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Entenda por que o Fatorial de Zero é Igual a Um

Você já se perguntou por que o fatorial de zero é igual a um?

0! = 1

No ensino fundamental e mesmo no ensino médio, quando as escolhas da vida ainda cabem aos nossos pais e não temos um senso crítico tão apurado, normalmente aceitamos que se trata de uma regra básica, decoramos e seguimos adiante, para a próxima prova, para o próximo bimestre, para o próximo semestre, para o próximo ano e para o fim da vida. Deleite-se com essa “explicação” de um professor de matemática do Aulalivre.net:

Chamo a atenção aos fatoriais do 1 e do 0. Aí é por definição: o fatorial do 1 é 1 e o fatorial do 0 também é 1. Aí é por definição. Não é como os demais, que eu consigo mostrar o cálculo.

Mesmo que algo tenha sido escrito em pedra por um ser superior, não deveria ser aceito sem questionamento. Não estou usando a estratégia da petição de princípio oculta para te induzir a acreditar que algo foi escrito em pedra e que por dedução foi Deus quem escreveu. Usei essa analogia apenas para te lembrar que as informações que nos chegam devem passar pelo filtro da nossa razão. A estrutura da argumentação deve ser verificada e a informação deve ser classificada antes se ser armazenada.

Voltando para o problema, vi uma explicação bem clara no Numberphile. Para começar, lembre-se que o fatorial de um número natural é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a esse número:

n! = n x (n - 1) x (n - 2) x ... x 1

Aplicando a definição da regra de distribução dos fatoriais, o autor calculou alguns fatoriais de baixa ordem:

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
4! =     4 x 3 x 2 x 1 =  24
3! =         3 x 2 x 1 =   6
2! =             2 x 1 =   2
1! =                 1 =   1
0! =                 1 =   1

Mantive propositalmente esse alinhamento à direita para que você perceba que o fatorial de um número n também pode ser expresso pelo fatorial de (n + 1) dividido por (n + 1) dessa forma:

n! = (n + 1)! / (n + 1)

Alguns exemplos:

3! = (3 + 1)! / (3 + 1) = 4! / 4 = 24 / 4 = 6
2! = (2 + 1)! / (2 + 1) = 3! / 3 =  6 / 3 = 2
1! = (1 + 1)! / (1 + 1) = 2! / 2 =  2 / 2 = 1

E o fatorial do zero segue a mesma regra:

0! = (0 + 1)! / (0 + 1) =  1! / 1 =  1 / 1 = 1

Mas isso ainda não explica por que é assim. Se aceitarmos essa explicação, ainda cairemos no argumento circular “é assim porque é assim”. No vídeo do Numberphile, o autor fez uma ligação entre os números fatoriais e a análise combinatória, onde eles são utilizados para determinar de quantas formas diferentes um conjunto pode ser rearranjado. O autor explicou com moedas, mas vamos utilizar letras:

1. De quantos formas diferentes podemos rearranjar o conjunto {A, B, C}?

A B C
A C B
B A C
B C A
C A B
C B A

Como temos 6 maneiras diferentes de rearranjar esse conjunto, vemos o resultado do 3!.

2. De quantos formas diferentes podemos rearranjar o conjunto {A, B}?

A B
B A

Como temos 2 maneiras diferentes de rearranjar esse conjunto, vemos o resultado do 2!.

3. De quantos formas diferentes podemos rearranjar o conjunto {A}?

A

Como temos apenas 1 maneira de rearranjar esse conjunto, vemos o resultado do 1!.

4. De quantos formas diferentes podemos rearranjar o conjunto {}?

Suponha que você não tenha moedas no bolso e alguém te pergunte quantas moedas você tem no bolso. Você responderá “nenhuma”. De forma análoga, se te perguntarem de quantas formas diferentes você poderia rearranjar um conjunto vazio, você responderia “nenhuma”. Nenhuma é UMA forma válida de se rearranjar esse conjunto particular. Assim, prova-se que:

0! = 1
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Categorias:Matemática Tags:
  1. 03/05/2016 às 5:36 PM

    Valeu pela explicação!

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