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Uma Explicação Sobre o Valor da Constante Matemática (e)

A constante (e) foi introduzida por Leonhard Euler em 1727. Ela é utilizado como base dos logaritmos naturais (ln x) e ainda se discute se a escolha dessa letra vem da palavra exponencial ou da palavra Euler:

Leonhard_Euler

O valor da constante (e) é 2,718281828459…, mas o que há de especial nesse valor? Ele é uma representação do infinito na Lei do Infinito Limitado (Infinitum Limes Canon). Para ser mais preciso, o limite de nossa compreensão quando um número tende ao infinito – lembre-se que infinito não é um número, mas sim uma abstração – não ultrapassa (e) e essa compreensão de limite é simbolizada por:

lim_e

Mas como se chegou a esse valor de (e) e aquele limite? A explicação vem do estudo dos juros compostos.

Os Juros Compostos

Os juros compostos são a aplicação de juros sobre juros (interest on interest). Eles são muito utilizados pelo sistema financeiro, pois oferecem maior rentabilidade se comparados aos juros simples. A fórmula dos juros compostos carece de semiose:

M = C * (1 + i)t

Onde:

M: montante
C: capital
i: taxa de juros
t: tempo de aplicação

Em um primeiro momento vamos apenas desdobrar essa fórmula para mostrar o retorno do investimento em cada parcela do período, mas logo após os exemplos vamos melhorar nossa compreensão:

1. Para um capital de 1 e juros de 100% ao ano

C1 = C0 + C0 x 1,00 = 2,00

2. Para um capital de 1 e juros de 50% ao semestre

C1 = C0 + C0 x 0,5 = 1,50
C2 = C1 + C1 x 0,5 = 2,25

3. Para um capital de 1 e juros de 25% ao trimestre

C1 = C0 + C0 x 0,25 = 1,25
C2 = C1 + C1 x 0,25 = 1,56
C3 = C2 + C2 x 0,25 = 1,95
C4 = C3 + C3 x 0,25 = 2,44

Essa semiose é fraca para compreender o que realmente está acontecendo com o capital aplicado. A epistemologia nos ajudará a aumentar a noesis para assim melhorar nossa capacidade de compreensão e nos permitir simbolizar:

1. Para um capital de 1 e juros de 100% ao ano

(1 + 1/1)1 = (1/1 + 1/1)1 = (2/1)1 = 2,00

2. Para um capital de 1 e juros de 50% ao semestre

C1 = (1 + 1/2)1 = (2/2 + 1/2)1 = (3/2)1 = 1,50
C2 = (1 + 1/2)2 = (2/2 + 1/2)2 = (3/2)2 = 2,25

3. Para um capital de 1 e juros de 25% ao trimestre

C1 = (1 + 1/4)1 = (4/4 + 1/4)1 = (5/4)1 = 1,25
C2 = (1 + 1/4)2 = (4/4 + 1/4)2 = (5/4)2 = 1,56
C3 = (1 + 1/4)3 = (4/4 + 1/4)3 = (5/4)3 = 1,95
C4 = (1 + 1/4)4 = (4/4 + 1/4)4 = (5/4)4 = 2,44

Parece que ficou mais claro. Notou que à medidade que aumentamos a divisão no tempo diminuímos o valor recebido em cada uma das parcelas, mas em contrapartida aumentamos o montante? Percebeu também que podemos escrever a equação em função da quantidade de divisões que o período sofreu (semestral igual a 2 e trimestral igual 4)? Agora vamos extrapolar essa divisão.

O Infinito Limitado

1. Para um capital de 1 e juros de 1/100 em 1 unidade de tempo

(1/1 + 1/1)1 = 2,0000…

2. Para um capital de 1 e juros de 10/100 em 100 unidades de tempo

(1 + 1/10)10 = 2,5937…

3. Para um capital de 1 e juros de 10000000000/100 em 10000000000 unidades de tempo

(1 + 1/10000000000)10000000000 = 2,7181…

4. Para um capital de 1 e juros de 1000000000000000/100 em 1000000000000000 unidades de tempo

(1 + 1/1000000000000000)1000000000000000 = 2,7181…

À partir de um certo valor, qualquer divisão que façamos terá como resultado 2,7181…. Portanto, 2,7181… é o infinito representado pela constante (e) e generalizado pelo símbolo abaixo, pois esse é o limite da nossa compreensão:

lim_e

Um Pequeno Jogo

Proponha o seguinte jogo para impressionar seus colegas: peça-lhes que pensem em um número muito, mas muito grande. Em seguida, eles devem dividir o número 1 por aquele número e somar 1. Por fim, eles devem elevar o resultado ao número pensado. Antes de obterem o resultado, diga que será 2,7181 s surpreenda-os.

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  1. 22/05/2016 às 8:10 PM

    Achei um vídeo que mostra como chegar no (e) utilizando juros compostos e como chegar em (pi) à partir do (e):

  1. 04/10/2016 às 8:06 AM
  2. 14/08/2017 às 9:30 AM

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