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Prova Algébrica da Regra dos Sinais

Não me diga que você aprendeu a regra dos sinais assim:

(+) x (+) = (+), pois o amigo do meu amigo é meu amigo
(+) x (-) = (-), pois o amigo do meu inimigo é meu inimigo
(-) x (+) = (-), pois o inimigo do meu amigo é meu inimigo
(-) x (-) = (+), pois o inimigo do meu inimigo é meu amigo

Comigo foi pior: tive que aceitar que “menos com menos é mais” sem ter um amigo a quem recorrer. Essas são provas da falência do sistema educacional brasileiro. A essência da matemática como ela foi concebida por seus maiores e menores expoentes – com o perdão do trocadilho – foi perdida ao longo de séculos de traduções e adaptações mal feitas.

Vamos colocar o problema dos sinais em perspectiva e associá-lo a uma imagem, pois era assim que os antigos matemáticos faziam. Considere um quadrado de lado b:

negativo2

Figura 1 – Quadrado de lado “b”

Vamos dividir esse quadrado em quatro partes e assumir que o primeiro quadrado tem lado a. Partindo daí, deduzimos que os demais quadrados são relacionados à b e a dessa forma:

negativo

Figura 2 – Quadrado de lado “b” divido em quatro partes proporcionais à “a”

A área do quadrado maior é bb, mas também é a soma de todos os quadrados menores que o compõe:

(b – a)(b – a) + ab – aa + ba – aa + aa = bb

Vamos fazer uma prova simples para garantirmos que essas relações estão corretas. Para b = 10 e a = 4, tem-se:

(10 – 4)(10 – 4) + 4×10 – 4×4 + 10×4 – 4×4 + 4×4 = 10×10
36 + 40 – 16 + 40 – 16 + 16 = 100
100 = 100

Confiando em nossa prova, voltemos à equação. Se rearranjarmos os elementos, notaremos que obteremos um produto notável:

(b – a)(b – a) = bb – ba – ab + aa

Lembre-se que chegamos à essa equação pelo caminho correto, ou seja, partindo de um quadrado. Os matemáticos partem da observação dos desenhos presentes na natureza para criarem seus próprios símbolos. Pois bem, para que a equação seja balanceada e a área do quadrado seja completada, precisamos aceitar que o produto (-a)(-a) resulte em +aa. Só poderia ser assim, pois é necessário somar todas as partes que foram dividas para obtermos a área do quadrado de lado b. A álgebra preocupa-se em reunir as partes que foram separadas para encontrar a resposta.

Esse é um exemplo de que a matemática é coercitiva, pois os resultados são inquestionáveis. Se um dia te perguntarem porque “menos com menos é mais”, responda que é apresentado dessa forma na natureza e o matemático apenas expressa simbolicamente aquilo que ele vê (teorema, ou visto por).

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