A Matemática é Eterna

O TED é uma organização sem fins lucrativos e aparentemente sem filiação partidária ou bandeira ideológica. Eles se dedicam à divulgação do conhecimento na forma de palestras feitas por pessoas influentes em suas áreas, como o prof. Eduardo Sáenz de Cabezón, PhD em Matemática e também professor de Matemática Discreta e Álgebra pela Universidad de La Rioja, na Espanha.

Figura 1 – Prof. Eduardo Sáenz de Cabezón

O prof. Cabezón iniciou sua palestra com aquela pergunta clássica feita pelas pessoas ligadas às “ciências humanas” ou em geral pelos leigos em ciências exatas: “para que serve a matemática?”. Eu, particularmente, responderia que sem a matemática você ainda estaria caçando animais e coletando frutas no meio da floresta. Fiz essa reflexão depois de ler alguns capítulos do até agora ótimo livro Sapiens, de Yuval Noah Harari, mas vamos seguir com a linha de raciocínio do professor.

A pessoa que pergunta a utilidade da matemática na verdade está perguntando porque é que ela teve que estudar isso todos esses anos se pretendia seguir uma carreira que não tinha nada a ver com as exatas. Para responder à essa pergunta, os matemáticos se posicionam no ataque ou na defesa. Os atacantes basicamente utilizam Dialética Erística para te convencer de que a matemática tem um fim em si própria e não precisa necessariamente servir a um propósito. Os que ficam na defensiva vão dizer que a matemática está na natureza e em todos os aspectos da vida – prédios, computadores, pontes, etc. Para o prof. Cabezón, ambos estão certos, mas ele também apresentou uma terceira vertente, na qual ele mesmo se inclui.

Figura 2 – Professor sincero

A matemática controla a intuição e comanda a criatividade. A intuição nos engana e já tratei desse assunto várias vezes aqui no blog, como por exemplo no problema da geodésica da aranha. O professor utilizou aquele exemplo conhecido da pilha de papel que chega à Lua: se você dobrar uma folha de 0,01mm de espessura 50 vezes, a soma das espessuras cobrirá a distância daqui até à Lua. Em outro vídeo, o mesmo professor disse que se dobrássemos aquela folha de papel 54 vezes, a pilha teria tamanho suficiente para cobrir a distância da Terra ao Sol. Duvida? Cada vez que uma folha é dobrada, ela fica 2 vezes mais “alta”. Dobrando 54 vezes, a pilha terá altura de 254x0,01mm. Convertendo tudo para base 10, 2×1016x10-2mm, ou seja 2×1014mm. Convertendo para quilômetros, resulta 2×108km, ou seja, 200.000.000 km, o que supera a distância da Terra ao Sol, que vale por volta de 149.600.000 km. Dobrando o papel 103 vezes, a altura superará o universo observável. Tudo isso contradiz a intuição, mas o resultado é provado pela matemática. A matemática é o suporte de todas as ciências e tudo o que faz a ciência ser ciência é o rigor matemático que apresenta resultados eternos.

Figura 3Mapa da Matemática

Caminhando para a conclusão, o professor utilizou a comparação entre um diamante e um teorema para explicar como nossa noção de eterno é relativa. Um diamante é eterno enquanto esse mundo durar, mas se o mundo for destruído, o diamante, que é parte dele, também será destruído. Um teorema, como o de Pitágoras, nasce de uma hipótese, mas se torna uma verdade eterna provada e demonstrada matematicamente que poderá sobreviver por milênios enquanto não aparecer uma teoria que a refute. O prof. de Matemática Rogério Martins, em outra palestra no TED, também concorda com essa ideia de matemática como algo eterno e acrescenta que é por isso que ela não é atingida pelo tempo. E o prof. Cabezón terminou com a seguinte reflexão:

Então, se você quiser dizer para alguém que o amará por toda a vida, dê-lhe um diamante. Mas se você quiser dizer que o amará para todo o sempre, dê-lhe um teorema, mas você terá que provar que o seu amor não é apenas uma conjectura.

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Desafio das Idades

O blog O Desafio: Aprender compartilhou um pequeno problema algébrico:

Imagine duas pessoas, um pai, de 30 anos, e um filho. E o filho, bastante curioso, pergunta: ‘Pai, se hoje eu tenho um quinto da sua idade, quantos anos eu terei quando eu tiver a metade da sua idade?’

Primeiro, precisamos descobrir quantos anos o filho (F) tem hoje. Sabemos que ele tem 1/5 da idade do pai (P):

F=P/5
F=30/5
F=6

Criança esperta, não? Em seguida, o filho pergunta para o pai quantos anos ele terá quando sua idade for a metade da idade do pai:

F = P/2

Hoje, a metade da idade do pai é 15. Por indução, sabemos que um dia a idade do filho será exatamente igual a idade do pai, pois a metade da idade do pai é regida por uma PA (Progressão Aritmética) de constante 0,5 e a idade do filho é uma PA de constante 1:

A) Relação entre a idade do pai e a metade da idade do pai com o passar dos anos:

[30, 15.0], [31, 15.5], [32, 16.0], [33, 16.5], [34, 17.0], …, [48, 24]

B) Evolução da idade do filho com o passar dos anos:

[6, 7, 8, 9, 10, …, 24]

Por indução, já descobrimos que o filho terá 24 anos quando atingir a metade da idade do pai, mas isso não é matemática. Vamos descobrir a lei, válida para esse cenário, que correlaciona a idade do pai e a do filho com o passar dos anos. Como tanto a idade do filho quanto a do pai são incrementadas de uma unidade ao ano, depois de um tempo (T), o filho atingirá metade da idade do pai:

(F + T) = (P + T)/2

Basta resolver essa equação:

(6 + T) = (30 + T)/2
2*(6 + T) = 2*(30 + T)/2
12 + 2T = 30 + T
T = 18

Cuidado. 18 é o tempo que demorará para que a idade do filho coincida com a metade da idade do pai. A idade do filho daqui T anos é dada por (6 + T):

F = 6 + T
F = 6 + 18
F = 24
Categorias:Matemática

As Cores dos Olhos das Escravas

No capítulo XXXIII de O Homem que Calculava [1], o califa desafiou Beremiz Samir, o Homem que Calculava, a encontrar a solução para um curioso problema, que é mais complexo que o Problema das Três Caixas. O califa tinha 5 escravas: 2 tinham olhos negros e 3 tinham olhos azuis. As escravas que tinham olhos negros sempre diziam a verdade, mas as escravas que tinham olhos azuis nunca diziam a verdade e todas tinham os rostos cobertos por véu. Fazendo apenas 3 perguntas, uma para cada uma das 3 garotas escolhidas pelo próprio calculista, deveria-se descobrir, com apenas 3 respostas, as cores dos olhos das 5 escravas.

Figura 1 – As 5 escravas: 2 têm olhos negros e 3 têm olhos azuis

As garotas foram posicionadas lado a lado e o calculista fez a primeira pergunta para garota que estava na extrema esquerda dele: “de que cor são os teus olhos?” A resposta foi dada em chinês, língua inacessível para o calculista. Algumas escravas não eram de origem Árabe. Atendendo ao protesto contido do calculista, todas as respostas seguintes deveriam ser dadas em árabe. Porém, só lhe restavam duas perguntas. Como ele conseguiria descobrir as cores dos olhos de todas as escravas com apenas duas perguntas e duas respostas? A primeira resposta teve algum proveito?

Sem esboçar desânimo, o calculista interpelou a segunda garota na ordem em que estavam postas nesses termos: “qual foi a resposta que a sua companheira acabou de proferir?” A garota respondeu com clareza: “as palavras dela foram “os meus olhos são azuis”. Essa resposta aparentemente ainda não esclarecia o que quer que fosse. O quê Beremiz pretendia com essas perguntas tão vagas? Fique atento à capacidade de uma mente puramente lógica. Sigamos para a terceira pergunta.

A terceira pergunta foi feita para a escrava que estava no centro: “de que cor são os olhos dessas duas jovens à dua direita que acabo de interrogar?” A resposta foi: “a primeira tem os olhos negros e a segunda tem os olhos azuis!”. Após alguns minutos de reflexão, Beremiz respondeu:

“- A primeira escrava (à direita) tem olhos negros; a segunda tem os olhos azuis; a terceira tem os olhos negros e as duas últimas têm olhos azuis!”

Após erguerem-se os véus, verificou-se, para espanto de todos os presentes, que as escravas tinham os olhos das cores informadas e na ordem indicada pelo calculista. Mas como ele fez tanto com tão pouco? Ele fez três perguntas, mas apenas as duas últimas respostas foram inteligíveis – a primeira resposta veio em chinês. A explicação foi dada na sequência do livro, mas vou resumir a abordagem do personagem.

Para a primeira pergunta só havia uma resposta – “os meus olhos são negros” -, pois independente da índole da escrava, sendo sincera ou mentirosa, ela responderia a mesma coisa. Sendo assim, não importaria se a primeira escrava respondesse em chinês ou mesmo se fosse muda. O protesto do calculista foi um simples blefe para fazer parecer que o problema tornara-se mais complexo. Como a primeira resposta era fixa, “meus olhos são negros”, a segunda resposta, “os olhos dela são azuis”, era certamente uma mentira. Nesse momento, o calculista já sabia que a primeira escrava tinha olhos negros (sincera) e a segunda tinha olhos azuis (mentirosa). A terceira resposta, “a primeira tem os olhos negros e a segunda tem os olhos azuis!”, provou que a terceira escrava falara a verdade, ou seja, tinha olhos negros. Por indução, as duas últimas escravas tinham olhos azuis:

| negros | azuis | negros | azuis | azuis |

Crítica

Perceba que o calculista teve sorte ao encontrar a segunda escrava com olhos negros depois de ouvir a terceira resposta. Se a terceira escrava tivesse mentido (olhos azuis), como ele saberia qual das duas últimas escravas tinha olhos azuis e qual tinha olhos negros? Não saberia. Nesse cenário, ele precisaria fazer uma quarta pergunta para ter certeza ou utilizar algum outro artifício que me espaca:

| negros | azuis | azuis | ? | ? |

Há outras combinações fortuitas que dariam a vitória ao calculista, como três mentirosas seguidas ou duas sinceras seguidas, mas o fato é que ele teve sorte ao escolher as três escravas que deveriam responder suas perguntas. Beremiz deveria ter feito a terceira pergunta para a última escrava da esquerda: “quais as cores todos olhos das quatro moças à sua direita?”. Se fosse mentirosa, ele saberia qual era a cor dos olhos dela (azuis) e onde estava a segunda escrava de olhos negros (terceira posição), pois ela responderia assim:

| azuis | negros | azuis | negros | ? |

Referências

1. TAHAN, Malba, O Homem que Calculava, 63ª ed., Rio de Janeiro: Record, 2003
2. [http://josenorberto.com.br/o_homem_que_calculava.pdf]

O Problema da Galeria de Arte

Figura 1 – Visibilidade de uma câmera em uma galeria de arte [1]

A Geometria Computacional [2] é um ramo da Matemática que busca soluções computacionais para problemas geométricos. Galeria de Arte é um problema derivado da Geometria Computacional proposto originalmente por Victor Klee em 1973 [1] que oferece uma resposta matemática para a pergunta: qual é a quantidade mínima de câmeras de vigilância necessárias para monitorar inteiramente uma Galeria de Arte? Essa é a forma mais comum de formular esse problema, mas ele se aplica a qualquer cenário em que exista um ambiente delimitado por paredes e que precisa ser monitorado – seja por câmeras de segurança, vigias armados com posição fixa, unidades ED-209, etc – de forma que não sobrem quaisquer partes do ambiente sem monitoramento.

Figura 2 – Onde as câmeras devem ser posicionadas?

Para tornar as coisas um pouco mais simples, vamos trabalhar em duas dimensões (2D) assumindo que a planta baixa da galeria de arte é um polígono simples: uma forma geométrica delimitada por seguimentos de linhas retas que não cruzam umas as outras – não tem paredes internas – e que não contém “buracos” (polígonos dentro de um polígono maior ou o possível resultado da intersecção interna de pelo menos três linhas). Sendo uma câmera um ponto, um conjunto de câmeras cobre o polígono se todo ponto do polígono é monitorado por alguma câmera [1]. Se fossem vigilantes e não câmeras, assumiríamos que eles ficam fixos nos vértices (ponto de encontro de dois segmentos laterais).

Isso normalmente é válido nas galerias de arte, pois as obras de arte ficam nas paredes (arestas ou seguimentos de reta do polígono) e teoricamente uma câmera deveria filmar a máxima extensão de uma parede e a máxima quantidade de paredes possível, o que só se consegue posicionando as câmeras nos vértices. As obras raras não se enquadram nessa regra, pois devido ao seus valores às vezes inestimáveis, como no caso da Mona Lisa, é necessária vigilância exclusiva independente de quanto isso custe.

Figura 3 – Mona Lisa – obra insubstituível

Matematicamente, dado um conjunto de câmeras C, uma câmera cn vigia um polígono P se existe um segmento de reta que liga a câmera ao ponto p e tanto o segmento de reta quanto o ponto p são internos ao polígono:

C{c1, c2, c3, …, cn} → p ∀ p ∈ C | cp ∈ P

Como a planta baixa da galeria é um polígono, o problema consiste em colocar pontos nesse polígono e à partir deles traçar linhas para as paredes opostas sem sair do polígono, que pode ser convexo (aquele em que dois pontos quaisquer, quando unidos, nunca passam pelo lado de fora do polígono) ou não convexo. Um polígono convexo precisa apenas de uma câmera, pois sua simetria permite que de um dos vértices se possa enxergar todos os outros vértices:

Figura 4 – Octógono – um polígono convexo regular (todos os lados e ângulos têm a mesma medida) de oito lados

Para que o problema se apresente de forma mais genérica, vamos trabalhar com polígonos não convexos, como o da figura abaixo, pois são mais comuns de encontrar do que os convexos:

Figura 5 – Um polígono não convexo

O Teorema de Chvátal diz que para todo polígono de n vértices, n/3 câmeras são sempre suficientes e ocasionalmente necessárias. Para o Pente de Chvátal, n/3 câmeras são necessárias. Como o pente abaixo tem 15 vértices, 5 câmeras são necessárias para monitorar sua área interna:

Figura 6 – Pente de Chvátal com 15 vértices

Além do Teorema de Chvátal, os teoremas abaixo serão utilizados no exemplo que apresentaremos a seguir:

  • Todo polígono possui pelo menos um vértice estritamente convexo.
  • Teorema de Jordan: toda curva plana fechada simples divide o plano em duas regiões: o interior e o exterior da curva.
  • Teorema de Meister: Todo polígono com n ≥ 4 vértices possui uma diagonal.
  • Teorema da Triangularização: Todo polígono n vértices pode ser particionado em triângulos pela adição de (zero ou mais) diagonais.
  • Toda triangularização de um polígono P de n vértices usa n − 3 diagonais e consiste de n − 2 triângulos.

Demonstração

Para fazer uma demonstração, vou utilizar o exemplo do canal Derivando e a didática do prof. Eduardo Sáenz de Cabezón, PhD em Matemática e também professor de Matemática Discreta e Álgebra pela Universidad de La Rioja, na Espanha.

O exemplo do prof. Eduardo faz triangularização por adição de diagonais para dividir o polígono internamente em n triângulos – essa é a Prova de Suficiência de Fisk. O problema seria um pouco mais complexo se o prof. tentasse remover as “orelhas” com triangularização por remoção de orelhas [1], o que é possível pelo teorema de Meister, mas vamos ficar no caso mais simples – adição de diagonais -, que vale para qualquer polígono com mais de 3 lados, pois o triângulo (3 lados) é o único polígono que não possui diagonais (N<4) e uma câmera colocada em qualquer um dos vértices pode monitorar todo o perímetro interno, uma vez que ele respeita a regra das n/3 câmeras – como ele tem 3 lados, uma câmera é suficiente e no caso necessária.

Nossa demonstração partirá de um polígono não convexo com 10 lados e 10 vértices:

Vamos triangular esse polígono, pois sabemos que todo polígono com mais de três lados pode ser triangulado pela adição de diagonais. Necessariamente, encontraremos 8 triângulos, pois para triangular um polígono de 10 lados, precisamos de (10-2) triângulos:

Agora, vamos construir um grafo dual colocando um vértice em cada face de cada triângulo e unindo todos esses vértices. Esse grafo serve apenas para verificar se os triângulos inscritos no polígono podem ser 3-colorados. Só haverá 3-coloração se o grafo for do tipo árvore e não cíclico:

Por último, vamos aplicar a 3-coloração aos triângulos inscritos. O processo consiste em escolher três cores diferentes e pintar cada vértice com uma cor sem que dois vértices adjacentes tenham a mesma cor:

Enfim, onde serão instaladas as câmeras? Vamos fazer algumas considerações. O Teorema de Chvátal afirma que (n/3) câmeras são suficientes e ocasionalmente necessárias para cobrir a área interna do polígono. No nosso caso, 3 câmeras (10/3) são suficientes, mas ainda não sabemos se as 3 são necessárias.

As câmeras serão posicionadas em todos os vértices de mesma cor. Podemos instalar 4 câmeras nos vértices vermelhos, 4 câmeras nos vértices azuis ou apenas 2 câmeras nos vértices verdes. 2 é o mínimo de câmeras que precisamos para monitorar toda a área interna do polígono. Sendo assim, precisamos de apenas 2 câmeras e essas serão instaladas nos vértices verdes:

Essa é uma prova de que sempre podemos economizar recursos utilizando matemática. Dificilmente conseguiríamos um resultado melhor no chute, como provei em outro artigo.

Referências

1. [https://www.ime.usp.br/~cpq/main/arquivos/teoremadagaleriadearteetriangularizacaodepoligonos.pdf]
2. [http://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ftp_pub/lfm/CIV2802-GeometriaComputacional.pdf]
3. [https://brilliant.org/wiki/guarding-a-museum/]
4. [https://plus.maths.org/content/art-gallery-problem]
5. [https://www.youtube.com/watch?v=nEFYpwofbbk]
6. [http://sweet.ua.pt/leslie/GeoCom/Slides/GC_0708_6_Galeria_Arte.pdf]
7. [http://www.ic.unicamp.br/~rezende/ensino/mo619/ArtGallery-PJR-Handout.pdf]
8. [http://www.inf.ufrgs.br/~comba/cmp189-files/class03.pdf]
9. [https://www.inf.ufrgs.br/~prestes/Courses/Graph%20Theory/GrafosA10.pdf]
10. [https://www.ime.usp.br/~cris/aulas/09_2_331/slides/aula3.pdf]

Aplicando o Processo Semiótico à uma Sequência Numérica

O blog O Desafio: Aprender apresentou uma sequência numérica e perguntou qual seria o próximo número dela:

4, 5, 7, 9, 13, ?

As únicas informações que o blog forneceu sobre o problema foram que não existiam números menores que 4 e nem anteriores a ele e que a sequência era infinita: a sequência se iniciava em 4 e crescia ao infinito. Esse problema não tem uma resposta só, mas gostei da segunda solução que apresentaram no blog. A pessoa associou a essa sequência uma outra sequência simétrica que faria uma associação somatória cumulativa com a sequência original:

S = {1, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, ∞}

Nessa sequência S, cada número n se repete exatamente n vezes. Cada Si deve ser adicionado a um Di da sequência original começando em i=1, mas à partir da posição D2:

D = {D1, D2, D3, D4, D5, D6, …, ∞}

DS = {4, D1+S1, D2+S2, D3+S3, D4+S4, D5+S5…, ∞}

DS = {4, 4+1, 5+2, 7+2, 9+4, 13+4…, ∞}

DS = {4, 5, 7, 9, 13, 17, …, ∞}

Desse modo, provou-se que o próximo número da sequência que chamamos de D (Desafio) é 17. Minha proposta nesse artigo é continuar o processo semiótico para criar um símbolo que consolida esses traços da mesma forma que fiz no artigo Do Traço à Produção de Significado: Semiose de um Símbolo.

Continuação do Processo

Todos os números do conjunto S estão na base 2 e cada elemento k aparece exatamente k vezes em sequência, ou seja, o elemento 2k aparece 2k vezes:

S = {1, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8 …, ∞}

1 x 1
2 x 2
4 x 4
8 x 8
16 x 16

Trocando o lado direito para notação em base 2:

1 x 20
2 x 21
4 x 22
8 x 23
16 x 24

Trocando o lado esquerdo também para notação em base 2:

20 x 20
21 x 21
22 x 22
23 x 23
24 x 24

Abrindo a sequência de somas:

20
21, 21
22, 22, 22, 22
23, 23, 23, 23, 23, 23, 23, 23
24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24
{20+0, 21+1, 22+2, 23+3, 24+4, …, 2k+k}

Conhecendo a regra de formação, podemos criar uma representação genérica para a sequência S:

A sequência S trabalhará em conjunto com a sequência D, que será definida adiante. A ideia é expandir a sequência de forma a comportar a indexação necessária para montar a sequência D. E, por último, é possível construir a sequência D acrescentando os números anteriores em uma série acumulativa começando em b:

D = {b, b+20, b+20+21, b+20+21+21, …, ∞}

Note que cada número da sequência é composto por b somado à totalização dos números da sequência S até aquele momento (índice). Vamos fazer algumas manipulações nas sequências S e D para poder generalizá-las. Primeiro, vamos utilizar deixis ad oculos para deixar claro que a sequência S começa em 0 e termina em 2k2k, onde k pode ser ∞. Você pode estar pensando que 0 não agrega nada. Paciência. Por enquanto deixa ele aí. “0” poderia ser até o resultado de uma função se quiséssemos:

D = {b+0, b+0+20, b+0+20+21, b+0+20+21+21, …, b+0+20+21+…+2k2k}

Sabe aquele 0 que não era nada e aquele k que poderia ser ∞? Essa manipulação permite que reescrevamos a sequência com uma série de somatórios (∑) começando em i=0 e indo até k, algo que qualquer programador pode utilizar como orientação para escrever um código fonte na sua linguagem preferida:

O S representa a parte da sequência compreendida do índice 0 ao índice n. Novamente, a sequência S será montada sob demanda para comportar o índice n. A ideia é “pescar” valores da sequência S de i=0 até k onde k <= n. E podemos, finalmente, criar um símbolo que carrega toda essa noese:

Onde:

n: quantidade de itens necessários na sequência S
b: valor base

Como já sabíamos que o próximo número da sequência era 17, vamos utilizar nosso símbolo para criar a sequência indo de 4 até 17, onde b=4 e n=6, pois 17 ocupa a 6ª posição na sequência:

Cada elemento da sequência está associado ao acumulado da série S até o índice informado no ∑ (de 0 à 6).

D = {4+s0, 4+s0+s1, 4+s0+s1+s2, 4+s0+s1+s2+s3, 4+s0+s1+s2+s3+s4, 4+s0+s1+s2+s3+s4+s5}

D = {4+0, 4+0+20, 4+0+20+21, 4+0+20+21+21, 4+0+20+21+21+22, 4+0+20+21+21+22+22}

D = {4+0, 4+0+1, 4+0+1+2, 4+0+1+2+2, 4+0+1+2+2+4, 4+0+1+2+2+4+4}

D = {4, 5, 7, 9, 13, 17}

Categorias:Matemática

Frases de Milton Friedman

Milton Friedman (1912-2006) foi um dos mais influentes economistas do século XX e foi o fundador da Escola de Chicago, que é uma escola de pensamento econômico que defende o livre mercado. Devido às suas realizações e estudos nas áreas de análise de consumo e teoria monetária, recebeu o Prêmio Nobel de Economia em 1976.

Figura 1 – Milton Friedman

Friedman destacou-se por defender a liberdade econômica com mínima participação do Estado, Estado mínimo, defesa da democracia, valorização da livre concorrência, economia de Mercado como fonte para a prosperidade do país e das pessoas e redução de impostos. O Rodrigo Constantino elencou algumas frases que sintetizam o pensamento daquele economista:

O governo tem três funções principais. Deve providenciar a defesa militar da nação. Deve fazer cumprir contratos entre indivíduos. Deve proteger os cidadãos de crimes contra eles próprios ou seus bens.

Quando o governo – em nome de boas intenções – tenta reorganizar a economia, legislar a moralidade ou proteger interesses especiais, o resultado é a ineficiência, a falta de motivação e a perda de liberdade. O governo deve ser um árbitro, não um jogador ativo.

Subjacente à maioria dos argumentos contra o livre mercado, está a falta de crença na própria liberdade.

Se você colocar o governo federal para gerir o deserto do Saara, em 5 anos haverá escassez de areia.

A grande virtude de um sistema de livre mercado é que nele ninguém se importa com a cor das pessoas; Não se importa com a religião delas; Só o que importa é se elas podem produzir algo que você deseja comprar. É o sistema mais eficaz que descobrimos para permitir que pessoas que se odeiam se entendam e se ajudem mutuamente.

Uma sociedade que coloca a igualdade – no sentido de igualdade de resultados – antes da liberdade, acabará sem igualdade e sem liberdade. O uso da força para alcançar a igualdade destruirá a liberdade, e a força, introduzida para o bom propósito, acabará nas mãos das pessoas que a usam para promover seus próprios interesses.

O fato central mais importante sobre um mercado livre é que nenhuma troca ocorre, a menos que ambas as partes se beneficiem.

Muitas pessoas querem que o governo proteja o consumidor. Um problema muito mais urgente é proteger o consumidor do governo.

Ninguém gasta o dinheiro de outra pessoa tão cuidadosamente quanto gasta o seu. Então, se você quer eficiência e eficácia, se quiser que o conhecimento seja utilizado corretamente, você deve fazê-lo por meio da propriedade privada.

A liberdade política significa ausência de coerção de um homem por seus semelhantes. A ameaça fundamental à liberdade é o poder de coagir, seja nas mãos de um monarca, um ditador, uma oligarquia ou uma maioria momentânea. A preservação da liberdade exige a eliminação de tal poder na maior extensão possível, além da dispersão e distribuição de todo poder que não possa ser eliminado.

Uma lei de salário mínimo é, na realidade, uma lei que torna ilegal o empregador contratar uma pessoa com habilidades limitadas.

Um dos grandes erros é julgar políticas e programas por suas intenções, em vez de seus resultados.

O papel apropriado do governo é exatamente o que John Stuart Mill propôs em meados do século XIX… O papel apropriado do governo é proteger os indivíduos uns dos outros. O governo, ele disse, não tem o direito de interferir com um indivíduo para o bem desse indivíduo.

Eu diria que, neste mundo, a maior fonte de desigualdade tem sido os privilégios especiais concedidos pelo governo.
Nada é tão permanente quanto um programa de governo temporário.

Temos um sistema que cada vez mais tributa o trabalho e subsidia o não trabalho.

As drogas são uma tragédia para os adictos. Mas criminalizar seu uso converte essa tragédia em um desastre para a sociedade, para usuários e não usuários. Nossa experiência com a proibição de drogas é uma repetição da nossa experiência com a proibição de bebidas alcoólicas.

Eu sou favor de reduzir impostos sob qualquer circunstância, qualquer pretexto ou motivo, e sempre que possível.

Para o homem livre, o país é a coleção de indivíduos que o compõe, não algo além e acima deles. Ele se orgulha de uma herança comum e é fiel às tradições comuns. Mas ele considera o governo como um meio, uma ferramenta, não uma entidade concedente de favores e presentes, nem um senhor ou um deus a ser adorado e servido cegamente.

A combinação do poder econômico e político nas mesmas mãos é a receita certa para a tirania.

Fundamentalmente, existem apenas duas formas de coordenar as atividades econômicas de milhões de indivíduos. Uma é direção centralizada, envolvendo o uso da coerção – a técnica da força e do estado totalitário moderno. A outra é a cooperação voluntária dos indivíduos – a técnica do mercado.

A solução do governo para um problema geralmente é tão ruim quanto o problema.

Com algumas exceções notáveis, os empresários favorecem a livre iniciativa em geral, mas se opõem a ela quando se trata de si mesmos.

Sou a favor da legalização das drogas. De acordo com meus valores, se as pessoas querem se matar, eles têm todo o direito de fazê-lo. A maior parte do dano que vem das drogas é porque elas são ilegais.

A inflação é a única forma de tributação que pode ser imposta sem legislação.

Penso que uma das principais razões pelas quais os intelectuais tendem a se mover para o coletivismo é que a resposta coletivista é simples. Se houver algo errado, passe uma lei e faça algo sobre isso.

A história sugere que o capitalismo é uma condição necessária para a liberdade política. Claramente, não é uma condição suficiente.

Mesmo o ambientalista mais radical não quer eliminar a poluição. Se ele pensa sobre isso – e não apenas fala sobre isso -, ele quer limitar a poluição a uma certa quantidade. Nós não podemos realmente nos dar ao luxo de eliminá-la – não sem abandonar todos os benefícios da tecnologia que não só desfrutamos, mas de que dependemos.

A visão chave da Riqueza das Nações de Adam Smith é bastante simples: se uma troca entre duas partes é voluntária, isso não ocorrerá a não ser que ambas as partes acreditem que se beneficiarão disso.

A Grande Depressão, como a maioria dos outros períodos de desemprego severo, foi produzida pela má gestão do governo e não por qualquer instabilidade inerente da economia privada.

Se a liberdade não fosse tão economicamente eficiente, certamente não teria chance.

A inflação é sempre e em todos os lugares um fenômeno monetário, no sentido de que é e pode ser produzida apenas por um aumento mais rápido da quantidade de dinheiro do que da produção. … Uma taxa constante de crescimento monetário em um nível moderado pode fornecer um quadro sob o qual um país pode ter pouca inflação e muito crescimento. Não produzirá a estabilidade perfeita; Não produzirá o céu na terra; Mas pode contribuir de forma importante para uma sociedade econômica estável.

Somente o governo pode pegar um papel perfeitamente bom, cobri-lo com tinta perfeitamente boa e tornar a combinação sem valor.

Como vivemos em uma sociedade em grande parte livre, tendemos a esquecer o quão limitado é o período de tempo e a parte do globo para o qual existe alguma coisa como liberdade política: o estado típico da humanidade é a tirania, a servidão e a miséria.

Existem limites severos para o bem que o governo pode fazer pela economia, mas quase não há limites para os danos que pode causar.

A Grande Depressão nos Estados Unidos foi causada – e não digo apenas causada, foi enormemente intensificada e muito pior do que teria sido pela má política monetária.

A grande virtude da livre iniciativa é obrigar as empresas existentes a atenderem as demandas do mercado de forma contínua, produzindo produtos que atendam aos gostos dos consumidores com o menor custo possível, sob o risco de serem eliminadas pelo mercado. É um sistema de lucros e perdas. Naturalmente, as empresas existentes geralmente preferirão vencer a concorrência de outras maneiras. É por isso que a comunidade empresarial, apesar de sua retórica, sempre foi uma grande inimiga do verdadeiro livre mercado.

Reduzir os gastos e a intervenção do governo na economia quase certamente implicará uma perda imediata de curto prazo para poucos, e um ganho de longo prazo para todos.

Como é que pessoas pensantes podem acreditar que o governo – que não consegue gerir decentemente nem uma empresa de correio – possa fornecer gasolina e energia mais eficientemente do que a Exxon, a Mobil, a Texaco, a Gulf e outras?
Uma das razões pelas quais eu sou a favor de menos governo é porque, quanto mais governo tivermos, mais as grandes corporações irão assumi-lo.

Se você paga as pessoas para não trabalhar…, não se surpreenda se você obtiver desemprego.

Os economistas podem não saber muito. Mas conhecemos uma coisa muito bem: como produzir excedentes e escassez. Você quer um excedente? O governo legisla um preço mínimo acima do preço que, de outra forma, prevaleceria. É o que fizemos em um momento ou outro para produzir excedentes de trigo, de açúcar, de manteiga, de muitas outras commodities. Você quer escassez? O governo legisla um preço máximo, abaixo do preço que de outra forma prevaleceria.

A principal base para a minha oposição à proibição da maconha não foi o fato de que isso não funcionou, o fato de ter produzido muito mais mal do que bem – foi principalmente por uma razão moral: acho que o estado tem tanto direito de me dizer o que colocar na minha boca, quanto tem para me dizer o que dela pode sair.

O Infinito Absoluto

Deus criou os números naturais. O resto é obra dos homens. Leopold Kronecker (1823-1891)

O infinito não é um número, mas sim uma abstração que representa algo inatingível ou que está além da nossa capacidade de contagem ou de compreensão assim como foi demonstrado na experiência do João de Barro.

Desde a antiguidade, os matemáticos já sabiam que os números inteiros não tinham precisão suficiente para expressar a medida da diagonal de um quadrado ou da diagonal de um cubo. O método da exaustão, advindo da tentativa de encontrar a área de um círculo circunscrevendo triângulos, proporcionou o “aparecimento” de um dos números irracionais mais famosos: o π, que vale aproximadamente 3,14159265 em uma aproximação grosseira e não pode ser expresso como uma razão entre inteiros. A constante e, que expressa o infinito limitado, também é um irracional famoso que vale aproximadamente 2,718281828459.

Ao longo da história, a filosofia e a matemática nos permitiram aumentar nossa compreensão sobre esse conceito, mas sem compreendê-lo completamente. Quando se trata do infinito, podemos estar nos referindo a algo que é infinitamente grande ou infinitamente pequeno, o que inevitavelmente apresenta alguns problemas e nos conduz a certos paradoxos [4]. Isso explica porque o conceito de infinito sempre provocou discussões entre os matemáticos ao longo da história [3]. A teoria dos conjuntos, derivada do trabalho de George Cantor – será explicado mais a frente – que ajudava a classificar os diferentes infinitos também apresenta seus paradoxos [4].

Alguns Problemas e Paradoxos

A Raiz de 2 [2]

A matemática elementar demonstra que (√2)2 pode ser expresso por (21/2)2, que é o mesmo que (22/2) e vale 2. A √2 vale aproximadamente 1,414213562. (1,414213562)2 é 1,999999999 e não 2, como nossa intuição nos levaria a concluir – sempre desconfie da intuição. Por mais que aumentemos a precisão da raiz, a multiplicação dos dois números nunca resultaria 2: para os matemáticos gregos, parecia que esse número era um tipo de construção inacabada. Há frações simples e outras com infinitos algarismos que podem ser escritas como uma razão q÷p onde q, p ∈ N | p > 0. O número 0,8 pode ser representado pela fração 4/5 e o número 0,6666666… pode ser representado pela fração 2/3, mas não há razão capaz de simbolizar a √2. Esse número foi chamado de irracional, pois é um número real com infinitas casas depois da vírgula que não pode ser obtido pela divisão de dois números inteiros.

I ⊂ ℜ e √2 ∈ I

A Corrida entre Aquiles e a Tartaruga [1,4]

O filósofo pré-socrático Zenão de Eleia (495-435 a.C.) propõe uma disputa de “velocidade” entre aquiles, herói mitológico, e uma tartaruga que não teve contato com Ooze. Aquiles permite que a tartaruga, que era mais lenta, parta primeiro. A regra era simples: sempre que a tartaruga se deslocasse de um ponto A para um ponto B, Aquiles deveria percorrer metade da distância AB. O paradoxo ocorre quando descobrimos que Aquiles nunca alcançará a tartaruga por mais rápido que corra, pois quando ele atingir o ponto A, a tartaruga já estará no ponto B; quando ele atingir o ponto B, a tartaruga já estará no ponto C. Dividindo infinitamente a distância que separa os “competidores”, a tartaruga estaria sempre à frente, mesmo que fosse por uma distância mínima [4] ou infinitesimal. Antes que um objeto possa percorrer uma distância dada, deve primeiro percorrer metade desta, e antes disso, deve percorrer a metade dessa metade e assim por diante, sucedendo uma infinidade de subdivisões. Aquele ou aquilo que precisa pôr-se em movimento deve fazer infinitos contatos num tempo finito, o que impossibilita iniciar o movimento [4].

A Flecha que Nunca Atinge o Alvo

O mesmo Zenão de Eléia concebeu o paradoxo da flecha imóvel, que também demonstra de forma puramente lógica a impossibilidade do movimento. Para Zenão, uma flecha, ao ser lançada, jamais atinge seu alvo, pois o espaço a ser percorrido em sua trajetória pode ser infinitamente dividido em segmentos menores, o que implica que seu translado é infinito.

O Hotel com Infinitos Quartos

O Paradoxo do Hotel Infinito foi criado por David Hilbert (1862-1943) para demonstrar a manipulação do infinito. Hilbert propôs um hotel com infinitos quartos numerados sequencialmente de acordo com o conjunto dos naturais (N = {0, 1, 2, 3, …}). Um viajante é informado pela recepcionista de que todos os quartos estão ocupados. O gerente solicita à recepcionista que todos os hospedes do quarto (n) sejam deslocados para o quarto (n+1) para que o novo hóspede seja alojado. Em seguida, chega um ônibus com 1000 passageiros e a recepcionista segue a recomendação anterior: a movimentação é feita de (n) para (n+1000). Porém, essa técnica não pode ser aplicada para alojar um trem com infinitos passageiros que chegou logo em seguida. O gerente solicita que todos os hóspedes do quarto (n) sejam movidos para o quarto (2n) para que todos os apartamentos de número ímpar sejam desocupados para alojar os infinitos hóspedes que chegaram. O gerente melhora essa solução e solicita que os hóspedes do quarto (n) sejam transferidos para o quarto (3n) para que os novos hóspedes sejam alojados nos quartos de número (3n+2). Se chegassem novos hóspedes, eles seriam alojados nos infinitos quartos de número (3n+1) e o gerente teria um pouco de sossego.

Paradoxo da Onipotência

Esse paradoxo tem cunho filosófico, mas foi incluso aqui para fazer uma ligação entre Deus, que pode ser interpretado como o infinito, e uma de suas virtudes, a onipotência, que é a qualidade de um ser que tem a capacidade ilimitada de fazer qualquer coisa. Deus é infinito e cada uma de suas virtudes infinitas também são infinitas. Será? Um enunciado bastante conhecido deste paradoxo é o denominado paradoxo da pedra: “Pode um ser omnipotente criar uma pedra que não consiga erguer?” Se não consegue erguer a pedra não é omnipotente; se não consegue criar tal pedra não era omnipotente desde o início. São Tomás de Aquino veio em socorro de Deus e afirmou que Ele é infinito dentro daquilo que é possível. Para Aquino, há coisas que Ele não pode fazer, pois perderia sua onipotência. Deus não pode fazer alguém parado e correndo ao mesmo tempo assim como não pode fazer algo que seja ao mesmo tempo um triângulo e um círculo.

Paradoxo de Russell [4]

Se um pintor pinta apenas as casas de pessoas que não pintam as próprias casas, esse pintor pinta a própria casa? Dessa pergunta, podemos extrair a pergunta genérica: o conjunto de todos os conjuntos que não são elementos de si mesmos é elemento de si mesmo? Um conjunto pode ser elemento de outro conjunto (A ∈ B) e um conjunto pode ser um elemento de si mesmo (A ∈ A). Nem todo conjunto pertence a si mesmo – o conjunto de todas as pessoas, por exemplo, não é uma pessoa (A ∉ A). Se A é o conjunto de todos os elementos que não pertencem a si mesmos, temos duas contradições: A ∈ A → A ∉ A; analogamente, A ∉ A → A ∈ A.

O Infinito Absoluto

A teoria dos conjuntos de Cantor é uma moléstia, uma doença perversa, da qual, algum dia, os matemáticos estarão curados. Henri Poincaré(1854-1912)

Ninguém nos expulsará do paraíso que Georg Cantor abriu para nós. David Hilbert (1862-1943)

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) deixou grandes contribuições para nossa compreensão sobre o infinito e ajudou a consolidar esse outrora obscuro conceito na matemática [1].

Figura 1 – Georg Cantor

Na época de Cantor, os matemáticos em geral não davam importância aos estudos sobre os números irracionais, o conceito de infinito e tudo o que se relacionava a eles, mas eles já conheciam o caráter infinito de alguns conjuntos:

Conjunto dos números naturais

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Conjunto dos números inteiros

Z = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…}
Z ⊃ N

Conjuntos dos números racionais

Q = {…, -5/2, -4/5, -1/2, 0, 1/4, 1/2, 9/3,…}
Q ⊃ Z

Conjuntos dos números irracionais

I = {…,-√(3/2), -√3, Π, Π/2,…}

Conjuntos dos números reais

ℜ U I U Q

Figura 2 – Conjuntos

Cantor percebeu que alguns conjuntos podem ser mais infinitos que os outros, o que deixou os matemáticos da época desconfiados e desconfortáveis, pois havia uma certa dose de misticismo em sua teoria. Indo contra o caráter conservador dos matemáticos de seu tempo, ele demonstrou que, embora infinitos, os números racionais e os inteiros poderiam ser contados. Porém. os irracionais são “mais infinitos” que os racionais e não podem ser contados. Seu trabalho tinha por objetivo fazer uma espécie de “anatomia do infinito” [4], mas esse trabalho também possibilitou a análise de conjuntos, funções e outros elementos que têm caráter contínuo na matemática.

Para Cantor, o infinito de nível mais alto era Deus, que era absoluto e inatingível. Logo “abaixo”, vêm os infinitos chamados de ℵn, onde n é a potência ou “tamanho” do infinito. Nessa concepção, a quantidade de infinitos racionais (ℵ0, contável e enumerável) é menor que a quantidade de infinitos irracionais (ℵ1, contínuo e não numerável). A letra ℵ (alef) vem do alfabeto hebraico e representa a natureza infinita e a unicidade de Deus. Essa letra foi escolhida para simbolizar um novo começo para a Matemática à partir da inclusão do conceito de infinito real ou absoluto.

Figura 3 – Alef

Demonstrações

Para melhor compreender as demonstrações dos ℵ, seguem alguns conceitos sobre conjuntos [4]. f é uma função e X e Y são dois conjuntos quaisquer:

1. Uma função f : X→Y chama-se injetiva (ou injetora) quando elementos diferentes em x são transformados por f em elementos diferentes em Y.

2. Uma função f : X→Y chama-se sobrejetiva (ou sobrejetora) quando, para qualquer elemento y ∈ Y, pode-se encontrar (pelo menos) um elemento x ∈ X tal que f(x) = y. O que significa dizer que todos os elementos do contradomínio de f são imagens, ou seja, o conjunto imagem é o próprio contradomínio da função.

3. Uma função f : X→Y é bijetiva (ou bijetora) quando é ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva. Em outras palavras, uma função é bijetiva se há um emparelhamento perfeito entre os dois conjuntos X e Y, ou seja, há o que chamamos de correspondência um-a-um, ou mais comumente de correspondência biunívoca.

4. Se existe uma bijeção f : X → Y, o conjunto X é eqüipotente (equivalente) ao conjunto Y (X ≈ Y) e X e Y têm a mesma cardinalidade ou potência.

5. Se f : X → X tal que f(x) = x é bijetiva, o conjunto é eqüipotente a si mesmo e existe reflexão entre conjuntos.

6. Se X é eqüipotente a Y há simetria.

7. Se X é eqüipotente a Y e Y é eqüipotente a Z há transitividade.

0: Existem tantos números pares quanto números naturais

O axioma “a parte é sempre menor que o todo” era uma verdade indiscutível. Porém, se um conjunto é infinito, pode-se colocá-lo em correspondência bijetora com uma de suas partes próprias, ou seja, a “parte” pode assumir qualquer tamanho, inclusive o mesmo tamanho do todo.

Figura 4 – Alef 0

Todo o conjunto eqüipotente ao conjunto dos naturais é enumerável. A contagem é cardinal, existem tantos números pares quanto números naturais, os números naturais e os números pares podem ser dispostos em uma correspondência um-para-um (biunívoca). Como a contagem é enumeravelmente infinita, existem tantos números pares quanto números naturais.

1: O número de pontos existentes em um segmento de reta é o mesmo que em uma reta

O conjunto dos números reais não poderia ser posto em correspondência biunívoca com os naturais – ele é de tamanho estritamente superior. O continuum apresenta contagem transcendental, ou seja, não numerável ou enumeravelmente infinita. É equivalente a afirmar algo como “eu tenho livros” sem especificar quantos livros. Sabe-se apenas que é mais de um.

Os pontos de um segmento de reta (A’B’) e da reta (AB) podem ser dispostos em uma correspondência um-para-um (biunívoca), ou seja, o número de pontos existentes em um segmento de reta é o mesmo número de pontos que existe em uma reta:

Figura 5 – Continuum

Referências

1. [http://revistagalileu.globo.com/Galileu/0,6993,ECT638940-2680,00.html]
2. [http://super.abril.com.br/comportamento/georg-cantor-e-o-alefe-zero-o-homem-que-colocou-o-infinito-no-bolso/]
3. vhttp://www.mat.ufpb.br/bienalsbm/arquivos/Conferencias%20Apresentadas/C%205.pdf]
4. [http://www.mat.ufmg.br/~espec/Monografias_Noturna/Monografia_ChristianoOtavio.pdf]
5. [https://educacao.uol.com.br/disciplinas/filosofia/paradoxo-zenao-e-os-argumento-logicos-que-levam-a-conclusao-falsa.htm]
6. [https://matematicabasica.net/conjuntos-numericos/]

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