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A Geodésica da Aranha

No artigo Primeiras Impressões do Curso Prandiano, mostrei com um exemplo como nossa intuição nos conduz ao erro. O exemplo consistia em imaginar uma corda em volta de um giz e outra em volta da Terra. Em seguida, cortávamos cada uma das cordas e adicionávamos 1 metro de corda. Perguntei qual superfície (giz ou Terra) era mais distante da corda adicionada de 1 metro que a circundava. Nossa intuição diria que era o giz, mas a álgebra mostrou que a distância não dependia do raio do objeto. Portanto, a distância da corda à superfície do giz era igual à distância da corda à superfície da Terra.

O professor apresentou outro problema interessante demonstrado por Henry Ernest Dudeney (1857 – 1930) que mostra como a matemática vence a intuição.

Henry_Dudeney

Figura 1 – Henry Ernest Dudeney

Suponha uma caixa fechada de dimensões 30 cm x 12 cm x 12 cm. Dentro da caixa há uma aranha e uma mosca. A aranha está a 1 cm da base da caixa e a mosca está a 1 cm da tampa, mas na lateral oposta à da aranha, separadas pelo lado mais comprido (30 cm). Pergunta-se: qual a menor distância que a aranha deve percorrer para alcançar a mosca? Obs.: as imagens que se seguem estão fora de escala.

paralelepipedo2

Figura 2 – Solução simples

No exemplo, a aranha pode ir pela tampa – linha vermelha da figura acima – ou pelo chão. Em ambos os casos, ela percorrerá 42 cm: 11 cm na parede em que está, 30 cm pela tampa e mais 1 cm da tampa para a mosca na lateral oposta.

Essa é uma solução válida típica de quem vê o problema quando está imerso nele. Com o perdão do trocadilho, vamos pensar fora da caixa. A matemática euclidiana (geometria plana) nos ensina que a menor distância entre dois pontos é um segmento de reta. Porém, na geometria riemanniana (geometria curva), a menor distância pode não ser uma reta. Em uma estrutura tridimensional como uma caixa é difícil visualizar uma solução melhor que a apresentada. Vamos, então, desmontar a caixa para ver uma estrutura onde se pode utilizar a geometria plana:

paralelepipedo3

Figura 3 – Caixa desmontada

A menor distância a ser percorrida é mesmo uma linha reta, mas sem desmontar a caixa não seria possível ver que a aranha teria que atravessar paredes na diagonal – tomando a parede como referencial. Agora, podemos resolver o problema utilizando o Teorema de Pitágoras, pois o segmento de reta é a hipotenusa de um triângulo retângulo:

c = √(a*a + b*b)
c = √(32*32 + 24*24)
c = √1600
c = 40

Com a intuição descobrimos que a distância era de 42 cm, mas com a trigonometria reduzimos a distância para 40 cm. A esse caminho mínimo percorrido pela aranha da-se o nome de “Geodésica da Aranha”.

paralelepipedo4

Figura 4 – Geodésica da Aranha

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