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O Problema de Monty Hall

O problema de Monty Hall consiste em um paradoxo gerado por um jogo probabilístico. Esse problema foi baseado em um quadro do programa Let’s Make a Deal exibido nos Estados Unidos na década de setenta. Suponha que o apresentador de um programa de variedades peça que você escolha uma dentre três portas:

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Antes que escolhamos a porta, o apresentador avisa que em uma porta há um prêmio e em cada uma das outras duas existem quaisquer coisas que não sejam o prêmio – no nosso caso, são cabras. Esse é o mesmo princípio da famigerada Porta dos Desesperados, onde atrás de uma porta havia vários prêmios e nas outras havia atores vestidos de gorila, vampiro ou qualquer outra coisa bizarra.

Você escolhe a porta número 1, pois sua lógica te avisou que você teria 1/3 de chances de vencer se escolhesse qualquer uma das três portas. Feita a escolha, você tem 1/3 de chances de que o prêmio esteja na primeira porta e 2/3 (1/3 + 1/3) de chances de que esteja em uma das outras duas portas:

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Antes de revelar o conteúdo da porta que você escolheu, o apresentador abre a porta número 3 e revela que lá há uma cabra:

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Em seguida, o apresentador pergunta para o público se a outra cabra está na porta escolhida (porta 1) ou na porta 2 e te dá a chance de mudar sua escolha. É aí que sua razão te engana. Você pode estar pensando que, uma vez revelado que uma determinada porta não continha o prêmio, suas chances de acertar ou errar seriam idênticas, ou seja, de 50% (uma chance em duas ou 1/2).

Vamos desenvolver o seu primeiro raciocínio: no começo do jogo, você pensou que tinha 1/3 de chances de que o prêmio estivesse na primeira porta e 2/3 de chances de que estivesse em uma das outras duas portas, pois cada porta te daria igualmente 1/3 de possibilidades de vitória. Em outras palavras, você criou dois grupos: o grupo A composto da porta A1 (porta 1) e o grupo B composto das portas B1 (porta 2) e B2 (porta 3). Revelado que a porta B2 contém uma cabra, os 2/3 de chances de que o prêmio esteja nesse grupo serão transferidos para a porta B1:

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Sendo assim, se você não aceitar a oferta do apresentador e se mantiver na primeira porta, você tem 1/3 de chances de vencer, mas se trocar de porta, terá 2/3 de chances de vencer. Significa que se você trocar de porta vencerá? Não. O problema aqui é de probabilidade. Se esse jogo for jogado muitas vezes, você perceberá que quem troca de porta ganhará mais vezes do que quem não troca.

Se ao invés de 3 portas tivéssemos 100, chegaríamos a mesma conclusão, mas a vantagem da troca de porta seria mais clara. Você escolhe a porta 1 e já sabe que tem 1/100 de chances de vencer. O apresentador revela 98 portas que contém cabras. Permanecem fechadas a porta 1 e, digamos, a porta 100. A porta 100 tem 99/100 ou 99% de chances de conter o prêmio:

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