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A Regra dos Sinais Definida por Convenção Humana

Apresentei uma prova algébrica da regra dos sinais que implicitamente deixava nas mãos da natureza a responsabilidade de resolver a incoerência da área da forma geométrica, pois naquela demonstração era necessário que o produto dos números negativos fosse positivo para completar a área do quadrado. No Almanaque das Curiosidades Matemáticas, Ian Stewart, professor de matemática na Universidade de Warwick, Inglaterra, argumenta que o resultado positivo da multiplicação de valores negativos é uma convenção humana consciente e não um princípio da natureza. A linha de raciocínio dele é coerente. Vou expor a argumentação e a conclusão a que ele chegou.

Hipótese Inicial

Em princípio, temos a liberdade de definir (-2) * (-3) como bem entendermos. A principal questão não é quanto ao valor real, mas sim quanto ao valor adequado. Em outras palavras, o importante é o valor que estamos interessados em obter. Diversas linhas de pensamento convergem para o mesmo resultado:

(-2) * (-3) = +6

Primeiro Argumento

Um número negativo pode ser interpretado como uma dívida. Se sua conta no banco contém R$-3,00, então você deve R$3,00 ao banco. Suponha que sua dívida seja multiplicada por R$2,00 (positivo): nesse caso, ela certamente se transformará em uma dívida de R$6,00. Portanto, faz sentido insistir que (+2) * (-3) = -6, mas o que seria (-2) * (-3)? Bem, se o banco perdoar amavelmente as duas dívidas de R$3,00, você terá R$6,00 a mais – sua conta se alterou exatamente como se alteraria se você tivesse depositado R$6,00. Portanto, em termos bancários, queremos que (-2) * (-3) seja igual a +6 – para você ou para o banco.

Segundo Argumento

O segundo argumento é que (+2) * (-3) e (-2) * (-3) não podem ser ambos iguais a +6. Se fosse assim, poderíamos eliminar o (-3) e deduzir que +2 = -2!

(+2) * (-3) = (-2) * (-3)
+2 = -2

Terceiro Argumento

O terceiro argumento se inicia ressaltando uma premissa não declarada no segundo argumento: de que as leis habituais da aritmética devem continuar válidas para os números negativos. Se quisermos que as leis habituais continuem válidas visando apenas a elegância matemática, podemos colocar o (-3) em evidência:

(+2) * (-3) + (-2) * (-3) = 0
(-3) * (+2 – 2) = 0
(-3) * 0 = 0
0 = 0

Por esse caminho não concluímos nada. Podemos também somar (+6) de cada lado da equação:

(+2) * (-3) + (-2) * (-3) = 0
(-6) + (-2) * (-3) + 6 = 0 + 6
(-2) * (-3) = + 6

De fato, um argumento semelhante justifica que (+2) * (-3) é igual a -6.

A Conclusão de Ian Stewart

A elegância matemática nos leva a definir que menos vezes menos é igual a mais. Em aplicações como nas finanças, essa escolha se adapta diretamente à realidade. Assim, além de mantermos a simplicidade da aritmética, acabamos com um bom modelo para certos aspectos importantes do mundo real. Poderíamos fazer a coisa de um jeito diferente, mas acabaríamos complicando a aritmética e reduzindo sua aplicabilidade. Basicamente, essa é a melhor solução. Ainda assim, “menos com menos dá mais” é uma convenção humana consciente, e não um fato inevitável da natureza.

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