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A Maneira Árabe de Resolver Equações do Segundo Grau

A álgebra é uma das mais importantes contribuições dos árabes para a matemática e Al-Khwārizmī (780-850) foi um dos maiores expoentes. Uma curiosidade: a palavra “algarismo” vem de Al-Khwārizmī. Escrevi sobre o uso da álgebra para explicar porque o produto de dois números negativos resulta um número positivo.

al-khawarizmi_thumb

Figura 1 – Al-Khwārizmī

Os algebristas eram os juízes que solucionavam os problemas da vida cotidiana que envolvessem principalmente partilha de bens. A forma como era feita a partilha de bens de acordo com a lei muçulmana era complicada e demandava a mediação de matemáticos. Em um dos seus escritos, Al-Khwārizmī descreveu o “método do lenço dobrado em quatro partes”:

MA5001

Figura 2 – Lenço dobrado em quatro partes

Tendo um problema para resolver, a primeira coisa que ele fazia era reduzir a equação para uma de seis formas padrão:*

  1. quadrado igual a uma raiz (ax² = bx)
  2. quadrado igual a um número (ax² = c)
  3. raiz igual a um número (bx = c)
  4. quadrado e raiz igual a um número (ax² + bx = c)
  5. quadrado e número igual a uma raiz (ax² + c = bx)
  6. raiz e número igual a um quadrado (bx + c = ax²)

* {a, b, c} ∈ Z+

Em seguida, um lenço branco lavado com leite de cabra – água era e ainda é um problema no Oriente Médio – era dividido em quatro partes e nele era escrito com carvão os valores que foram multiplicados para originar o polinômio simplificado assim como os resultados parciais das multiplicações – áreas. Vamos ver um exemplo de como a partilha de bens era feita no mundo árabe.

Exemplo

Dois herdeiros deveriam dividir os 16 camelos deixados pelo pai. O filho mais velho ficaria com 6 vezes um determinado valor enquanto o filho mais novo ficaria com o quadrado desse mesmo valor. Qual é esse valor?

A equação do segundo grau que representa essa partilha já está reduzida:

X² + 6X = 16

Para podermos representar a divisão no lenço e encontrar aquilo que está escondido (“X”, que se lê shay e se traduz como “escondido”), temos que fracionar o membro composto 6X:

X² + 3X + 3X = 16

Note que a equação continua a mesma. Agora vamos passar esse polinômio para nosso lenço:

lenco1

Figura 3 – Organização do problema

Um quadrado de lado 3 três tem área igual a 9. Essa parte foi revelada pelo simples processo de desenhar nossa equação no lenço. Você percebeu que o resultado das somas das demais áreas já é conhecido? Já sabemos que o resultado da soma daqueles polinômios é 16 e podemos substituir no lenço:

lenco2

Figura 4 – Organização da solução

A soma dessas duas áreas é igual à área de um quadrado de lado 5 (± √25), mas também sabemos que o lado do quadrado é X + 3. É claro que na época dos árabes não fazia sentido que o lado do quadrado fosse negativo, mas à medida que a matemática evoluiu, foi necessário fazer essa abstração – uma equação do segundo grau tem duas soluções (raízes). Vamos calcular as duas soluções:

X + 3 = ± √25

X₁ ≡ X + 3 = 5 ≡ 2

X₂ ≡ X + 3 = -5 ≡ -8

Portanto, 2 e -8 são as possíveis soluções ou raízes dessa equação, mas no mundo árabe apenas o valor 2 seria compreendido e aceito.

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