdade. Eu fiquei tão obcecado por este problema durante oito anos, pensava nele o tempo todo – quando acordava de manhã e quando ia dormir de noite. Isto é um tempo muito longo pensando só em uma coisa. Esta odisséia particular agora acabou. Minha mente pode repousar. Andrew Wiles

Referências

1. SINGH, Simon, O Último Teorema de Fermat, 1.ed. Rio de Janeiro: Record, 2002.
2. [BBC Horizon Fermat’s Last Theorum. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=Sj8TbbIuOL4%5D
3. [The Bridges to Fermat’s Last Theorem – Numberphile. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=nUN4NDVIfVI%5D
4. [Fermat’s Last Theorem – Numberphile. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=qiNcEguuFSA%5D
5. [http://www.atractor.pt/jars/fermat/ajuda/stereoP/descri/teoremaFermat.htm]
6. [http://www.somatematica.com.br/artigos/a16/index.php]
7. [http://www.infoescola.com/matematica/ultimo-teorema-de-fermat/]
8. [http://projetos.unioeste.br/cursos/cascavel/matematica/xxivsam/artigos/38.pdf]

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  1. Andreia
    13/09/2016 às 8:46 AM

    Parabéns pelo artigo, Rodrigo. Compacto e claríssimo!

  2. 13/09/2016 às 11:35 AM

    Obrigado.

  1. 02/12/2016 às 7:14 AM

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