O Infinito Absoluto

Deus criou os números naturais. O resto é obra dos homens. Leopold Kronecker (1823-1891)

O infinito não é um número, mas sim uma abstração que representa algo inatingível ou que está além da nossa capacidade de contagem ou de compreensão assim como foi demonstrado na experiência do João de Barro.

Desde a antiguidade, os matemáticos já sabiam que os números inteiros não tinham precisão suficiente para expressar a medida da diagonal de um quadrado ou da diagonal de um cubo. O método da exaustão, advindo da tentativa de encontrar a área de um círculo circunscrevendo triângulos, proporcionou o “aparecimento” de um dos números irracionais mais famosos: o π, que vale aproximadamente 3,14159265 em uma aproximação grosseira e não pode ser expresso como uma razão entre inteiros. A constante e, que expressa o infinito limitado, também é um irracional famoso que vale aproximadamente 2,718281828459.

Ao longo da história, a filosofia e a matemática nos permitiram aumentar nossa compreensão sobre esse conceito, mas sem compreendê-lo completamente. Quando se trata do infinito, podemos estar nos referindo a algo que é infinitamente grande ou infinitamente pequeno, o que inevitavelmente apresenta alguns problemas e nos conduz a certos paradoxos [4]. Isso explica porque o conceito de infinito sempre provocou discussões entre os matemáticos ao longo da história [3]. A teoria dos conjuntos, derivada do trabalho de George Cantor – será explicado mais a frente – que ajudava a classificar os diferentes infinitos também apresenta seus paradoxos [4].

Alguns Problemas e Paradoxos

A Raiz de 2 [2]

A matemática elementar demonstra que (√2)2 pode ser expresso por (21/2)2, que é o mesmo que (22/2) e vale 2. A √2 vale aproximadamente 1,414213562. (1,414213562)2 é 1,999999999 e não 2, como nossa intuição nos levaria a concluir – sempre desconfie da intuição. Por mais que aumentemos a precisão da raiz, a multiplicação dos dois números nunca resultaria 2: para os matemáticos gregos, parecia que esse número era um tipo de construção inacabada. Há frações simples e outras com infinitos algarismos que podem ser escritas como uma razão q÷p onde q, p ∈ N | p > 0. O número 0,8 pode ser representado pela fração 4/5 e o número 0,6666666… pode ser representado pela fração 2/3, mas não há razão capaz de simbolizar a √2. Esse número foi chamado de irracional, pois é um número real com infinitas casas depois da vírgula que não pode ser obtido pela divisão de dois números inteiros.

I ⊂ ℜ e √2 ∈ I

A Corrida entre Aquiles e a Tartaruga [1,4]

O filósofo pré-socrático Zenão de Eleia (495-435 a.C.) propõe uma disputa de “velocidade” entre aquiles, herói mitológico, e uma tartaruga que não teve contato com Ooze. Aquiles permite que a tartaruga, que era mais lenta, parta primeiro. A regra era simples: sempre que a tartaruga se deslocasse de um ponto A para um ponto B, Aquiles deveria percorrer metade da distância AB. O paradoxo ocorre quando descobrimos que Aquiles nunca alcançará a tartaruga por mais rápido que corra, pois quando ele atingir o ponto A, a tartaruga já estará no ponto B; quando ele atingir o ponto B, a tartaruga já estará no ponto C. Dividindo infinitamente a distância que separa os “competidores”, a tartaruga estaria sempre à frente, mesmo que fosse por uma distância mínima [4] ou infinitesimal. Antes que um objeto possa percorrer uma distância dada, deve primeiro percorrer metade desta, e antes disso, deve percorrer a metade dessa metade e assim por diante, sucedendo uma infinidade de subdivisões. Aquele que precise pôr-se em movimento deve fazer infinitos contatos num tempo finito, o que impossibilita iniciar o movimento [4].

A Flecha que Nunca Atinge o Alvo

O mesmo Zenão de Eléia concebeu o paradoxo da flecha imóvel, que também demonstra de forma puramente lógica a impossibilidade do movimento. Para Zenão, uma flecha, ao ser lançada, jamais atinge seu alvo, pois o espaço a ser percorrido em sua trajetória pode ser infinitamente dividido em segmentos menores, o que implica que seu translado é infinito.

O Hotel com Infinitos Quartos

O Paradoxo do Hotel Infinito foi criado por David Hilbert (1862-1943) para demonstrar a manipulação do infinito. Hilbert propôs um hotel com infinitos quartos numerados sequencialmente de acordo com o conjunto dos naturais (N = {0, 1, 2, 3, …}). Um viajante é informado pela recepcionista de que todos os quartos estão ocupados. O gerente solicita à recepcionista que todos os hospedes do quarto (n) sejam deslocados para o quarto (n+1) para que o novo hóspede seja alojado. Em seguida, chega um ônibus com 1000 passageiros e a recepcionista segue a recomendação anterior: a movimentação é feita de (n) para (n+1000). Porém, essa técnica não pode ser aplicada para alojar um trem com infinitos passageiros que chegou logo em seguida. O gerente solicita que todos os hóspedes do quarto (n) sejam movidos para o quarto (2n) para que todos os apartamentos de número ímpar sejam desocupados para alojar os infinitos hóspedes que chegaram. O gerente melhora essa solução e solicita que os hóspedes do quarto (n) sejam transferidos para o quarto (3n) para que os novos hóspedes sejam alojados nos quartos de número (3n+2). Se chegassem novos hóspedes, eles seriam alojados nos infinitos quartos de número (3n+1) e o gerente teria um pouco de sossego.

Paradoxo da Onipotência

Esse paradoxo tem cunho filosófico, mas foi incluso aqui para fazer uma ligação entre Deus, que pode ser interpretado como o infinito, e uma de suas virtudes, a onipotência, que é a qualidade de um ser que tem a capacidade ilimitada de fazer qualquer coisa. Deus é infinito e cada uma de suas virtudes infinitas também são infinitas. Será? Um enunciado bastante conhecido deste paradoxo é o denominado paradoxo da pedra: “Pode um ser omnipotente criar uma pedra que não consiga erguer?” Se não consegue erguer a pedra não é omnipotente; se não consegue criar tal pedra não era omnipotente desde o início. São Tomás de Aquino veio em socorro de Deus e afirmou que Ele é infinito dentro daquilo que é possível. Para Aquino, há coisas que Ele não pode fazer, pois perderia sua onipotência. Deus não pode fazer alguém parado e correndo ao mesmo tempo assim como não pode fazer algo que seja ao mesmo tempo um triângulo e um círculo.

Paradoxo de Russell [4]

Se um pintor pinta apenas as casas de pessoas que não pintam as próprias casas, esse pintor pinta a própria casa? Dessa pergunta, podemos extrair a pergunta genérica: o conjunto de todos os conjuntos que não são elementos de si mesmos é elemento de si mesmo? Um conjunto pode ser elemento de outro conjunto (A ∈ B) e um conjunto pode ser um elemento de si mesmo (A ∈ A). Nem todo conjunto pertence a si mesmo – o conjunto de todas as pessoas, por exemplo, não é uma pessoa (A ∉ A). Se A é o conjunto de todos os elementos que não pertencem a si mesmos, temos duas contradições: A ∈ A → A ∉ A; analogamente, A ∉ A → A ∈ A.

O Infinito Absoluto

A teoria dos conjuntos de Cantor é uma moléstia, uma doença perversa, da qual, algum dia, os matemáticos estarão curados. Henri Poincaré(1854-1912)

Ninguém nos expulsará do paraíso que Georg Cantor abriu para nós. David Hilbert (1862-1943)

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) deixou grandes contribuições para nossa compreensão sobre o infinito e ajudou a consolidar esse outrora obscuro conceito na matemática [1].

Figura 1 – Georg Cantor

Na época de Cantor, os matemáticos em geral não davam importância aos estudos sobre os números irracionais, o conceito de infinito e tudo o que se relacionava a eles, mas eles já conheciam o caráter infinito de alguns conjuntos:

Conjunto dos números naturais

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Conjunto dos números inteiros

Z = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…}
Z ⊃ N

Conjuntos dos números racionais

Q = {…, -5/2, -4/5, -1/2, 0, 1/4, 1/2, 9/3,…}
Q ⊃ Z

Conjuntos dos números irracionais

I = {…,-√(3/2), -√3, Π, Π/2,…}

Conjuntos dos números reais

ℜ U I U Q

Figura 2 – Conjuntos

Cantor percebeu que alguns conjuntos podem ser mais infinitos que os outros, o que deixou os matemáticos da época desconfiados e desconfortáveis, pois havia uma certa dose de misticismo em sua teoria. Indo contra o caráter conservador dos matemáticos de seu tempo, ele demonstrou que, embora infinitos, os números racionais e os inteiros poderiam ser contados. Porém. os irracionais são “mais infinitos” que os racionais e não podem ser contados. Seu trabalho tinha por objetivo fazer uma espécie de “anatomia do infinito” [4], mas esse trabalho também possibilitou a análise de conjuntos, funções e outros elementos que têm caráter contínuo na matemática.

Para Cantor, o infinito de nível mais alto era Deus, que era absoluto e inatingível. Logo “abaixo”, vêm os infinitos chamados de ℵn, onde n é a potência ou “tamanho” do infinito. Nessa concepção, a quantidade de infinitos racionais (ℵ0, contável e enumerável) é menor que a quantidade de infinitos irracionais (ℵ1, contínuo e não numerável). A letra ℵ (alef) vem do alfabeto hebraico e representa a natureza infinita e a unicidade de Deus. Essa letra foi escolhida para simbolizar um novo começo para a Matemática à partir da inclusão do conceito de infinito real ou absoluto.

Figura 3 – Alef

Demonstrações

Para melhor compreender as demonstrações dos ℵ, seguem alguns conceitos sobre conjuntos [4]. f é uma função e X e Y são dois conjuntos quaisquer:

1. Uma função f : X→Y chama-se injetiva (ou injetora) quando elementos diferentes em x são transformados por f em elementos diferentes em Y.

2. Uma função f : X→Y chama-se sobrejetiva (ou sobrejetora) quando, para qualquer elemento y ∈ Y, pode-se encontrar (pelo menos) um elemento x ∈ X tal que f(x) = y. O que significa dizer que todos os elementos do contradomínio de f são imagens, ou seja, o conjunto imagem é o próprio contradomínio da função.

3. Uma função f : X→Y é bijetiva (ou bijetora) quando é ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva. Em outras palavras, uma função é bijetiva se há um emparelhamento perfeito entre os dois conjuntos X e Y, ou seja, há o que chamamos de correspondência um-a-um, ou mais comumente de correspondência biunívoca.

4. Se existe uma bijeção f : X → Y, o conjunto X é eqüipotente (equivalente) ao conjunto Y (X ≈ Y) e X e Y têm a mesma cardinalidade ou potência.

5. Se f : X → X tal que f(x) = x é bijetiva, o conjunto é eqüipotente a si mesmo e existe reflexão entre conjuntos.

6. Se X é eqüipotente a Y há simetria.

7. Se X é eqüipotente a Y e Y é eqüipotente a Z há transitividade.

0: Existem tantos números pares quanto números naturais

O axioma “a parte é sempre menor que o todo” era uma verdade indiscutível. Porém, se um conjunto é infinito, pode-se colocá-lo em correspondência bijetora com uma de suas partes próprias, ou seja, a “parte” pode assumir qualquer tamanho, inclusive o mesmo tamanho do todo.

Figura 4 – Alef 0

Todo o conjunto eqüipotente ao conjunto dos naturais é enumerável. A contagem é cardinal, existem tantos números pares quanto números naturais, os números naturais e os números pares podem ser dispostos em uma correspondência um-para-um (biunívoca). Como a contagem é enumeravelmente infinita, existem tantos números pares quanto números naturais.

1: O número de pontos existentes em um segmento de reta é o mesmo que em uma reta

O conjunto dos números reais não poderia ser posto em correspondência biunívoca com os naturais – ele é de tamanho estritamente superior. O continuum apresenta contagem transcendental, ou seja, não numerável ou enumeravelmente infinita. É equivalente a afirmar algo como “eu tenho livros” sem especificar quantos livros. Sabe-se apenas que é mais de um.

Os pontos de um segmento de reta (A’B’) e da reta (AB) podem ser dispostos em uma correspondência um-para-um (biunívoca), ou seja, o número de pontos existentes em um segmento de reta é o mesmo número de pontos que existe em uma reta:

Figura 5 – Continuum

Referências

1. [http://revistagalileu.globo.com/Galileu/0,6993,ECT638940-2680,00.html]
2. [http://super.abril.com.br/comportamento/georg-cantor-e-o-alefe-zero-o-homem-que-colocou-o-infinito-no-bolso/]
3. vhttp://www.mat.ufpb.br/bienalsbm/arquivos/Conferencias%20Apresentadas/C%205.pdf]
4. [http://www.mat.ufmg.br/~espec/Monografias_Noturna/Monografia_ChristianoOtavio.pdf]
5. [https://educacao.uol.com.br/disciplinas/filosofia/paradoxo-zenao-e-os-argumento-logicos-que-levam-a-conclusao-falsa.htm]
6. [https://matematicabasica.net/conjuntos-numericos/]

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O Problema das Três Caixas

De vez em quando recebo alguma coisa interessante que vale a pena gastar um tempo para entender. Dessa vez, me enviaram o tal “Problema das Três Caixas”. Nesse problema, há três caixas numeradas de 1 à 3:

Figura 1 – As três caixas

Uma das caixas contém um carro e apenas uma delas, não necessariamente a mesma que contém o carro, diz a verdade:

O que diz a caixa 1 (C1): “O carro está aqui”

O que diz a caixa 2 (C2): “O carro não está aqui”

O que diz a caixa 3 (C3): “O carro não está na caixa 1”

Esse problema é mais simples do que parece. Muitas pessoas tentam fazer todas as combinações possíveis (3) para encontrar alguma que dê certo:

C1V | C2F | C3F
C1F | C2V | C3F
C1F | C2F | C3V

Pode-se ir por esse caminho, mas esse problema em particular pode ser resolvido com uma linha! Quando vejo esse tipo de problema, inicialmente procuro por contradições. Como você pode ver, C1 e C3 estão “brigando” entre elas:

C1 ⇔ ¬C3 = C3 ⇔ ¬C1

Quando C1 é verdadeiro, C3 é falso e vice-versa. Ou seja, logo de início já sabemos que apenas C1 ou C3 pode ser verdadeira:

C1V | C2? | C3F
C1F | C2? | C3V

Como apenas uma afirmação é verdadeira, necessariamente C2 é falsa. Ou seja, o carro está em C2! Apenas uma dessas duas linhas de combinações era necessária. Poderíamos parar por aqui, mas vamos deduzir qual das afirmações, C1 ou C3, é verdadeira. Sabendo que o carro está em C2, a afirmação C1 é falsa, pois o carro não está lá. Sendo assim, C3, “O carro não está na caixa 1”, é a única afirmação verdadeira:

C1F | C2F | C3V
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O Crescimento de Uma População de Bactérias

Se um grupo de bactérias dobra a cada minuto e em 40 minutos preenche todo um recipiente, quanto tempo é preciso para preencher metade desse recipiente?

Já vi problemas muito similares, mas diferente do Chaves, que só “sabia resolver essa com maças”, dá para resolver de forma genérica, pois trata-se de uma PG (Progressão Geométrica), que tem a forma geral:

an = a1 x qn-1

Como sei que o crescimento da população de bactérias é regido por uma PG? Pela própria natureza do problema que relaciona tempo (T) e crescimento da população de bactérias (B):

T0 = 1B
T1 = 1B = 1B x 21-1 = 2 x T0
T2 = 1B x 2 = 1B x 22-1 = 2 x T1
T3 = 1B x 2 x 2 = 1B x 23-1 = 2 x T2
T4 = 1B x 2 x 2 x 2 = 1B x 24-1 = 2 x T3

(…)

T40 = 1B x 240-1 = 2 x T39

Nessa PG, o elemento posterior é sempre o dobro do anterior. A PG permite acesso à qualquer um dos seus membros desde que tenhamos algumas informações, pois a estrutura é fixa. Conhecemos o primeiro membro (1) e a razão (2). Vamos descobrir, em primeiro lugar, a quantidade de bactérias existentes após 40 minutos, pois sabemos que nesse tempo o recipiente estará cheio:

T40 = 1 x 240-1
T40 = 240

Após 40 minutos, o recipiente conterá 239 bactéricas. Metade dessas bactérias ocuparão metade do recipiente:

239/21
239 – 1
238

Mas que elemento da PG resulta 238? 238 é o elemento imediatamente anterior ao último (T40):

T40 = 240-1
T39 = 240-1/21 = 240-1 x 2-1 = 240-1-1 = 238

Portanto, a metade do recipiente será preenchida em 39 minutos (T39) por um total de 238 bactérias.

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Do Traço à Produção de Significado: Semiose de um Símbolo

O pensamento intuitivo é o contrapeso do pensamento formal (definições, axiomas e teoremas). Essa relação dual entre essas categorias de pensamento orientam a escolha dos traços provisórios que farão parte do processo de descoberta de perceptos matemáticos. A intuição pula etapas do pensamento formal para tentar antecipar um resultado futuro. É necessário ousadia para que as descobertas sejam feitas. O professor Goro Shimura fez referência à “capacidade de cometer bons erros” que seu colega Yutaka Taniyama tinha quando juntos conjecturaram Taniyama-Shimura, que posteriormente provou-se conectada ao Último Teorema de Fermat. Cabe ao pensamento formal preencher as lacunas do pensamento intuitivo – provar que uma hipótese é verdadeira.

Um signo é um elemento representativo que possui dois aspectos unidos em um todo indissolúvel [1]: um significante e um significado. O significante é o elemento tangível, perceptível e material do signo [2]; o significado é o conceito, o ente abstrato do signo. Ao ouvir a palavra árvore, uma lembrança é acessada e trás uma imagem sonora, que é o significante da palavra árvore. Árvore nos faz pensar em algo que tem folhas, tronco, gera sombra e possui raízes. Essa generalização que é aplicável às demais árvores é o significado do signo árvore que também está armazenado na mente.

Um símbolo ou marca é o final – até que se encontre um símbolo melhor – de um processo epistêmico que utiliza traços para produzir semiose e gerar significado – transformações sígnicas transformam traços em símbolos e um sistema de representação em outro; é o resultado de uma incessante degradação de formas e relações entre conteúdos lógicos de traços antecedentes. Um símbolo de qualidade carrega a noese necessária para aplicação na solução de problemas matemáticos. O matemático, decodificador da natureza, busca uma representação simbólica para os fenômenos que ele observa. Quanto mais noese tem uma marca, melhor ela é.

A marca Xn é a generalização de X.X.X.X… criada por René Descartes. Essa marca possibilitou grandes avanços na matemática vindoura, pois agora era possível fazer operações como Xa.Xb igual à Xa+b e Xa/Xb igual à Xa-b. Para demonstrar o processo semiótico, vou utilizar aquela sequência numérica que expliquei em outro artigo:

233566899

Vou ignorar o número 1 da sequência original porque a pessoa que a concebeu não sabia o que estava fazendo, como expliquei naquele artigo. Os traços que segui para provar aquele problema produziram o significado abaixo:

S = [2 + 3n],[3(n+1)],[3(n+1)] ∀ n ∈ Z | S ⊂ Z

Minha inspiração para criar um símbolo vem dos modelos matemáticos do Professor Aguinaldo Prandini Ricieri, como o Horotimo (H), que distribui horários em uma grade periódica, Attentus (A), cujo objetivo é gerenciar uma fila de atendimentos de clientes em um call center e o Agropolos, que utiliza princípios de atração gravitacional de corpos de grandes massas para decidir que polo fará a moagem da cana. Como o problema tratava de uma sequência, pensei simplesmente na letra S como apresentação do significante:

Atribuindo significado aos “satélites” que orbitam a letra S, aumentamos a qualidade do símbolo:

s1: primeiro número da sequência dado por 2+3k

s2: segundo número da sequência dado por 3(k+1)

s3: terceiro número da sequência dado por 3(k+1)

Essa marca deve ser lida assim:

A sequência S iniciada em k resulta no terno [2+3k, 3(k+1), 3(k+1)]

Ou seja, essa marca permite criar qualquer terno da sequência proposta:

…, [233], [566], …

Para construir uma sequência de ternos, podemos utilizar um somatório (∑):

Onde:

k: índice (valor ordinal) do terno

n: quantidade de ternos

Agora, vamos construir nossa sequência utilizando aquele símbolo:

O que permite escrever:

[2,3,3] + [5,6,6] + [8,9,9]
[2,3,3,5,6,6,8,9,9]

Como diria o velho Professor Ricieri, “não dá para ser mais didático que isso”.

Figura 1 – Professor Aguinaldo Prandini Ricieri

Referências

1. [http://uegsemiotica.blogspot.com.br/2013/03/signo-significante-e-significado.html]
2. [http://quadrodosbemois.com.br/signo-significante-e-significado-na-web/]
3. [http://www.uel.br/grupo-pesquisa/grupemat/docs/CC07_cnmem2009.pdf]

Os Números Ocultos no Teste de Lógica

Esse é um dos problemas de um teste de raciocínio lógico com mais ou menos 60 perguntas simples que consistia em encontrar padrões entre desenhos, números ou as duas coisas juntas. Nessa questão perguntava-se quais eram os dois números que completavam a sequência abaixo:

1233?6?89

Parecia simples, mas a pessoa que o criou, propositalmente ou não, embutiu um número que atrapalhava qualquer tipo de combinação que se tentasse fazer: o 1!. A sequência correta deveria começar por 0 e não por 1 ou simplesmente não deveria ter nada antes do 2 – vou explicar o porquê mais adiante:

0233?6?89

Foi por causa desse número 1 que não consegui entender na primeira vez que vi o problema. Tentei aplicar as operações elementares e até potenciações e radiciações, mas nada dava certo. Pensei até em logaritmo! É curiosa a forma como nosso subconsciente trabalha: acordei no dia seguinte com a solução:

123356689

Ou melhor:

023356689

Os números que chutei eram apenas hipóteses que precisei provar, mas para isso era necessário encontrar um padrão naquele sequência numérica. Percebi que a sequência tendia ao crescimento, mas além de números sequenciais existiam números que se repetiam. Primeiro, olhei para as duas sequências:

|123| e |89|

E depois me interessei pelo número que se repetia:

|33|

Trabalhando com a hipótese de que as incógnitas eram partes de sequências ou repetições, testei com 5 e 7:

|1|2|33|5|6|7|8|9|

Não era muito promissor. Então testei com 5 e 6:

|1|2|33|5|66|8|9|

Quando dividi a sequência no “sonho” em blocos que agrupavam o mesmo número, aparentemente deu certo para a segunda combinação (5 e 6), mas esse |1| parecia deslocado, pois antes do |2| era esperada a repetição |00| para que a regra de formação do conjunto S (solução) valesse:

S = [número 1][sequência de dois números][repete o último número da sequência][pula um número]

Nesse momento, realoquei as barras e vi uma formação diferente que poderia ser generalizada desde que o número fosse descartado:

|233|566|89|

Podemos escrever uma sequência que materializa essa ideia:

…,[si,1 + si],[1 + si],[3 + si],…

O que permite escrever a representação matemática do conjunto S para generalizar a solução ao infinito (-∞…+∞):

S = [2 + 3n],[3(n+1)],[3(n+1)] ∀ n ∈ Z | S ⊂ Z

Dessa forma, é possível construir toda a sequência indo de n=-∞ até +∞:

…,-4,-3,-3,-1,0,0,2,3,3,5,6,6,8,9,9,11,12,12,14,15,…

O que permite afirmar que nossa hipótese inicial (5 e 6) está provada e podemos devolver o |1| que foi omitido para que pudéssemos construir nossa prova:

123356689
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O Problema da Probabilidade de Tirar um Número em um Dado Não Viciado

Um dado clássico é um pequeno poliedro cúbico – seis faces – gravado com números de 1 a 6. Em um dado do tipo padrão, a frequência com a qual qualquer um dos seis números – ou seis faces – se apresenta após uma jogada é a mesma: 1/6, ou 0,1666666666666667. Um dado viciado é aquele cuja probabilidade de se tirar um determinado número é maior que 1/6 e são vários os métodos disponíveis para viciá-lo, como aquecer e perfurar.

Figura 1 – Dado padrão: um poliedro cúbico

Vamos considerar um dado padrão. O canal MindYourDecisions fez a seguinte pergunta:

Se o dado for modificado para que o número 6 apareça com a metade da frequência dos outros números, qual é a nova probabilidade de tirar um número 6?

O número escolhido não importa, pois sabemos que todos têm a mesma probabilidade: 1/6. Você, assim como eu em princípio, pode estar pensando que basta dividir a probabilidade de tirar um número por 2:

P(6) = (1/2)(1/6) = 1/12

Sabemos que o somatório das probabilidades de se tirar todos os números em um conjunto tem que ser 1 (100%), pois:

P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1

O problema é que se dividirmos uma dessas probabilidade por 2, o somatório será menor que 1:

(1/2)*(1/6) + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 11/12

Método de Resolução 1

Esse método usa simples mereologia. A ideia é “inteirar” a fração 11/12 multiplicando os dois lados da igualdade por 12/11, o que mantém a equação balanceada:

(12/11)(1/12 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6) = (12/11)(11/12)
(12/11)(1/12) + (12/11)(1/6) + (12/11)(1/6) + (12/11)(1/6) + (12/11)(1/6) + (12/11)(1/6) = (12/11)(11/12)
1/11 + 2/11 + 2/11 + 2/11 + 2/11 + 2/11 = 1

P(6) = (1/2)(1/6)(12/11) = 1/11

Método de Resolução 2

Esse método assume que se P(6) é p, a probabilidade de qualquer outro número será 2p:

P(6) = p
P({1,2,3,4,5}) = 2p

Somando-se os valores, o resultado “aparece”:

p + 2p + 2p + 2p + 2p + 2p = 1
11p = 1
p = 1/11

P(6) = p = 1/11

Método de Resolução 3

Esse método é bem parecido com o anterior. Consiste em fazer uma análise comparativa das frequências com as quais cada face se apresentará: para P(6) será 1:

P(6) = 1
P({1,2,3,4,5}) = 2

O que permite a seguinte comparação:

2:2:2:2:2:1

Em seguida, somamos as frequências de cada número para encontrar o total de vezes em que serem tirados:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 11

Por último, basta multiplicar cada frequência por 1/11 para encontrar a probabilidade de cada número:

2(1/11) + 2(1/11) + 2(1/11) + 2(1/11) + 2(1/11) + 1(1/11) = 11(1/11)
2/11 + 2/11 + 2/11 + 2/11 + 2/11 + 1/11 = 1

P(6) = 1/11

Multiplicar por 1/11 não é o mesmo que dividir por 11? Faz alguma diferença? Se você estiver fazendo álgebra, não faz diferença, mas se você está fazendo semiótica para decodificar a natureza em busca de símbolos, faz toda a diferença, pois uma marca de qualidade deve evidenciar (dêixis ad oculos) a que se propõe, como expliquei aqui.

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Como Encontrar Linhas Duplicadas no Banco de Dado

Ultimamente estou trabalhando bastante com consultas SQL. Essa dica pode ser bastante útil para você que deseja descobrir que linhas estão duplicadas no banco de dados de acordo com algum critério. Você precisa, basicamente, fazer um join da tabela analisada com ela mesma. Aqui há várias dicas de como fazer essa consulta, mas o select abaixo funcionou bem para mim:

SELECT *
FROM TABLE A
WHERE EXISTS (
  SELECT 1 FROM TABLE
  WHERE COLUMN_NAME = A.COLUMN_NAME
  AND ROWID < A.ROWID
)
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