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Como Contar Todos os Dígitos de Todos os Números Existentes entre 1 e 1000000

Suponha que você precisa contar todos os dígitos de todos os números do conjunto dos números inteiros compreendidos entre 1 e 1000000 [1, 1000000]:

1 + 2 + 3 + 4 + … + 999996 + 999997 + 999998 + 999999 + 10000000

No artigo Como Somar Todos os Números Existentes Entre 1 e 100, expliquei um artifício inventado por Gauss para somar os números existentes entre um intervalo – no caso, [1, 100].

Nesse artigo, explicarei como fazer a contagem de todos os dígitos de de todos os números existentes entre 1 e 1000000. Em outras palavras, 23 mais 1000000 resulta 6, pois será feita a soma 2 + 3 + 1 + 0. Primeiro, vamos adicionar o 0:

0 + 1 + 2 + 3 + 4 + … + 999996 + 999997 + 999998 + 999999 + 10000000

Por enquanto, vamos manter o número 1000000 de fora. A solução consiste em contar pares de números dessa forma:

1° par: o primeiro (0) com o último (999999)
2° par: o segundo (1) com o penúltimo (999998)
3° par: o terceiro (2) com o ante-penúltimo (999997)
(…)

Todas as somas dos pares vão totalizar 999999:

1° par: 0 + 999999 = 999999
2° par: 1 + 999998 = 999999
3° par: 2 + 999997 = 999999
(…)

Como todos os pares resultam em 999999, basta somar todos os dígitos do 999999 e multiplicar pela quantidade de pares:

( 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 ) x 500000 = ( 54 ) x 500000 = 27000000

Por último, vamos somar o 1 do 1000000, pois esse valor ficou de fora dessa regra:

27000000 + 1 = 27000001

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